小学五年级奥数学与练.doc

迪乐教育魔法数学精品数学系列高级班教程学生用课件浦东分校迪乐教育数学组出品 目 录1、 小数的巧算2、 有余数的除法3、 定义新运算4、 整、小数应用题5、 盈亏应用题6、 消去法解应用题7、 倒推法解应用题8、 长方体和正方体的表面积9、 长方体和正方体的体积和容积10、 数的奇偶性11、 数的整除性12、 行程相遇应用题13、 行程追及应用题14、 行程环形跑道应用题15、 “牛吃草”应用题16、 最短路线17、 最大和最小18、 包含与排除19、 加法原理和乘法原理20、 抽屉原理21、 逻辑推理22、 逻辑推理计算逻辑23、 素数（质数）与合数24、 分解素因数25、 约数与倍数、最大公约数与最小公倍数26、 完全平方数27、 十进制和二进制简介小数的巧算小数巧算技巧1、 利用四则运算法则2、 根据小数的特点，运用小数点的位移3、 特殊小数相乘化整4、 设数法例题集锦1、 利用四则运算法则1、 四则运算法则凑整2、 利用积商不变性质3、 准确的去括号 例1：(1)56.835.7+56.828.5+64.243.2 (2)754.7+15.925 原式=56.8(35.7+28.5)+64.243.2 原式=2534.735.325=64.2(56.8+43.2) =253( 4.7+5.3) =64.2100 =7510=6420 =7502、 根据小数的特点，运用小数点的位移1、 乘法运算中，两个乘数反向移动相同的位数，积不变2、 除法运算中，被除数和除数同向移动相同的位数，商不变。例2：200518200.580200500.1 原式=2005182005820051 =2005（1881） =220503、 特殊小数相乘化整1、80、125=1 例3：2、5321、252、0、754=3 原式=2、5481、25 3、0、62516=10 =1010 =100一般，在整数运算中，我们常用的一些特殊数相乘凑整的组合都能在此运用，主要就是要熟练运用小数点的位移。4、 以上方法的综合运用例4：（1）1320.050.250.5 （2）0.0359350.03530.0350.07610.5原式=132（0.052020) 原式=0.0359350.03510.03530.03561 (0.2544)(0.522) =0.035(9351361)=132(120)(14)(12) =0.0351000=1322042 =35=55、 设数法当某一组或几组数有规律地出现时，可想法运用设数法，使计算简便。例5：（10.120.23）(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)通过观察,我们发现0.120.230.34和0.120.23在题目中频繁出现了,所以,我们不妨设0.120.23=A,0.120.230.34=B则原式可以转化成 (1+A)B(1+B)A =B+BAABA =BA =(0.120.230.34)(0.120.23) =0.34例6.若A=9.8765433.456789,B=9.8765443.456788,试比较AB的大小通过观察我们发现,两个数都是由两个数相乘组成,两个乘数也只是在最低位有一个计数单位的大小差.所以,我们可以设a=9.876543,b=3.456789就有A=ab, B=(a+0.000001)(b0.000001) =ab0.000001(ab)0.0000010.000001因为ab, 所以ab0,B=A正数,所以AB结论:当两个乘数和相等,它们的差越大,乘积值越小,当两数相等时,乘积最大.这条定理可以用来证明,周长相等的长方形和正方形,正方形的面积一定比长方形面积大.同学们可以自己试一试.练习题:1、1）11、53、218、516、8 2）28、6+17、4-8、62、4 3）13、51-2、96+1、492、04 4）20-0、1-0、2-0、3-0、4-05-0、6-0、7-0、8-0、9 5）7、66、67、62、47、6 6）（10、89、6）（0、540、32）2、1）1、253、141250、025712500、00229 2）3、514935、15、149513、1）（21、23+2、34）（1、23+2、343、45）（1、23+2、34）（21、23+2、34 3、45）2） （23、155、87）（3、155、877、23）（23、155、877、23）（3、155、87）3） （3、15+2、17+5、61）（2、17+5、61+6、6）（3、15+2、17+5、61+6、6）（2、17+5、61）4、 若A=5、43211、2345，B=5、43221、2344，试比较A、B的大小。