平面刚架动力特性分析毕业设计论文.doc

河北大学2008届本科生毕业设计一 序言 刚架结构在工程上很多见,比如建筑工程中的框架结构、桥梁,机械行业中起重设备、轴类零件,飞机的框架结构等等。刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构。如果问题可以简化为平面结构,就称之为平面刚架。动力分析的方法主要有集中质量法、广义坐标法和有限单元法。集中质量法是将一连续结构的质量被集结于某一系列离散的点或快上，惯性力仅在这些质量点上产生，因此使问题大大简化。集中质量法对处理大部分质量实际上集中在几个离散点上，该方法比较有效，但对于某些质量分布相当均匀的结构体系显然存在较大的误差。广义位移法是假定结构的位移可以用一系列规定的位移曲线的和来表示，而这些曲线则成为结构的位移坐标。以简支梁为例，与其结构约束条件相适应的任意形状，都可以用正弦波分量的无穷级数来表示。正弦波形状的幅值可以作为体系的广义坐标，而实际梁的无限自由度则用级数中的有限项来表示。广义坐标法比用集中质量法更为准确。有限单元法综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，已经成为动力分析中广泛使用的方法。有限单元法的基本思想就是将连续结构分成适当数量的单元。单元之间由节点彼此连接在一起，这些节点的位移成为结构的广义坐标。对每一单元选择适当的位移函数，建立单元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，获得单元的动力分析方程，然后按一定规则集总成整体结构动力分析方程，然后求出结构的节点位移、速度和加速度。早在20世纪50年代,M.J.特纳和L.C.托普等将求解杆系结构的方法采用矩阵表示推广到连续体力学问题,R.W.克拉夫1960年首先使用有限元这一名称。有限元方法主要考虑有关域的离散化，即时空有限元法。不同域的有限元方法可以使用传统的欧拉有限差分法包括中心差分、向前差分和向后差分,再对偏微分运动方程在一个时间单元内用高阶拉格朗日插值、埃米特插值或三次样条插值等多次多项式插值求出条件稳定且有较高精度的逐步积分格式。该方法十分适宜于计算机计算。 FORTRAN语言中文叫公式翻译语言，是IBM公司发明的计算机高级语言。是我国六七十年代流行的两大编程语言之一,用于较大的机种。七十年代末起，用于PC。FORTRAN语言逻辑性强，程序结构清晰，语法语义简捷好懂，特别适合用于科学计算，数据采集处理，调用绘图库（例如GKS,DISPLA等）可以绘图 。大型 MainFrame 计算机，DEC 计算机 等都用 FORTRAN。 从FORTRAN90开始，加入了可视化。FORTRAN语言是目前世界上仍广泛流行的、适用于数值计算的一种计算机语言。本文采用FORTRAN语言，编制了平面刚架动力分析的有限元程序，通过工程实例讨论其振动周期和振型型与质量和刚度之间的关系，并计算结果与Ansys计算结果进行比较，为平面刚架计算提供理论依据。二 平面刚架动力特性分析分析基础2.1 有限元分析基本理论有限单元法的思想是将实际上连续的弹性体进行离散化处理（划分单元），各单元彼此之间仅在有限个指定点（结点）处相互连接。同静力问题一样，用有限分析动力问题也必须首先将结构划分若干单元。在每个单元上选取一些简单函数的组合作为位移模型，将惯性力假想的作用在单元上，利用虚功原理建立单元的运动方程。然后按一定的规律把所有的单元的运动方程结合起来，经过适当的边界条件的处理，便得到整个结构的运动方程组。它们是以结点位移为未知量的常微分方程组，它们是以节点位移为未知量的常微分方程组，这一组常微分方程组就代替了原来连续体运动过程的偏微分方程。最后选择适当的方法来积分整体运动方程组，问题的解答将在结构的各离散点上给出。用有限元单元发分析动力问题的一般步骤如下： (1) 连续体的离散化。在动力分析中虽然引入了时间坐标，但在有限元分析中一般只对结构本身进行离散，其方法与静力分析相同。 (2) 选取单元的位移函数。以平面问题为例，单元内一点（x,y）的位移u,v的插值表达式为： (3) 用虚功原理（或变分原理）导出单元的运动方程，即形成danyuan 的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵。 (4) 将各单元特征矩阵集合形成离散结构的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，建立离散结构的整体运动微分方程组。 (5) 求解整体运动方程，得到各结点位移，进而计算应变和应力。2.1.1单元分析2.1.1.1局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系的单元刚度矩阵如图1,一个杆单元,已知杆长为L,横截面积为A,材料拉伸弹性模量为E。图1 典型平面刚架单元 节点位移为：； 节点力向量：局部坐标系下单元刚度矩阵的具体表达式可以采用叠加原理得到:= (2.1)2.1.1.2整体坐标系的单元刚度矩阵 式(2.1)相对于各个单元局部坐标系,换如果各个单元的方向并不一致,因此,各个单元的节点力和节点位移方向的描述也不一致,为了对节点力和节点位移作方向上的统一,需要建立整体坐标系x和y,从而将个单元的节点力和节点位移向整体坐标系转换。如图3,利用投影关系可以得到整体系和局部系之间的变换关系为: = （2.2）式下边的66阶方阵称为单元e的坐标变换矩阵。坐标转换矩阵为：T= (2.3)这里,为单元局部坐标系轴与整体系轴的夹角,图示方向为正。图3 坐标转换关系2.1.2刚度整体分析 整体分析的目的是建立节点载荷与节点位移的关系。由于每个节点都具备两种身份,在单元内为局部码(非1即2),在整个结构中也有其编码。比如图4,总共6个节点、5个单元,其中单元1、2节点对应的总码为1、4;单元1、2节点对应的总码为2、5等等。整体分析时要特别关注节点局部码与其总码的关系。可见,整体分析的关键是形成整体刚度矩阵。图42.1.2.1 刚度矩阵的分块形式对于一个具有n个节点的结构,系统具有3n个自由度,也就是说,由于节点载荷和节点位移都是具有3n个分量的列向量,整体刚度矩阵为3n3n的方阵。由于矩阵阶数较大,我们可以将刚度矩阵写作按节点分块形:n个节点的平面刚架的基本方程分块形式写作:这里,无论是单元刚度矩阵还是整体刚度矩阵,每个子块按元素排列都是33方阵。2.1.2.2刚度集成由上面的分析可以看出,整体刚度矩阵与单元刚度矩阵的阶数不一样,对于一个具有n个节点的平面刚架,整体刚度矩阵的分块形式为nn阶,单元刚度矩阵总是2阶;按照元素个数分,他们的阶数都乘以3。因此,直接由单元刚度矩阵经过矩阵运算得到整体刚度矩阵是不可能的,目前,采用较多的是刚度集成法,也称为直接刚度法。这种方法包括以下3个步骤:第一,将分块形式的单元刚度矩阵扩阶,由2阶扩为n阶;第二,将原单元刚度矩阵 中的子块根据节点局部码与其总码的关系搬入扩阶后的单元刚度矩阵中;得到单元贡献矩阵 ;第三,将所有单元的贡献矩阵相加,得到整体刚度矩阵,即K= 。2.1.3单元质量矩阵2.1.3.1局部坐标系下的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元质量矩阵=同理，单元质量矩阵按整体的坐标进行转换=最后“对号入座”形成M和K。2.1.3 动力特性的的求解方法利用动力学的知识，可以得到（K- M）=0上式是位移幅值的齐次方程。为了的到的非零解，应使系数行列式为零，即， K- M =0上式方程称为体系的频率方程或特征方程。将行列式展开，的到一个关于频率参数的n次代数方程（n是体系自由度的次数）。把全部自振频率按由小到大的顺序排列而成的向量称为频率向量。表示与频率相应的主阵型向量。2.1.4 将广义特征值转化为标准特征值问题求解有公式导出： k=M （1-01）要首先化为同阶的对称矩阵的标准特征值问题。具体步骤如下：(1)将结构质量矩阵M进行乔列斯基分解(cholesky)。