2019-2020学年高一数学下学期期中试题 (I).docVIP

2019-2020学年高一数学下学期期中试题 (I)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合M=x|x2-3x0，N=x|1x4，则MN=（） A.1，3）B.（1，3） C.（0，3 D.（-，-56，+）2.在ABC中，a=2，c=2，A=60，则C=（） A.30B.45C.45或135D.603.在等比数列an中，a2=2，a5=16，记an的前n项和为Sn，则S10=（） A.1024B.1023C.2048D.20464.在等比数列an中，a1，a4是方程x2-2x-3=0的两根，则a2a3=（） A.2B.-2C.3D.-35.设=（1，x），=（2，x-3），若当x=m时，当x=n时，则m+n=（） A.-2B.-1C.0D.-2或-16. 若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，则C=（） A. B. C. D.7.已知ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（） A.1：1：B.2：2：C.1：1：2D.1：1：48.已知为非零不共线向量，向量与共线，则k=（）A.B.C.D.89.数列1，的前n项和为，则正整数n的值为（） A.6B.8C.9D.1010.设a、b、c0，若（a+b+c）（+）k恒成立，则k的最大值是（） A.1B.2C.3D.411.在ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则ABC的形状为（） A.等边三角形B.有一个角为30的直角三角形 C.等腰直角三角形D.有一个角为30的等腰三角形12.已知数列an满足，Sn是数列an的前n项和，若Sxx+m=1010，且a1m0，则的最小值为（） A.2B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= _ 14.不等式的解集是 _ 15.已知向量=（3，-2），=（x，y-1），且，若x，y均为正数，则+的最小值是 _ 16.ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为BC边上一动点，则的最小值为_三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知在等差数列an中，a2=4，a5+a6=15（1）求数列an的通项公式； （2）设bn=2+n，求b1+b2+b10 18.已知数列an中，其前n项和为Sn， （1）求数列an的通项公式； （2）令，求数列bn的前n项和为Tn 19.数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（nN*），等差数列bn满足b3=3，b5=9 （1）分别求数列an，bn的通项公式； （2）设cn=（nN*），求cn的前n项和为Tn 20.已知不等式ax2+3x-20的解集为x|x1或xb （）求a，b的值； （）解不等式ax2+（b-ac）x-bc0 21.设数列an的n项和为Sn，若对任意N*，都有Sn=3an-5n （1）求数列an的首项； （2）求证：数列an+5是等比数列，并求数列an的通项公式； （3）数列bn满足bn=，问是否存m在，使得bnm恒成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由 22.已知向量=（cosx，-1），=（sinx，-），设函数f（x）=（+） （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在0，上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积 答案和解析【答案】 1.A2.B3.B4.D5.D6.C7.A8.C9.B10.D11.C12.A13.10 14. 15.8 16. 17.解：（1）由题意可知， 解得a1=3，d=1， an=n+2； （2） 18.解：（1）数列an中， ， 数列an是公差d=2，首项a1=4-2=2的等差数列， an=2n （2）由（1）知， =， Tn=（1-）+（）+（） =1- = 19.解：（1）由an+1=2Sn+1， 得an=2Sn-1+1（n2）， -得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an， an+1=3an，即=3，又当n=1时，=3也符合上式， an=3n-1 由数列bn为等差数列，b3=3，b5=9，设bn公差为d， b5-b3=9-3=2d，d=3，bn=3n-6 （2）由（1）知：an+2=3n+1，bn+2=3n， cn= cn的前n项和为Tn=+， =+， =+-=-=， Tn=- 20.解：（）因为不等式ax2+3x-20的解集为x|x1或xb 所以ax2+3x-2=0的根为1，bx=1时，a+3-2=0，a=-1； 所以-x2+3x-2=0，所以x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，所以x=1，2，所以b=2 综上知a=-1，b=2； （）不等式为-x2+（c+2）x-2c0，即x2-（c+2）x+2c0，即（x-c）（x-2）0， 当c2时，不等式的解集为x|2xc， 当c=2时，（x-2）20，不等式的解集为， 当c2时，不等式的解集为x|cx2 21.解：（1）a1=3a1-5a1=（2）Sn=3an-5nSn-1=3an-1-5（n-1）n2） an=an-1+an+5=an-1+=（an-1+5） =（为常数）（n2） 数列an+5是以为公比的等比数列an=（）n-1-5（3）bn=bn=-1= 当n3时，1；n=2时，1 当n=2时，bn有最大值b2=（bn）max= m=22.解：（1）函数f（x）=（+）=（cosx+sinx，-）（cosx，-1）=（sinx+cosx）cosx+ =sin2x+=sin（2x+）+2， 故函数f（x）的最小正周期为= （2）a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在0，上的最大值， f（A）=sin（2A+）+2=3，A= 由正弦定理可得=，sinC=，C=或C= 当C=时，B=，由正弦定理可得=，b=2，三角形ABC的面积为ac= 当C=时，B=A=，b=a=1，三角形ABC的面积为absinC=11= 【解析】 1. 解：因为集合M=x|x2-3x0=x|0x3，N=x|1x4， 所以MN=1，3） 故选：A 通过二次不等式求解推出集合M，然后直接求解MN 本题考查集合的交集的运算，确定集合的公共元素，是求解集合交集的关键 2. 解：a=2，c=2，A=60， 由正弦定理可得：sinC=， ca，可得：0C60， C=45 故选：B 由已知即正弦定理可得sinC=，利用大边对大角可得0C60，即可得解C的值 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题 3. 