余 数1、 掌握余数的概念和基本性质2、 掌握除以某些特殊数的余数的计算方法3、 利用余数可加、减、乘的性质计算余数4、 利用余数解决各类周期性问题概念：两个整数相除，结果或能整除（余数为0），或不能整除（余数不为0）。用式子表示A=BQR AB=QR A为被除数，B为除数，Q为商，R为余数例1：55557，当商是整数时，余数是几？ 79 3657 5 5 5 5 5 5 4 9 65 63 25 21 45 42 35 35 100个5解：分析，试商我们发现，6个5时，能被7整除。所以，我们可以把100 个5分成六个一组，即1006=164可以分成16组，还余4个5。而4 个5除以7，即55557=7934所以，原式当商是整数时，余数是4。例2：一个两位数除以310，余数是37，求这样的两位数。解：分析：题目要求的是除数，已知的是被除数和余数因为 被除数除数=商+余数即 除数=（被除数-余数）商310-37=273=391=3713因为，要求的是个两位数，所以，我们可以找到13，21，39，91四个数又因为，我们的余数是37，在除法运算中，余数一定要小于除数，所以，符合条件的只有39和91两个数。例3：23232323的积的尾数是几？ 2006个23解：分析：这个积的尾数只与3有关系，又3n3132333435363738尾数39713971通过计算，我们发现了3n的尾数在3、9、7、1这四个数字中循环，所以原式的积的屦就应该是2006个3相乘的积的尾数，20064=5012，即，原式的尾数是32 的尾数，为9。例4、某个自然数，被3除2，被5除余4，被7除余6，则这个数是几？分析；一个数A， A3=K12 A5=K24 A7=K36发现，这个数若是加上1，就能同时被3、5、7整除。而能被3、5、7整除的数最小是357=105，所以这个自然数是105-1=104。练习题1、555513，当商是整数时，余数是几？ 2008个52、1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。3、自然数2222的个位数字是几？ 67个24、 算式12007220073200720062007计算结果个位数是多少？定义新运算1、掌握定义新运算符号的意义，并能用四则运算计算出正确的结果。2、掌握从条件计算出结果，并掌握从结果得和一些条件得出新运算规则。3、在定义新运算的计算中，也要遵从有括号的先算，再乘除最后加减的运算顺序。例1、对任意自然数a,b,定义新运算“”ab=abab,求124。分析：首先要了解，新运算符号只是一个符号，我们所要了解的是这个符号所对应的等式右边新运算符号两边两个字母的相关计算顺序。在这个题目中，新运算的意义就是：ab所代表的数字先做乘法（ab），再分别减去a和b的值的运算。所以124即a=12，b=4时，先做乘法（ab），再分别减去a和b的值的运算124=124124=32例2、对任意自然数AB，定义新运算“”，AB=ABAB试计算（1）42 （2）36（42） （3）（364）2通过例1，我们知道（1）42=42-42=6对于（2）和（3），我们发现，参与计算的数字都是一样，但是括号在不一样的地方。在定义新运算的计算中，我们遵从有括号的先算，再乘除最后加减的运算顺序。所以，以（2）为例，我们可以先算括号内的42=6，再算，366所以36（42）=36（42-42）=366=366366=216-6=210那么，您能很快的算出（3）吗？（364）2=例3、a、b为不为0的自然数。定义新运算“”ab=aaaaaaaaa，aaa表m个a写在一起形成的一个m位数。若1X=123456789，则X= 2ab-1 ab10a￥b= 2ab 0ab10例4、设“￥”所表示的运算法则如下：对于任意整数a、b，若ab10,则a￥b=2ab-1,若0ab10，则a￥b=2ab，即求（1￥2）+（2￥3）+（3￥4）+（4￥5）+（5￥6）+（6￥7）+（7￥8）+（8￥9）练习题：1、 对任正整数ab,规定ab=3a2b-2，求（1）1011 （2）1110 （3）找出ab，使, ab得数最小。2、 对任意正整数ab,规定ab=ab23。若256Q=19，求Q。3、 令AB=3A4B，试计算（1）（45）6 （2）（15）（24）4、假设一种运算符号“”，XY表示把X和Y加起来被4除，即XY=（XY）4。试求（1）1317 （2）2（35） （3）若a16=10，求a。