质量矩阵M是对称正定矩阵，根据线性代数理论，一个对称正定矩阵总可以分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即 M=L (1-02)(2)形成对称矩阵A。将式(1-02)代入式(1-01)得 k =LM 以左乘上式，并注意到=，则有 k =M 令 = （1-03） = （1-04） A= k （1-05）则式（a）变成为 AX=X因为K是对称矩阵，由式（1-03）可见A= ,即A为对称矩阵。这样就可以利用雅克比法求得式（a）中对称矩阵A 的特征值和特征向量X。2.1.5由雅克比法求特征值与特征向量雅克比法： 设、是n阶对称矩阵A的特征值，、是相应的特征向量。如果把这些特征向量作为列组成一个n阶方阵S: S= 显然S是正交矩阵。又以特征值为对角元素组成对角阵: =则有： AS=S或=反之，如果我们找到这样一个正交矩阵S,使得为对角，则这个对角阵的对角元素就是A的特征值，S的每一个列就是相应的特征向量。但要直接找到这样一个正交矩阵S是很困难的，雅克比法是找一系列的正交阵、,通过一系列的相似变换，即逐次计算： = = =当k充分大的时候，的非对角线元素会变的非常小。这时就可以认为的对角元素就是对称矩阵A的特征值，而矩阵=的各列就是相应的特征向量。2.1.6平面刚架自振频率和振型广义特征值问题，由式（1-03）可得平面刚架的自振频率： 又由式（1-04）可知，原广义特征值问题的特征向量（平面刚架的阵型）按下式计算：求得的振型放入在数组中。三 Fortran有限元程序Fortran语言是一种面向过程的语言,是目前流行较广的适用于科学计算的高级语言。它具有强大的科学计算速度和能力,是一种适合数值计算的语言,其语法检查严格,运行稳定性好,在科学计算和工程分析领域中有广泛的应用,并被很多工程技术人员使用。 数据库技术是计算机技术中发展最快、应用最广的技术之一,已成为现代计算机信息系统和应用系统开发的核心。在CAD/CAM、地理信息处理、军事指挥、控制和通信等各种工程应用领域,也越来越多地采用了工程数据库管理系统。目前,大多数的Fortran程序的工作方式是,首先通过屏幕或原始数据文件输入数据,进行运算,运算结束后把计算结果保存在数据文件中。在这一过程中原始数据的准备十分繁琐并且容易出错,计算结果的阅读也十分费神,而且不便于数据的共享与检索,而利用数据库技术可以很容易的改变这种状况。因此在Fortran中利用数据库对数据进行管理,将大大扩展Fortran的应用范围和操作数据的能力。3.1FORTRAN程序的结构3.1.1程序分块 FORTRAN语言的主要特点，就是每个程序由一个或几个独立的程序块构成。所谓“独立”有两重涵义。第一、每个程序块中独立使用语句标号和变量各字，即使与别的块中的标号或名字重复，也没有关系。只有少数专门用来与别的程序块建立联系的名字是例外，例如程序块本身的名字和第八章中将介绍的“有名共用区”的名字。第二，每个程序块是一个独立编译的单位。原则上可以只编译不计算，留待将来各块都编译通过之后，再“装配”成一个统一的程序，进行计算。编译程序检查语法错误，也是在每个程序块范围以内进行。准规定的独立程序块有四种:主程序、子程序分程序、函数分程序和初始数据块分程序。有的FORTRAN文本增加了任务分程序、复盖分程序等等。以后为了行文简便，多数情形下省去“分程序”一词，直接称为子程序、函数、初始数据块等。3.1.1.1主程序 主程序就是一段可以独立执行的程序，它不需要专门说明为主程序。通常主程序开头有若干说明语句，也可能没有任何说明语句，后面有一些可执行语句，最后一行是END。主程序一般是有始有终的，即以一个STOP语句来结束计算。周而复始、永不停止的主程序，从语法规定上是容许的，那就要从控制台来强迫它停止。最好是在程序内部安排好，一定条件满足后主动停止计算。