几何与代数二次型(微改).ppt

,几何与代数,主讲:王小六,东南大学线性代数课程,第6章二次型与二次曲面,第1节二次型,一.二次型及其矩阵表示,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an1,nxn1xn,n元实二次型,aij=aji,naijxixji,j=1,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,nf(x1,x2,xn)=aijxixji,j=1,xTAx,f的矩阵,A的二次型,f的秩:r(A),r(f),6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,nf(x1,x2,xn)=aijxixji,j=1,k1y12+k2y22+knyn2,?,f的标准形,(y1,y2,yn),=,k1000k2000kn,y1y2yn,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y),寻求可逆矩阵P,使得,寻求可逆的线性变换x=Py,使得,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,二.用正交变换化实二次型为标准形,定理6.1.(主轴定理)对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形f=1y12+2y22+nyn2,其中1,2,n为A的n个特征值,Q的列向量就是A的对应的n个单位正交特征向量.,正交变换下的标准形,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,例1.用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3化为标准形.,|EA|=(1)(2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(EA)x=求得对应的特征向量1=1,0,1T,2=0,1,0T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的.,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,把它们单位化可得正交矩阵,令x=Qy,得该二次型的标准形为,=yTy=y22+2y32.,f=xTAx=(Qy)TA(Qy)=yT(QTAQ)y,000010002,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,三.用配方法化实二次型为标准形,例3.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.,解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3,令,则f=4y12+3y22+(8/3)y32.,P,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,四.惯性定理与规范形,主轴定理告诉我们，对于实二次型f(x)=xTAx，存在正交变换将其化为标准型f=1y12+2y22+nyn2；配方法告诉我们，对于实二次型f(x)=xTAx，存在一个或多个可逆线性变换(可以非正交)将其化为标准型f=k1y12+kmym2,问：1,2,n与k1,k2,km有何关系？,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,定理6.2.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为标准形f=k1y12+knyn2其中k1,kn中非零的个数r=秩(f),且正项的个数p与负项的个数q(p+q=r)都是在可逆线性变换下的不变量.,1.惯性定理,从矩阵角度来理解定理6.2：对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得QTAQ=,那么k1kn与1n的非零元个数及正负数个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,如果还存在某个可逆矩阵P使得PTAP=.,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,推论6.1.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为规范形且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).,注：推论6.1和6.2可以分别被证明，也可互推.,交换第一三列,交换第一三行,如果从矩阵的角度证明推论6.2，下述例题隐含着一些思路.,例6.设A=，N=，证明：存在可逆矩阵P使得PTAP=N.,-400000003,1000-10000,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,-400000003,003000-400,30000000-4,3000-40000,P(2,3)P(1,3)AP(1,3)P(2,3),=,3000-40000,P(2,3)P(1,3)AP(1,3)P(2,3),1/0001/20001,1/0001/20001,=,1000-10000,P,PT(此处不等于P-1),第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,定义:对于方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得PTAP=B,则称A与B合同，记为AB.,易见,矩阵间的合同关系满足反身性:AA;对称性:ABBA;传递性:AB,BCAC.即矩阵间的合同关系是一种等价关系.,二次型f(x)二次型g(y),x=Py,AB=PTAP,定理6.1.设n阶实对称矩阵A与对角阵合同.,Q为正交阵，QT=Q-1,进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与下列对角阵合同,Ep,Eq,O,(p,q分别为A的正负惯性指数),第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,思考：n阶实对称矩阵A还会与什么样的对角阵合同？,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,推论6.3两个n阶实对称矩阵A和B合同它们具有相同的秩和正惯性指数.,A与B具有相同的规范形,注：,n阶实对称矩阵A和B合同,A与B具有相同的秩和正惯性指数,由秩和惯性指数的定义可得,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,五.二次型的正定性,1.定义:,设实二次型f(x)=xTAx满足对Rn中任何非零向量x,有f(x)0,则称之为正定二次型,称A为正定矩阵.若对Rn中任何非零向量x,有f(x)0.,命题1.二次型f=d1y12+d2y22+dnyn2是正定的当且仅当d1,d2,dn全大于零.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,(x1,xn),=d1x12+dnxn2,命题1.diagd1,dn正定i,di0.,命题1.二次型f=d1y12+d2y22+dnyn2是正定的当且仅当d1,d2,dn全大于零.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,x,Px,(Px)TA(Px)0,xT(PTAP)x0,命题2.可逆线性变换不改变二次型的正定性.,命题2.A正定,P可逆PTAP正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,PTAP=diagd1,dn,P可逆,d1,dn0,A的正惯性指数=n,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,A的正惯性指数=n,QTAQ=diag1,n,Q正交,1,n0,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,3.判定,QTAQ=,=E,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n0,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,3.判定,E与A合同,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得PTEP=A,可逆阵P使得A=PTP,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,3.判定,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得A=PTP,x,Px,xTAx=xT(PTP)x=(Px)T(Px)=|Px|20,A正定,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,Ann正定,A的正惯性指数=n,A的特征值1,n0,A与单位矩阵E合同,可逆阵P使得A=PTP,定理6.4.设A为n阶实对称阵,则下列条件等价:,(1),(2),(3),(4),(5),(即xxTAx0),|A|=1n,或|A|=|PTP|,=|PT|P|,=|P|P|,推论6.4.设A是正定矩阵,则|A|0.,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,例7.同阶正定矩阵A,B的和A+B仍为正定矩阵.,例8.设实对称矩阵A满足A23A+2E=O,证明存在可逆矩阵P,使得A=PTP.,证明:设为A的一个特征值,则23+2=0,故=1或2,因此A的特征值均大于零.,所以A是正定的.所以存在可逆矩阵P,使得A=PTP.,xT(A+B)x=,xTAx+xTBx,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,例9.设A是正定的n阶实对称矩阵,证明A+E的行列式大于1.,证明:因为A是正定的n阶实对称矩阵,所以|A+E|=(1+1)(n+1)1.,所以A的n个1,n均大于零.,第六章二次型与二次曲面,6.1二次型,定理6.5.n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是A的各阶顺序主子式,1=a11,均大于零.,n=|A|,故A不是正定的.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例10.若f(x1,x2,x3),=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3,是正定的,求a的取值范围.,解:f(x1,x2,x3)的矩阵A=,f(x1,x2,x3)是正定的,1a1a12125,的顺序,主子式1=10,3=|A|=a(5a+4).,1a20,a(5a+4),4/50,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),设P1AP=,M正定1,s,1,t0,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),设A为s阶的,则当is时,M正定M的顺序主子式0,A,B的顺序主子式0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,=A的i阶顺序主子式,当is时,M的i阶顺序主子式,=|A|B的is阶顺序主子式,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例11.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都