4、 若XY=（XY）（XY），则10（1010）= 整、小数应用题知识重点：整数应用题有简单应用题（一步计算）和复合应用题（多步计算）两大类。一般我们只要找到相应的数量关系，把复杂的题目转化为若干个一步计算的应用题，逐步解决问题，即可。、例1、小明带了17元钱，买了5各面包，每块1.6元，。剩下的钱买矿泉水，每瓶2.5元，可以买几瓶？例2、25千克花生仁可以榨油8千克，照这样计算，60千克花生仁可以榨油多少千克？要炸20千克花生油要花生仁多少千克?例3.、15个工人7天可以完成一项任务现在要提前两天完成，如果工作效率相同，需要增加几个工人？例4、某养猪场养猪300头，10天吃饲料9吨，照这样计算，卖出100头后，12吨饲料可以吃多小天？练习：1、一条水渠长630米，修了8天，修252米，照这样计算，余下的还要修多少天？2、狗追狐狸，狗跳一次前进1.8米，狐狸跳一次前进1.1米，狗每跳2次时狐狸刚好跳3次。如果开始狗离狐狸有30米，那么狗跳多少次才能追上狐狸？3、搬一堆砖，计划15人4小时可以搬完，实际劳动两小时后有5人被调走，余下的砖还需要多少小时搬完？4、百货商店按批发价买进一批牙刷，每只0.35元，零售价每只0.40元。当卖到剩下200支牙刷时，计算卖得的钱，除去全部买进的成本外已获利100元。问商店买进牙刷多少支？盈亏问题知识重点：盈亏问题要弄清两次分配差的情况，通常有三种类型:有盈有亏，两次都盈，两次都亏。在解题时，要注意转化条件。例1、幼儿园给几个小朋友份草莓，如果每个人分4个就多9个；如果每人分5个就少6个，那么有多少个小朋友，多少个草莓？例2、光明小学五年级学生去春游。如果每车坐40人，就有10人不能乘车；如果每车多坐10人，恰好多余一辆车。五年级一共租了几辆车，一共有多少人？例3、小光从家去学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校。小光家离学校有多远？练习：1、一个小组同学去植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺少4棵。这个植树小组由多少人？一共有多少棵树？2、“夏令营”营员们到一招待所住宿。若每间宿舍住6人，那么就多14人；若每间宿舍住7人，那么就多出一间宿舍。有多少个营员？住几间宿舍？3、一个人从甲出发到会所去参加会议，先用每分钟走50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，她就要迟到8分钟；后来她改用每分钟60米的速度前进。结果早到了5分钟。这个人从家到会所的距离是多远？4、一个班同学去公园划船。他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船要坐9人。这个班有学生多少人？代换法解题知识重点：代换法解题，一般是把题目中两种数量关系转换成一种数量，从而找出解题的方法。例1、4千克肉价等于2千克虾价，一千克虾价等于12千克豆腐价。豆腐每千克1.5元，肉每千克多少元。例2.、学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板比小黑板还要贵2.5元。大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？练习1、 三张桌子价钱等于7把椅子价钱。每把椅子36元，买两张桌子和7把椅子工夫多少钱？2、 商店运来7箱苹果，每箱重量相等。从每箱中取出12千克，余下的总量正好是原来3箱的重量，共运来多少千克苹果？3、 两种汽车运货，3辆大汽车的载重量正好等于5辆小汽车的载重量，且5辆大汽车和10辆小汽车一次共运55吨货。每辆大汽车每次运货多少吨？小汽车呢？4、 学校买来8个足球和60根跳绳，共用去274.2元。每个足球的价格比32根跳绳的价格还要多0.7元，每个足球多少元？消去法解题知识重点:用消去法解题，要先把条件排列整齐，然后找到相同的数量，两式想减消去相同的数量，求出另外一个数量，再求出消去的数量。例1、光明小学买水壶4只，水桶5个，共付150.5元；实验小学买同样的水壶4只，水桶8个，共付182元。每只水壶和水桶各多少钱？例2、8千克青豆、9千克菠菜共16.8元，9千克青豆、8千克菠菜共17.2元。每千克青豆、菠菜各多少钱?练习：1、 买3支钢笔和2瓶墨水要付25.5元，如果买5支钢笔和2瓶墨水要付38.5元，一支钢笔和一瓶墨水各多少钱？2、 3包科技书和5包故事书共420本，学校买来4包科技书和10包故事书共760本。每包科技书、故事书各多少本？3、 学校食堂上周运来3袋大米和2袋面粉共重210千克，本周又运来5袋大米和3袋面粉共重340千克。