3.1.1.2子程序分程序 子程序分程序，简称子程序，必须用子程序语句SUBROUTINE加以说明，并且有一个独特的名字，后面可以跟一个夹在括弧中的参量名单，也可以没有参量，随着是一段可以执行的程序，其中至少要有一个返回语句RETURN，最后一行也是END。3.1.1.3函数分程序 函数分程序，简称函数，其结构与子程序很相似。区别主要有三条。第一，它要用函数语句FUNCTION说明。第二，它至少有一个参量。有无参子程序，没有无参函数。第三、函数的名字本身必须在函数分程序中至少赋值一次，即出现在等号左面一次。我们将尽量利用FORTRAN程序分块的特点，将各种例子写成独立的子程序或函数，以便读者取用。3.1.1.4程序的装配 一个完整的FORTRAN程序由一个主程序和多个子程序、函数、初始数据块组成。简单的程序只有一个主程序，没有其它程序块。这些程序是独立的，同时又组成一个整体，问题是什么时候把它们装配成一个统一的程序。常见的情形有两种:一种是在编译之前装配，一种是在执行之前装配。这是由具体计算机的软件和操作管理系统的完备程度决定的。编译之前的装配由程序员自己实现。程序员把各个程序块依次穿成卡片或纸带，结衷行END表示一个程序块结束，而整个程序的结束还要用一个特殊的语句，例如FINISH说明。有的编译程序还要求一定把主程序放在最前面，或用主程序语句(例如MASTER)说明等等。一个久经考验的子程序或函数，如果在许多程序中都用到，也要每次以源程序形式装人，并且占用编译时间。如果使用卡片输入，同一叠子程序卡片可以插入不同程序中。用纸带渝入时，这要涉及纸带的剪接，对用户就不很方便了。更为灵活的是在执行前装配。这就要求软件系统中配备有连接装配程序。这时编译程序可以单个编译独立的程序块，将目标程序记录到磁盘、磁带或纸带上。用户可以积累大批编译好的子程序和函数，然后根据具体计算要求编写主程序，编译通过之后再与必要的子程序和函数装配成可以执行的程序。这种方式可以利用大批现成的目标程序块，加少量临时编写的主程序和分程序，装配出各种不同用途的程序。经常用到的目标程序块可以组织成程序库，由装配程序根据主程序中的调用情况自动选择和装配。这样作不仅仅增加了组织整个程序的灵活性，而且可以节省大量重复编译的时间。只有在这种装配方式下，FORTRAN程序块的独立性才是完全的。3.2 程序说明通过第二章的介绍，对程序的进行一下说明。LSC用来求单元常数，而ESM求单元刚度阵，EMM求单元的质量阵，CTM求坐标转换矩阵，那么转换后的和由程序TTKMT求出。ELV形成单元定位向量。子程序LLT的功能是将结构质量矩阵进行分解，分解成一个下三角和一个上三角矩阵的乘积，求解的存放在数组中，并将上的三角副原元素全改为零。子程序INVS的功能是求三角矩阵的逆阵，得到存放在二维数组中。程序SMA的功能是求对称矩阵，即A= 。而程序JACOBI是用雅可比法求的全部特征值与特征向量。执行JACOBI后，数组的对角线上存放的是对称矩阵特征值，数组的每一列是对称矩阵特征向量。程序NFM输出平面刚架自振频率和振型。3.3 程序流程图把单元刚度矩阵和质量阵转化成整体的刚度和质量矩阵流程图：子程序TSMM的框架图 由2章综上所述，程序FVF流程图的总框架如图所示：结束NFM计算和输出刚架的自振频率和阵型JACOBI求A的特征值和特征向量SMA求对称矩阵A=INVS 求逆阵开始Input输入原始数据TSMM形成总刚K和质量矩阵MLLT分解结构质量矩阵M= 程序FVF的总框架图四 工程实例工程实例； 图示北京某写字楼地上5层，为五层钢筋混凝土框架的水平地震作用。已知：每层高5m，宽为6m；混凝土的弹性模量E=，密度；各层柱的截面积为=0.16，=0.0021，梁的截面积为=0.15，=0.0045；地震类别为小震，远震；设防烈度为8度；建筑场地为类场地；图4-1 五成刚架结构简图4.1 frotran程序计算参数分析如下: 将刚架的梁和柱均划分为长度相等的单元，单元编号，结点编号和结点位移分量编号如图所示。