2019年中考数学专题3函数及其图像3.1位置的确定与变量之间的关系（讲解部分）素材.pdf

第三章 函数及其图象 3. 1 位置的确定与变量之间的关系 49 考点一 平面直角坐标系 1. 各象限点的坐标的符号特征 2. 点到坐标轴的距离 点 P(x,y)到 x 轴的距离为|y|,到 y 轴的距离为 |x| ,到 坐标原点的距离为x2 +y 2 . 3. 特殊点的坐标特征 (1)坐标轴上点的坐标特征: x 轴上的点 纵坐标为 0 ;y 轴上的点横坐标为 0;原点的 坐标为 (0,0) . (2)象限角平分线上的点的坐标特征: 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等; 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 互为相反数 . (3)垂直于 y 轴的直线上的点的纵坐标相等,垂直于 x 轴的 直线上的点的横坐标相等. 4. 直角坐标系内点的对称和平移 (1)点 P(x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y),点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为 (-x,y) ,点 P(x,y)关于 原点对称的点的坐标为(-x,-y). (2)将点 P(x,y)向右(或向左)平移 a(a0)个单位,得到 对应点 P(x+a,y)(或(x-a,y); 将点 P(x,y)向上(或向下)平移 b(b0)个单位,得到对应 点 P(x,y+b)(或(x,y-b). 考点二 函数及其图象 1. 函数的定义 一般地,在一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 在 某一范围内的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量. 注意(1)在某一变化过程中,有两个变量 x 和 y; (2)y 的值随 x 值的变化而变化; (3)对于 x 的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 函数值的定义 对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当 x=a 时,函 数有唯一确定的对应值,这个对应值叫做 x=a 时的函数值. 3. 函数的表示方法 函数的表示方法有解析法,列表法和 图象法 . 4. 自变量的取值范围 (1)函数解析式有意义的条件: 当函数解析式为整式时,自变量可取全体实数; 当函数解析式为分式时,考虑分式的分母不能为 0; 当函数解析式为二次根式时,被开方数为非负数. (2)实际问题有意义的条件. 5. 画函数图象的步骤 列表、 描点 、连线. 6. 函数的实际应用 对已知的函数的图象,要弄清楚函数图象上点的意义,对于 实际问题,要弄清图象的横、纵坐标表示的意义,横、纵坐标的单 位,图象的变化趋势等,从而表达出所反映的实际意义. 49 方法一 平面直角坐标系内点的坐标的求法 1. 利用对称、平移的性质求点的坐标. 对称:关于 x 轴对称的点,横坐标相等,纵坐标互为相反 数;关于 y 轴对称的点,纵坐标相等,横坐标互为相反数;关 于原点对称的点,横、纵坐标均互为相反数. 平移:对应点的横、纵坐标分别同增或同减相同的单位. 例 1 (2016 武汉,6,3 分)已知点 A(a,1)与点 A(5,b)关 于坐标原点对称,则实数 a、b 的值是( ) A. a=5,b=1B. a=-5,b=1 C. a=5,b=-1D. a=-5,b=-1 解析 关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反 数. 点 A(a,1)与点 A(5,b)关于坐标原点对称, a=-5,b=- 1,故选 D. 答案 D 2. 根据平面直角坐标系中点的坐标特征,建立不等式(组) 或方程(组),把坐标问题转化为不等式(组)或方程(组)来解. 例 2 (2016 梅州,11, 3 分)已知点 P(3-m,m)在第二象 限,则 m 的取值范围是 . 解析 因为点 P 在第二象限,所以根据坐标系内点的坐 标特征得 3-m0, 解得 m3. 答案 m3 3. 利用点的坐标构造直角三角形,从该点向 x 轴(或 y 轴) 作垂线,结合图形的特征求出该点的坐标. 例 3 如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标是(-2,1),点 C 的纵坐标是 4,则 B、C 两点的坐标分别是( ) A. 3 2 ,3 () 、 - 2 3 ,4 () B. 3 2 ,3 () 、 - 1 2 ,4 () C. 7 4 , 7 2 () 、 - 2 3 ,4 () D. 7 4 , 7 2 () 、 - 1 2 ,4 () 解析 过点 A 作 AA1x 轴于点 A1,过点 B 作 BB1x 轴于 点 B1,过点 C 作 B1B 的垂线,交 B1B 的延长线于点 D,如图所示, 易知AOA1BCD,故点 B 的纵坐标是 4-1 = 3,由AOA1 OBB1得OA 1 BB1 = AA1 OB1,即 2 3 = 1 OB1,解得 OB1 = 3 2 ,所以 B 3 2 ,3 (), 故点 C 的横坐标为 3 2 -2=- 1 2 ,即 C - 1 2 ,4 (),故选 B. 答案 B 变式训练 (2016 广西河池,12,3 分)如图,在平面直角坐 标系中,P 与 x 轴相切,与 y 轴相交于 A(0,2),B(0,8),则圆 心 P 的坐标是( ) A. (5,3)B. (5,4)C. (3,5)D. (4,5) 答案 D 解析 如图,过 P 作 PCAB 于点 C,过 P 作 PDx 轴于 点 D,连接 PB, P 为圆心, 根据垂径定理得 AC=BC, A(0, 2),B(0,8), AB=8-2=6, AC=BC=3, OC=8-3=5. P 与 x 轴相切, PD=PB=OC=5,在 RtPBC 中,由勾股定理可得 PC=PB2 -BC2=5 2 -3 2 =4, P 点坐标为(4,5),故选 D. 方法二 函数图象的判断及其应用 对于函数图象,(1)要弄清函数图象上一些特殊点的意义, 如起点、终点、转折点、交点等;(2)要认识图象的变化趋势,上升 或下降,直线或曲线;(3)有关实际问题的函数图象,要清楚横、 纵坐标表示的意义. 例 4 (2016 山东烟台,12,3 分)如图,O 的半径为 1, AD,BC 是O 的两条互相垂直的直径,点 P 从点 O 出发(P 点与 O 点不重合),沿 OCD 的路线运动,设 AP=x,sinAPB=y, 那么 y 与 x 之间的关系图象大致是( ) 解析 当 P 在 OC 上运动时,根据题意得,sinAPB=OA AP, OA=1,AP=x,sinAPB=y, xy=1,即 y= 1 x (1x 2), 当 P 在 CD ( 上运动时,APB=ACB=45, y = sin 45= 2 2 ( 2x2), 图象前半段为反比例函数的图象,后半段是直线,故 选 C. 答案 C 思路分析 根据 P 点的运动路线,找出APB 的变化规律 是解决本题的关键. 变式训练 (2015 广东,10,3 分)如图,已知正ABC 的边 长为 2,E,F,G 分别是 AB,BC,CA 上的点,且 AE = BF = CG,设 EFG 的面积为 y,AE 的长为 x,则 y 关于 x 的函数图象大致是 ( ) 第三章 函数及其图象15 答案 D 解析 AE=BF=CG,AB=BC=CA, BE=FC=AG, 又A=B=C=60, AEGBFECGF, AE=x, BE=2-x, AG=2-x, 作 GHAE 于 H,则 GH=AGsin A= 3 2 (2-x). SAEG= 1 2 AEGH= 3 4 x(2-x), 又 SABC= 1 2 22sin 60= 3, SEFG= 3-3SAEG,