每袋大米、面粉各重多少千克？4、 5件上衣和6条裤子共值1670元，6件上衣和5条裤子共值1740元。每件上衣和裤子各值多少钱？倒推法解题知识重点：倒推法也叫还原法，从结果开始，一步一步倒回去算，原来是加的倒回去就是减，原来减得倒回去加，原来乘的倒回去除，原来除的倒回去乘，直到推出原数。如果遇到复杂的还原问题，可以通过列表进一步运用倒推法解题。例1：某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果还是6。求这个数。例2：小明在计算一道加法计算题时，把一个加数个位上的1看成7，把另一个加数十位上的8错当作3，这样所得的和是1955，原来两数相加的正确答案是多少？例3：一个袋子里装着若干个乒乓球，小明每次拿出其中的一半在放回去一个，这样拿了五次，袋子里还有5个球。袋子里原来有多少个球？例4：甲、乙、丙三人各有小球若干个，甲先拿出自己的小球的一部分分给乙和丙，使乙、丙每人的小球数增加一倍；然后乙也把自己的小球的一部分分给甲和丙，使甲和丙的小球数量增加一倍；最后，丙也把自己小球的一部分分给甲和乙，使甲和乙的小球数量增加一倍。这时甲、乙、丙都有48个小球。原来甲、乙、丙各有多少小球？练习：1、一位老爷爷说，把我的年龄加上12，再除以4，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁。这位老爷爷今年多少岁？2、做一道减法算式，把减数的个位1看做3，把被减数十位上的2看做了5，这样结果等于200，正确的差应该是多少？3、甲乙丙丁四人共有画片80张，甲给乙13张，乙给丙18张，丙给定16张，丁给甲2张后，四人画片一样多，他们原来各有画片多少张？4、有一篮鸡蛋，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，篮中还剩下12个。篮中原有鸡蛋多少个？5、甲乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是16千克。两桶油原来各有多少千克油？6、甲乙丙各有棋子若干个。甲先给乙丙一些棋子，使乙丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己的一些棋子分给甲和丙，使甲丙每人的棋子数各增加一倍；最后丙也按甲和乙的棋子数分别给甲乙一些棋子，此时三人都各有16各棋子。开始时三个人各有多少个棋子？长方体和正方体的表面积知识重点：具体情况要具体分析。必要时可以画出示意图，再分析。长方体表面积=（长宽长高高宽）2正方体表面积=棱长棱长6例1、 一个长40厘米，横截面是正方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。例2、 一个长方体铁箱，长12分米，宽8分米，高6.5分米。如果把它的内外涂上油漆（外面底面不涂），每平方分米用油漆0.25千克，涂这个铁箱要用油漆多少千克？（厚度忽略不计）例3、 一个正方体木块，棱长是15厘米，从它的八个顶点处截去棱长分别为1,2,3,4,5,6,7,8厘米的小正方体，这个木块剩下部分的表面积最少是多少平方厘米？练习：1、 一个正方体的棱长和是96厘米，这个正方体的表面积是多少？2、建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如果每平方米用瓷砖25块，共需多少块？3、一个长方体的长是16分米，高时6分米，沿着水平方向切成两个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的表面积是多少？4、一个长方体表面积是52平方米，底面积是12平方米，宽是3米，求长方体的高。5、一个长方体长时宽的1.5倍，宽式高的2倍，棱长总和是96厘米，这个长方体的表面积是多少？6、用两个同样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80厘米，每个正方体的表面积是多少？7、 在一个棱长是3分米的正方体的一个面的正中和一个顶点处，各挖去一我会棱长为1分米的正方体，剩下形体的表面积是多少？长方体和正方体的体积和容积知识重点：长方体体积=长宽高 正方体体积=棱长棱长棱长容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同。不过，体积是从物体外面测量出长度在进行计算，容积是从物体内部测量出长度再计算。通常，物体体积要大于容积，当厚度忽略不计的时候，容积就等于体积。