信号与系统第八章.ppt

第6章离散系统的z域分析,背景知识：三个重要的法国人,1、傅立叶（17681830）傅立叶级数，概率论热传导。代表作：热的传播，热的分析理论,2、拉普拉斯（17491827）法国著名的数学家和天文学家。天体力学的主要奠基人,是天体演化学的创立者之一。著作：天体力学、宇宙体系论和概率分析理论。,3、狄莫弗（16671740）法国著名的数学家。狄莫弗公式，首先将概率论应用于保险业。著作：机遇论，分析杂录,6.1z变换最初由英国数学家狄莫弗在1730年提出！一、Z变换的定义由拉普拉斯变换引出z变换：设连续信号f(t)，用冲击序列对其进行采样，可以得到离散信号fs（t）：,对上式两边取拉普拉斯变换：令：得到z变换的定义式：,单边z变换,双边z变换,F(z)称为f(n)的象函数，逆变换公式为：,由于z是复数，上式是对复变函数的积分，积分结果可以通过留数定理得到！F（z）是z的级数求和，要使变换存在，级数必须收敛，即满足绝对可和条件：,二、Z变换的收敛域满足绝对可和条件的z的取值范围称为z变换的收敛域。*判断一个级数是否收敛的方法:1.比值判别法如果一个级数，后项与前项的比极限为：,级数收敛；,级数发散；,2.根值判别法由第n个元素n次根的极限判断：,级数收敛；,级数发散；,3、单边z变换收敛域的特点,由根值判别法得到收敛条件：即：,对应在复平面上对应半径为R的圆以外的部分：,R,Re（z）,lm（z）,三、常见序列的z变换1、单位序列由定义式得：不论z为何值，上式都收敛，收敛域是整个z平面！,2、阶跃序列由定义式得：收敛域是z平面上，z的模大于1的部分！,3、指数序列由定义式得：收敛域是z平面上，z的模大于的部分：,4、斜变序列,Z变换为：,利用阶跃序列的z变换，间接求出：,5、余弦与正弦序列利用指数序列的z变换：令则有：,再令,利用欧拉公式，和变换的线性叠加特性：,6.2z变换的基本性质一、线性叠加特性如果：则：,例题：求序列的z变换两项各自z变换分别为：,两项叠加得：,收敛域是整个z平面！,二、移位特性指序列移位后的z变换与原序列的关系。1、右移位公式：,2、左移位公式：,*经常用到的是移位1、2个单位的情况：,三、尺度变换特性若：则：,该特性也称为序列的指数加权特性！*还可以得到以下推论：,例题：利用尺度变换特性求的z变换！*注意收敛域的变化：,*四、线性加权特性（z域微分特性）,*推论由上面的结果可以推出：,可以一直推出的变换结果：,例题：利用z域微分特性求斜变序列的z变换！,五、卷和定理,有助于求系统的零状态响应！,例题：利用卷和定理求下面的卷和,*六、初值定理,*七、终值定理要使用终值定理，则f(n)的极限必须存在！,6.3z反变换第一节给出了z反变换的定义式，利用围线积分来求解。在本书中，主要介绍另外两种方法：（一）、幂级数展开法（长除法）（二）、部分分式展开法,一、幂级数展开法（长除法）根据定义式，F(z)是z-1的级数，级数的各项系数是离散信号f(n)的对应元素：如果能够求出F(z)的级数形式，就可以从系数中归纳出原离散函数的解析式！下面举例说明：,例题：求的逆变换首先将分母写成多项式的形式：由于分子次数低于分母一次，所以展开的级数最高次项应该为z-1,长除法可以用下面的过程进行：,从前几项系数中就归纳出原离散函数的解析式为：,二、部分分式展开法与求拉普拉斯逆变换的方法类似，对于分子多项式的次数MN的情况，有理分式可以展开为简单分式相加的形式！不同之处在于这种形式的逆变换最简单，而有理分式展开的简单分式分子没有z，所以先做如下处理：,F(z)的基本形式为：,这样在M=N的情况，有理分式也可以展开为简单分式相加的形式！各系数由下式确定：,（一）当分母多项式只有一阶极点的时候,F(z)的逆变换可以写为：,（二）当分母多项式有一阶以上极点的时候,设z1是m阶极点，则F(z)的展开式为：,各系数由下式确定：,在进行逆变换时要用到下面的公式：,例题2：求逆变换,例题1：求逆变换,6.4离散系统z域分析一、差分方程的z变换求解举例说明求解过程：例题：设有二阶离散系统差分方程为：,求系统响应y(n)！