则用程序FVF计算其自振频率和阵型的输入数据文件如下：15,12,30,2.8E10,25000.0,25.0,0.0,20.0,0.0,15.0,0.0,10.0,0.0,5.0,0.0,0.0,6.0,0.0,6.0,5.0,6.0,10.0,6.0,15.0,6.0,20.0,6.0,25.01,2,0.16,0.00212,3,0.16,0.00213,4,0.16,0.00214,5,0.16,0.00215,6,0.16,0.00216,7,0.15,0.00457,8,0.16,0.00218,9,0.16,0.00219,10,0.16,0.002110,11,0.16,0.002111,12,0.16,0.00215,8,0.15,0.00454,9,0.15,0.00453,10,0.15,0.00452,11,0.15,0.00450,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,0,0,0 NATURAL FREQUENCIES: NO.FREQUENCIESNO.FREQUENCIES19.249816549.1110228.882517596.4633351.457318683.2466475.189319801.1661595.510720802.94516153.811321847.20697175.786122910.88088194.547823991.40539196.884524994.544110233.7131251038.668911271.0644261192.617312328.2022271383.915013394.0701281407.236614395.3097291641.911115502.7628301673.4181VIBRATION MODES:MODE NUMBER: 11-0.01970.13642.2877-0.03330.13423.3962-0.04110.10794.1843-0.04460.074.5868-0.04540.03254.58680.04540.03254.18430.04460.073.39620.04110.10792.28770.03330.134210.01970.1364MODE NUMBER: 210.00960.09941.52050.0239-0.01410.80660.0378-0.128-0.58220.0463-0.143-1.56360.0488-0.0675-1.5636-0.0488-0.0675-0.5822-0.0463-0.1430.8066-0.0378-0.1281.5205-0.0239-0.01411-0.00950.0994 MODE NUMBER: 31-0.00360.04170.3789-0.0053-0.1326-0.9591-0.0132-0.052-0.4078-0.02350.13631.035-0.02780.09971.0350.02780.0997-0.40780.02350.1363-0.95910.0132-0.0520.37890.0053-0.132610.00360.0417 MODE NUMBER: 410.0093-0.043-0.72670.0166-0.1065-0.23410.01910.14080.96180.028-0.0525-0.88260.0344-0.1486-0.8826-0.0344-0.14860.9618-0.028-0.0525-0.2341-0.01910.1408-0.7267-0.0166-0.10651-0.0093-0.043MODE NUMBER: 51-0.004-0.1233-1.4388-0.01330.06081.5544-0.01990.0178-1.2942-0.0255-0.07910.8611-0.03420.20020.86110.03420.2002-1.29420.0255-0.07911.55440.01990.0178-1.43880.01330.060810.004-0.12334.2 平面刚架动力特性计算结果分析4.2.1EI对平面刚架频率的影响在原有基本参数的基础上，把其中的一些参数做了调整这样更有利于对个种结果的分析。