例1、一块长方形铁皮长24厘米，四角减去边长为3厘米的正方形后，通过折叠，焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积式486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。例2、 木工师傅用两厘米厚的木板做成一只有盖的长方体报箱，从外面量长64厘米，宽34厘米，高39厘米，这只报箱的容积式多少？练习：1、 一根方钢长5米，它的横截面是以各边长为2厘米的正方形，已知1立方分米钢重7.8千克，一吨这样的钢材约有多少根？（保留整数）2、 长方体所有棱长之和是60厘米，长是7分米，高是3分米，求长方体体积。甲50cm乙3、 如图，有一堆土，甲处比乙处高50厘米，现在要把这堆土推平整，使 甲处和乙处一样高，要从甲处取多少厘米厚的土填在乙处。 40米 30米 100米4、 一正方体木箱，从外面量得棱长52厘米，箱壁厚1厘米，求木箱容积。 5、 在一个棱长为3厘米的大立方体的顶部中央挖去一个棱长为1厘米的小立方体，求这个新立方体的表面积和体积。数的奇偶性所有的整数可以分成两大类：那就是奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。性质：数的奇偶性具有如下性质：5、 奇数奇数=偶数6、 偶数偶数=偶数7、 奇数偶数=奇数8、 若干个数相乘，积为奇数，则每一个数必为奇数。9、 若干个数相乘，积为偶数，则这些数中至少一个数为偶数。10、 连续的两个奇数（偶数）相差2.例1. 算式11+12+13+89+90的结果是奇数还是偶数？例2. 19名同学进行投篮比赛，投进一球得5分，投不进得1分，每个人投10次，这些同学得分总和是奇数还是偶数？例3. 7个学生进行象棋比赛，下到某一阶段时，统计员统计个人的盘数如下：A下5局，B下6局，C下6局，D下4局，E下3局，F下2局，G下5局。小玲看过后，说统计员肯定统计错了，你认为呢？例4. 一次晚会，有一些人相互握手问好，问握了奇数次手的人数是奇数还是偶数？例5. 有n盏亮着的灯，你每次拉动（n-1）个开关，若干次后，能否使n盏灯都关掉？例6. 能不能把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这十个数排成一行，使两个1之间夹着1个数，两个2之间夹着两个数，两个3之间夹着三个数，两个4之间夹着四个数，两个5之间夹着五个数？例7. 某数分别与两个相邻奇数相乘，所得积相差150，这个数是几？例8. 三个相邻偶数的积是六位数8*2，这三个相邻偶数是哪几个？习题训练4、 有一列数，前两个数4，5，从第三个起，每一个数都是它前面两个数的和，这列数前100个数中有几个偶数？5、 某数学竞赛，共20道题，每道题答对给3分，不答给1分，答错扣1分，则参加竞赛的学生得分总和的积偶性是什么？6、 10枚硬币，正面朝上放在桌上，现在规定每次翻动9枚，你能否翻动几次，使反面全部朝上？7、 三个相邻偶数的积是四位数*8，这三个相邻偶数是哪几个？8、 每张方桌上有12个盘子，每张圆桌上有13个盘子，若共有盘子109个，则方桌有几个，圆桌有几个？9、 若53A9B是奇数，判断整数A，B的奇偶性。10、 若A+B+C=奇数，ABC=偶数，试判断A，B，C的奇偶性。11、 相邻的三个奇数的乘积是一个四位数*7，求这三个奇数。12、 “六一”儿童节，学校举行晚会，每个同学得到的糖块总数都等于他所在班参赛总人数加3，结果发现，每班得到的糖块总数都是偶数，为什么？13、 能否将1至9这9个自然数填入33的方格中，使得每一行的3个数字之和都是偶数？数的整除性数的整除问题，内容丰富，思维技巧极强，它是小学数学竞赛命题的主要内容之一。基本概念整数a除以整数b（b不为0），商为整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），计作b|a。若b能整除a，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数。整除性质性质1.若c|a，c|b，那么c|（a+b），c|ab性质2.若bc|a，那么b|a，c|a性质3.若b|a，c|a，且（b，c）=1，那么bc|a性质4.若c|b，b|a，那么c|a整除的特征1. 能被2（或5）整除的数的特征：个位数能被2（或5）整除。2. 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。3. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。4. 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。5. 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。例1. 四位数3AA1能被9整除，求A。例2. 五位数48A1B能同时被2，3，5整除，求这个五位数。例3. 将1996加上一个整数，使和能被9与11整除，加的整数最小是多少？例4. 求无重复数字，能被75整除的五位数3a6b5.例5. 有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除，它们的前四位都是9876，而末位数字不同，求着两个五位数的和。例6. 求用1，2，3，4，5，6这六个数组成的六位数，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，前四位数能被4整除，前五位数能被5整除，前六位数能被6整除。例7. 由2000个1组成的数111能否被41整除？例8. 在1994的右边补上三个数字，变成一个七位数M。若M能被3，4，5整除，求M的最大值。例9. “任意一个三位数连这些两边得到的六位数一定同时被7，11，13整除”这句话对吗？为什么？例10. 能否将1至9这九个数填在33的方格表中，使得每一行数的积和每一列数的积都是4的倍数？习题训练3、 五位数123A5能被55整除，求A。4、 求能被15整除的最小四位数5a2b。5、 三个数123，345，567，求第四个三位数，使它尽可能大且与前三个的平均数是一个整数。6、 应当使A是哪个数，才能使得到的数能被7整除？666A555（其中50个6，50个5）7、 四个数的和是408，这四个数分别能被2，3，5，7整除而商相同，求这四个数。8、 在478后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被60整除，且使这个六位数尽可能小，求这个六位数。相遇问题学习目标：掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系；掌握基本相遇问题的解法；重点掌握画线段图的分析方法。学习重点：一、基本数量关系：甲速+乙速=速度和速度和相遇时间=路程二、解题方法指导：借助线段图弄清各辆车出发的地点（同地或异地），方向（相对、相对或相同），时间（同时出发、先后出发），相遇点（相遇、未相遇、相遇又离开、相遇再离中点多少）再根据数量关系，运用算术解，方程解及其他特殊思路解题。学习实践：例1：（直观条件）甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？ 85km/h 90km/h 甲 乙 A 700km B例2：（条件隐藏）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？异地非同时出发再相遇例3：甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？追及，再相遇问题例4：姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？小问题，大智慧：甲乙二人分别从A、B两地同时出发，并在两地间往返行走。第一次二人在距离B点400米处相遇，第二次二人又在距离B点100米处相遇，问两地相距多少米？行程追及问题学习重点:三个数量关系：追及时间，追及距离和速度差追及问题三个基本的关系式：速度差追及时间=追及距离追及距离速度差=追及时间追及距离追及时间=速度差例1、 甲骑自行车，乙骑摩托车，两人都要从城东到城西，自行车每小时行16千米，摩托车每小时行40千米。甲先出发1.5小时，乙沿着同一条路线去追赶甲，多少时间后能追上甲？例2、 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？例3、 某学校202名学生排成两路纵队以每秒3米的速度去春游，前后两人之间相邻0.5米。李老师骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后返回到队尾，共需多长时间？例4、 甲、乙、丙三人都从A到B。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟后追上乙，甲出发多少分钟后追上丙？