,解：对差分方程两边进行z变换,y(n)等于零输入响应与零状态响应之和！,二、系统的z域模拟与时域模拟最大的不同在于，延时器变成了因子z-1！例如：首先写出Y(z)的表达式：,根据Y(z)的表达式画出z域模拟图：,z-1,z-1,z-1,1,0.9,0.2,Y(z),F(z),二、系统函数H(z)在6.2节已经给出了差分方程的一般形式：,对等式两边进行z变换，并利用移位特性：,例题：利用z变换求解二阶离散系统差分方程：,求：(1)系统函数(2)单位响应(3)若激励为求系统零状态响应,二、系统函数的零极点分布与系统特性系统函数可以写成下面的形式：如果只存在一阶极点，则：,系统函数的逆变换为：,可见，每个极点都对应一个离散序列！1.实数极点对应指数序列；2.共轭复数极点对应余弦序列；3.0极点对应单位序列。*分母多项式不会影响函数形式，只影响幅度和相位！,6.5离散系统的稳定性一、z变换与拉普拉斯变换的关系6.1节提到：连续信号f(t)，用冲击序列对其进行采样，对得到的离散信号fs（t）进行拉普拉斯变换，再进行下面的变量代换：就得到了z变换！因此，z变换与拉普拉斯变换存在下面的关系：,已知函数的拉普拉斯变换，就可以通过变量代换求出相应的z变换！例如：s域的函数对应的时间函数为：,对其进行采样，得到的离散信号为：取上式的z变换：T是采样周期。*对于一个连续时间系统，可以用一个离散时间系统来实现！,例如：一阶RC电路的系统函数为：对应的离散系统函数为：,z-1,0.9,Y(z),F(z),a,Z平面与s平面的对应关系,1.若sj是纯虚数，则zej是z域上的单位圆。2.若s是s域左平面，则z是z域上的单位圆内的部分。3.若s是s域右平面，则z是z域上的单位圆外的部分。,二、离散系统的稳定性1、稳定性定义：若对任意有界的输入序列，其输出序列的值总是有界的，这样的系统称为稳定系统！2、离散系统的稳定条件（一）单位响应绝对可和,（二）单位响应是否绝对可和可以通过系统函数来判断：（1）若H(z)的所有极点全部位与单位圆内，则系统稳定。对应s在左平面！（2）若H(z)有极点位于单位圆外，则系统不稳定。,例：设系统差分方程为：试判断系统的稳定性！,解：系统函数为,（三）朱里准则要判断系统函数的分母多项式的根是否都小于1，可以通过朱里阵列来判断，分母多项式可以表示为：,由分母多项式的各项系数可以写出朱里阵列：,行,1234562n3,anan-1an-2.a2a1a0a0a1a2an-2an-1ancn-1cn-2c1c0c0c1cn-2cn-1dn-2dn-3d1d0d0d1dn-3dn-2r2r1r0,阵列3,4行按下列规则求出：,阵列5,6行按下列规则求出：,保证分母多项式的根的模都在单位圆内的充要条件是：,6.6离散序列的傅立叶变换DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)注意：与离散傅立叶变换不同！一、由z变换到傅立叶变换,由s与z平面的关系，若sj是纯虚数，则zej是z域上的单位圆，得到：这就是离散信号得傅立叶变换！,离散信号的傅立叶逆变换，同样可以由Z的逆变换得到：通常用下面的符号表示离散信号的傅立叶变换和逆变换：,*因为z是的周期函数，因此，也是的周期函数，这是离散信号频率特性的重要特征！*对于离散信号f(n)，其z变换是F(Z），傅立叶变换，所以F(Z）收敛域必须包含单位圆！*离散信号傅立叶变换存在的充分条件：,二、离散信号傅立叶变换的性质1、线性特性2、位移特性3、频移特性,4、线性加权特性5、时域卷积特性6、频域卷积特性,7、帕萨瓦尔定理也称为能量定理！,例题：如果求该序列的傅立叶变换。,附加位相说明,三、数字信号处理1、数字滤波器理想低通滤波器：,由傅立叶逆变换，可以得到理想低通数字滤波器的单位响应：,理想低通数字滤波器的阶跃响应：理想数字滤波器是非因果系统！,2、数字滤波器设计（一）冲击响应不变法