其中把E这个参数该成了现在的E1和E2，分别对应于每层柱和楼板的弹性模量。图4-1梁的惯性矩与频率的关系图4-1给出了随着梁的刚度的增加但柱子的刚度保持不变频率变化的情况，从图中可以看出固有频率随刚度增加而增加，固有频率与梁刚度呈明显的非线形关系，惯性矩对低频的影响相对较小，但越是高频增加的变化也越明显加。4.2.2 不同部位质量的影响同样在原程序的基础上，把其中的一些参数做了调整这样更有利于对个种结果的分析。其中把这个参数该成了现在的和分别对应于每层柱和楼板的的密度。图4-2梁的质量与频率的关系图4-2给出了随着梁的质量的增加但柱子的质量刚度保持不变频率变化的情况，从图中明显可以看出质量刚度增加的同时频率也随着变化，它们之间成反比关系，随这质量的增加频率越来越小。五 ANSYS有限元程序ANSYS软件是由ANSYS公司开发的有限元计算分析程序(FEA)，能够进行包括结构、热、声、流体、电磁场等学科的研究。在核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等领域有着广泛的运用。5.1 基本功能分析 应用了ANSYS的模态分析功能。结构静力分析用来求解外荷载引起的位移、应力和节点力，静力分析适合于求解惯性及阻尼等时间相关作用对结构响应的影响并不显著的问题;也可计入各种非线性现象，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触面等。5.2 ansys的有限元计算模型计算模型如图4-1所示，各楼层的参数列出下表，有限元分析参数如表5.1所示。表5.1计算模型材料参数弹性模量泊松比惯性矩横截面积/高度/梁板柱子2.8E102.8E100.30.30.00450.00210.150.160.60.4用物理参数建立ansys模型如图5-1所示：图5-1 五层框架5.3 平面刚架动力特性计算结果分析通过ansys的计算的结果，把数据统计起来绘成图。5.3.1EI对平面刚架频率的影响在定义的种类2（梁）中，不多改变E的大小。分次计算得：图5-2梁的惯性矩与频率的关系图5-2给出了随着梁的刚度的增加但柱子的刚度保持不变频率变化的情况，从图中明显可以看出刚度增加的同时频率也随着变化，它们之间成非线形关系，惯性矩对低频的影响相对较小，但越是高频增加的变化也越明显加。5.3.2 不同部位质量的影响在定义的种类2（梁）中，不多改变密度的大小。分次计算得：图5-3梁的质量与频率的关系图5-3给出了随着梁的刚度的增加但柱子的刚度保持不变频率变化的情况，从图中明显可以看出刚度增加的同时频率也随着变化，它们之间成非线形关系，惯性矩对低频的影响相对较小，但越是高频增加的变化也越明显加。计算的结果几乎和本文编制的Fortran程序计算结果误很小，同时也验证了本文程序的正确性。六 结束语本文根据平面刚架动力分析的有限元模型，编制了相应的动力特性计算程序。通过对工程实例计算，对平面刚架动力特性的影响因素进行了分析。同时采用大型通用有限元分析软件ANSYS，建立平面刚架的有限元分析的计算模型。采分别用本文编制的平面刚架有限元动力分析程序和大型有限元分析程序ANSYS8.0，对工程实例进行了计算，计算结果表明，二种方法计算结果基本一直，验证了本文程序的正确性。 平面刚架的自振频率和主振型是结构的固有型式，只与体系本身的刚度系数和其质量的分布有关，而与外部荷载无关。当柱子的刚度不变改变梁的刚度，固有频率随刚度增加而增加，固有频率与梁刚度呈明显的非线形关系，惯性矩对低频的影响相对较小，但越是高频增加的变化也越明显加。当柱子的质量刚度不变，随着质量刚度增加，其自振频率也随着变化，它们之间成反比关系，随这质量的增加频率越来越小。参考文献：1 美R.W.克拉夫 J.彭津著 结构动力学M. 北京: 科学出版社. 1981，11.2 龙球