练习：1、 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑 250米，两人同时同地同向出发，经过多久两人相遇？2、 兄妹两人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口的时候发现没有带课本，立即沿原路回去取，在离校门口180米处遇到妹妹，问家距离学校有多远？3、 龟兔赛跑，全程2000米。龟每分钟爬25米，兔子每分钟跑320米。兔子自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到达终点的时候，兔子距离终点还有400米。兔子在途中睡了多久？4、 小明、晓峰和小光三人都从甲到乙。早上6时，小明和晓峰两人一起从甲出发，小明每小时走5千米，晓峰每小时走4千米。小光上午8时从甲出发，傍晚6时小明和小光同时到达乙地。问：小光什么时候追上晓峰？行程环形跑道知识重点：在封闭的环形上，如果是同时同地背向而行，合走一个周长相遇一次，相遇时间是：相遇时间=环形周长速度和如果是同时同地同向而行，速度快的追上速度慢的的时候，正好比速度慢的多行一周的路程，一周的长度就是追及距离，追上一次，追及时间是：追及时间=追及距离速度差例1、 在300米的环形跑道上，甲乙同时同向并排起跑。甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？例2、 甲乙两人在环形水池边跑步，水池周长600米。甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，甲在乙前面240米处，两人同时沿顺时针方向跑，几分钟后甲追上乙？练习：1、 学校操场的环形跑道长200米。小王和小李同时从起跑线沿逆时针方向跑步，小王每秒跑7.5米，小李每秒跑5.5米。小王第二次追上小李时，小王跑了多少米？2、 两名运动员在湖周围的环道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，经过45分钟追上乙。如果两人同时同地相向出发，经过多少分钟两人相遇？ C 3、 如图，已知等边三角形ABC周长为360米。若甲从A点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC边上D点（距C30米）出 D乙发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。两人同时出发，几分钟后相遇？相遇时距离B点多远？ A B 甲 爷爷4、 爷爷和孙女沿着边长为100米的正方形池塘散步，走法如下图。已知，孙女每分钟走50米，爷爷每分钟走46米，至少经过多少分钟后孙女才能看到爷爷？ “牛吃草”问题知识重点：解“牛吃草”问题的常用方法及关系式2、 为了清楚起见，常设一头牛在单位时间内的吃草量为1份3、 解“牛吃草”问题的主要依据（1） 草的总量=草场原有的草量新生的草量其中，草场原有的草量是一个固定值（不变）新生草量=每天生长量天数（2） 草每天生长量不变（3） 每头牛的食草量不变（或一定的草量可喂牛的头数不变）4、 将牛分成两部分：一部分吃新生的草，一部分吃原有的草例2. 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或供24头牛吃10天，那么它可供14头牛吃多少天？例3. 某火车站的检票口在开始检票时已经有945名旅客在排队等待检票。此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站。如果开放4个检票口，15分钟可放完旅客；若果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客。照这样的速度，现想在5分钟内放完所有的旅客，需要开放几个检票口?例4. 一水池有一根进水管不断地进水，另有若干根相同的抽水管。若用24根抽水管抽水，6小时能把水池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时即可将水池中的水抽干。若用16根抽水管，需几小时将水池中的水抽干？练习：1、 有一个牧场，草每天匀速的生长，每头牛每天吃草量相同。17头牛，30天可以将草吃完，19头牛只需24天就可以将草吃完。现在一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的再吃2天就可将草吃完。问：没有卖掉4头牛之前，这已群牛一共有多少头？