（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题二 不等式 第6讲 基本不等式课件.ppt

第6讲基本不等式,第6讲基本不等式1.已知正实数x,y满足(x-1)(y+1)=16,则x+y的最小值为.,答案8,解析由题意可得y=-10,所以1x17,所以x+y=(x-1)+8,当且仅当x=5时取等号,所以x+y的最小值为8.,2.若实数x,y满足x2+y2=2(x+y),则x+y的最大值是.,答案4,解析因为x2+y2=(x+y)2-2xy=2(x+y),所以(x+y)2-2(x+y)=2xy,即(x+y)2-2(x+y)0,所以0x+y4,故x+y的最大值是4.,3.设x0)对称,则+的最小值为.,答案+,解析由题意可知,圆心(1,-2)在直线ax-by-2=0(a0,b0)上,所以a+2b-2=0(a0,b0),即+b=1(a0,b0),所以+=+2=+,当且仅当=,即a=2-2,b=2-时取等号,故+的最小值为+.,5.若正数x,y满足+=1,则x+y的最小值为.,答案2+2,解析x+y=x+(y+2)-2=x+(y+2)-2=2+2+2,当且仅当=,且+=1,即x=y=+1时等号成立,故x+y的最小值为2+2.,题型一直接利用基本不等式求最值,例1(1)(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.(2)(2018扬州高三考前调研)已知函数f(x)=x2+2x-b+1(a,b为正实数)只有一个零点,则+的最小值为.,答案(1)9(2),解析(1)以点B为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则D(1,0),C,A,由点A、D、C三点共线可得=,化简得ac=a+c,则+=1,则4a+c=(4a+c)=5+5+2=9,当且仅当c=2a时取等号,故4a+c的最小值为9.(2)函数f(x)=x2+2x-b+1(a,b为正实数)只有一个零点,则=4a-4(-b+1)=0,即a+b=1.令b+1=t,t1,则b=t-1,t1,a+b=a+t-1=1,a+t=2,故+=+=+-,2=(a+t)-2=-2-2=-2=.,【方法归纳】(1)基本不等式是解决最值问题的重要工具,条件是“一正二定三相等”,应用时要注意对条件的逐一验证,尤其是等号成立的条件.(2)“1”的代换是基本不等式应用的常用题型,灵活应用“1”的代换凑出应用基本不等式的条件是解题的关键.(3)分母是多项式,不便于利用基本不等式时,可通过换分母,变为单项式,再利用基本不等式求解最值,同时要注意对条件“一正二定三相等”的逐一检验.,1-1已知正实数m,n满足m+n=3,则+的最小值为.,答案3,解析令n+1=t,t1,则n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,故+=m+=m+t+-2=2+=2+(m+t)=2+2+2=3,当且仅当m=t=2时取等号,故+的最小值为3.,1-2已知正数a,b满足2a+b=1,则+的最大值为.,答案,解析令a+1=m,b+2=n,m1,n2,则a=m-1,b=n-2,2a+b=2(m-1)+n-2=2m+n-4=1,则2m+n=5,所以+=(2m+n)=,所以+=+=2-2-=,当且仅当n=2m=时取等号,故+的最大值为.,题型二基本不等式与构造法、放缩法的综合,例2(1)已知a1,b2,则的最小值为.(2)已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=+的最小值是.,答案(1)6(2)3+2,解析(1)构造图形(如图),在直角三角形中,由勾股定理可得(a+b)2=(+)2+9,则=(+)+6,当且仅当+=3时取等号,故的最小值为6.,(2)由题意可得x,y,z(0,1),x2+y2=1-z2=(1+z)(1-z)2xy,则,当且仅当x=y时取等号,则S=+=(1-z)+z=3+3+2=3+2,当且仅当=,1-z=z,z=-1时取等号,故当x=y=,z=-1时,S取得最小值3+2.,【方法归纳】(1)当目标函数与基本不等式的应用在形式上相差较大时,可根据目标函数的特征构造出相应的图形,再结合图形对目标函数化简、求解;(2)当目标函数较复杂时,可根据已知条件对目标函数化简,必要时可利用放缩法.,2-1(2018江苏扬州中学高三模拟)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为.,答案,解析因为x,y0,所以x2+y2(x+y)2.令t=x+y,则0t1.故4x2+4y2+(1-x-y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14,当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号;另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1,当x=y=时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2.,题型三利用基本不等式解决实际问题,例3(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.,答案30,解析设一年的总运费与总存储费用之和为f(x)万元,一年购买次,则一年的总运费与总存储费用之和f(x)=6+4x=44=120,当且仅当x=30时取等号,故一年的总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.,【方法归纳】基本不等式是解决实际问题中最值问题的常用方法,解题步骤如下:一是由实际问题建立目标函数,即将实际问题转化为数学问题;二是利用基本不等式求解最值,注意对条件逐一检验,尤其是等号成立的条件,若等号取不到,则应用函数在定义域上的单调性求解.,3-1某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中ABC=BAD=90,AD=DC=2km,BC=1km,现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;(2)如图,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长