解：等比数列an的前n项和为Sn，若a2=2，a5=16，可得q3=8，q=2， a1=1 S10=1023 故选B 求出等比数列的公比，即可求出S10 本题考查数列求和，等比数列的性质的应用，考查计算能力 4. 解：a1，a4是方程x2-2x-3=0的两根， 由韦达定理可得a1a4=-3， 又an是等比数列， a1a4=a2a3=-3故选：D 由韦达定理和等比数列的性质易得答案 本题考查等比数列的性质和韦达定理，属基础题 5. 解：当x=m时，2m-（m-3）=0，解得m=-3 当x=n时，=2+n（n-3）=0，解得n=1或2 则m+n=-1或-2， 故选：D 利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6. 解：a2=c2-b2+ba，即a2+b2-c2=ab， cosC=， C为三角形内角， C= 故选：C 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 7. 解：ABC中，A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30、30、120， 则a：b：c=sin30：sin30：sin120=1：1：， 故选：A 利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值 本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题 8. 解：向量8-k与-k+共线， 存在实数，使=， 、为非零不共线向量 解得，k= 故选：C 用向量共线的充要条件是存在实数，使8-k=（-k+），及向量相等坐标分别相等列方程解得 本题主要考查了向量共线的条件，属于基础题 9. 解：最大角的余弦值为，则最大角为（不满足三角形）， 不妨设三边长为x，x+2，x+4， 则由余弦定理可得：（舍）， 故周长为3+5+7=15 故选：B 由已知可求最大角的值，设三边长为x，x+2，x+4，利用余弦定理即可解得边长，从而可求周长 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 10. 解：a，b，cR+， （a+b+c）（+）=2+2+2=4，等号当且仅当=时成立 又a，b，cR+，若（a+b+c）（+）k恒成立， k4， k的最大值是4故选：D 将（a+b+c）（+）展开，利用基本不等式求出其最小值，即得k的最大值 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是对不等式左边进行恒等变形构造出积为定值的形式，利用基本不等式求出左侧的最小值，根据恒成立的关系得到参数的最大值 11. 解：在ABC中，由正弦定理可得，又， sinB=cosB，且sinC=cosC， 故B=C=，A=，故ABC的形状为 等腰直角三角形， 故选C 在ABC中，由正弦定理和条件可得sinB=cosB，且sinC=cosC，从而得到B=C=，A=，故ABC的形状为 等腰直角三角形 本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题 12. 解：数列an满足， 可得a2+a3=3cos=-3，a4+a5=5cos2=5，a6+a7=7cos3=-7， ，axx+axx=xxcos1008=xx， 则Sxx-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+（axx+axx）=-3+5-7+9-+xx=1008， 又Sxx+m=1010， 所以a1+m=2， 由a1m0，可得a10，m0， 则=（a1+m）（）=（2+）（2+2）=2 当且仅当a1=m=1时，取得最小值2 故选：A 由Sxx-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+（axx+axx），结合余弦函数值求和，再由Sxx+m=1010，可得a1+m=2，由a1m0，可得a10，m0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值 本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题 13. 解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25， 得到a5=5， 则a2+a8=2a5=10 故答案为：10 根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案 本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题 14. 解：由得， 则（3x-2）（5-3x）0，即（3x-2）（3x-5）0， 解得， 所以不等式的解集是， 故答案为： 先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出解集 本题考查分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，属于基础题 15. 解：向量=（3，-2），=（x，y-1），且， 3（y-1）+2x=0， 即2x+3y=3； 又x，y均为正数， +=+=4+4+2=8， 当且仅当=，即2x=3y=时取“=”； +的最小值是8 故答案为：8 根据向量，得出2x+3y=3，再根据基本不等式求出+的最小值 本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了平面向量的共线问题，是基础题目 16. 解：因为ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， 所以三角形是直角三角形，以A为顶点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴， 设P(a，3-)，a(0，4)，B(4，0)，C(0，3)， 所以=(-a，-3)， 所以=3， 当a=时，模取得最小值，最小值为：= 故答案为： 17. （1）由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果 （2）由，利用分组求和法能求出结果 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用 18. （1）利用已知条件得到数列an是公差d=2，首项a1=4-2=2的等差数列，由此能求出数列an的通项公式 （2）由数列an是公差和首项均为2的等差数列，先求出Sn，进而求出bn，由此利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和为Tn 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要熟练掌握等差数列的性质，要注意等价转化思想和裂项求和法的合理运用 19. （1）利用递推关系、等比数列与等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n