2、 某火车站的检票口，在开始检票前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始后6分钟就没有人排队，如果两个检票口，那么检票开始后几分钟就没有人排队？3、 一个水池装有一根进水管和若干根相同的出水管(进水管和出水管不同)，先打开进水管等水池有了一些水后，再打开出水管。如果打开一个出水管，12分钟后水池放空；如果同时打开2根出水管，4分钟后水池放空。那么，出水管比进水管晚开几分钟?4、 商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个顽皮的孩子在移动的扶梯上走动，男孩每秒钟向上走两级；女孩2秒钟向上走3级。结果男孩用100秒到达楼上，女孩用200秒到达楼上。问：该楼层扶梯有多少级？最短线路知识重点：平面内连结两点的线中线段最短。1、 已知两点位于凸面的联同平面上，那么所求最短路线是折线。2、 已知两点们于圆柱或圆锥面上，最短路线是曲线展开在同一平面上，为线段。例1、 如图，AB两个学校都在公路的同一侧，想在这两个学校附近的公路边上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，车站应该建在哪里？例2、 甲乙两村之间隔一条河，现在要在小河上架一座桥。使得这两村之间的行程最短，桥应该建在哪？例3、 如图，是一个长、宽、高分别为4、1、2分米的长方体纸盒，一只蚂蚁要从A点出发，在纸盒表面上爬到B点运送食物。求蚂蚁行走的最短路线。例4、 如图，河EF与公路FD所夹的角是一个锐角。某公司A在锐角EFD内。现在要在河边建一个码头，在公路边上建一个仓库，工人从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库去。然后 返回到A处。问仓库、码头应该建设在何处，使工人所行距离和最短？包含与排除例1、 边长为6、5、2厘米的三个正方形，如图所示，求他们盖住部分的面积。561331例2、 某班有45人，其中35人会中国象棋，30人会国际象棋，38人会围棋，40人会跳棋，那么这个班至少有多少人四项都会？提示：例3、 在前1000个自然数中（不包括0），既不是平方数也不是立方数的数有多少？提示：平方数就是形如AA=A2 立方数就是形如AAA=A3例4、 某次考试共有52人参加，共考5题。每题做错的人数统计如下：一二三四五做错人数46102039每人至少做对了一题。做对一题的有7人，五题全对的有6人，做对两题和三题的人数一样多。那么做对四题的人数有多少？分析：1、 对题目来说，只有做对和做错两种结果。2、 对参加考试的人来说，只有做对一二三四五题的结果（题中说每人至少做对一题）。所以，通过题目中给定的条件，我们可以知道：1、 做对二、三、四题的人数有：总人数（52）做对一题的人数（7）五题全队的人数（6）=39人2、 那么这39个人一共做了多少题目呢？我们可以这样计算：总题数（552）做对一题的题数（17）做对五题的题数（56）=144题3、 接下来我们怎么去区分到底多少人做对二题、三题和四题呢？题目中不是说做对二、三题的人数一样多吗?那也就是说可以把这些人都看成是每人做对2.5题了。想想看，144题，有做对4题的，有做对2.5题的，那有多少人做对4题，多少人做对2.5题？是不是有点熟悉？没有错，这不就是简单的鸡兔同笼问题吗？接下来怎么做，你清楚了吗？练习：某班在体育可上进行成绩考核。这个班在100米自由泳、跳远、铅球三项测试中获优秀等级的人数分类统计如下：1、100米自由泳获优秀的有21人，跳远获优秀的有19人，铅球获优秀的有20人。2、100米自由泳和跳远都获优秀的有9人，跳远和铅球获优秀的有7人，铅球和自由泳获优秀的有8人。3、有5人没有获得任何一项的优秀。请试着判断这个班的人数范围。素数（质数）与合数1、概念：素数：一个数除了1和自己本身，不再有别的约数，则这个数就叫素数。合数：一个数除了1和自己本身，还有别的约数的数，叫合数。如果一个素数是某个数的约数，那么这个素数叫这个数的素因数。把一个合数用素数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。2、1既不是素数也不是合数，2是唯一一个既是素数又是偶数的数。3、自然数又能分为0、1，素数和合数三大类。4、判断一个数是否是素数，先找到与该数接近的一个平方数K，再找出所有小于K的素数，若这些素数均不能被整除该数，则该项数为素数。例1、请找出50以内的所有素数。2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，47例2、将37拆成不同