毕业论文-数列通项公式几种求法的文献综述.doc

数列通项公式几种求法的文献综述摘 要； 从近几年高考的内容来看，数列是高考的重点内容，数列在实践和理论中均有较高的价值，而数列的列通项公式是数列的核心内容之一。本文从2000-2013年高考求数列通项公式有关资料查阅，对数列通项公式的常用方法做一个文献综述。关键词；数列、通项公式、求法、综述 . 高中教材中的数列有利于发展学生的发散思维能力和创新能力，数列在高中数学中占有重要的地位，也是高考的考点点，常常以择题、填空、解答题的形式出现，它可以与函数、方程、不等式、解析几何等知识相综合，数列在实践生活中的应用也较为广泛，例如，楼梯问题，人口增长问题，存款问题，分期付款问题，而数列的通项公式是解数列问题的突破口、关键点。数列的通项公式如同函数的解析式一样，知道数列的通项公式从而知道数列的每一项，因此，数列通项公式的解法，不仅为我们解决数列问题提供了解题思路，也有利于知识系统的理解和记忆。例如文献1通过分析几种教材中简单数列的性质和给出他们通项公式的求解方法，并分析了几种种常见方法的区别和联系，文献5阐述了数列构造法的定义，构造数列是利用初等代数的思想，通过待定系数法构造一个新的等比数列，从而利用等比数列的性质求出原来数列的通项公式。在文献11中，介绍了特征方程来求解数列通项公式与构造法相比，其中定义了二阶线性递推数列的特征方程为，构造法是高考解答递推数列的基本方法，而特征数列是竞赛数列的常用方法，以上文献对数列通项公式的求解应用方面只作为单方面的介绍。而有些没有通过实例加以说明，所以我将对这方面的内容加以综述，下面我们谈谈求数列通项公式的几种重要的解法。一，利用公式的方法例1（2011.福建高考，文，17）已知等差数列中，=1，=3，求数列的通项公式 解；设等差数列的公差为d，则由 可得 解得d=2 从而例2（2011.全国卷，文 17）设等比数列的前n项和为，已知，6，求和解；设等比数列的公比为q，由题得解得或当，时，当，时，二，利用前 项和与通项关系的方法例3（2008.安徽高考，文19）已知数列的前项和,数列的前n项和，求数列，的通项公式. 解；由题知对于n2时，=，=+因为=,当时也成立综上，的通项公式把带入得，故对于n2时，由， ， 例4（2009.浙江高考，文20）设为数列的项和，且=，其中是常数，求及 解; 由=得 = (n2)，也满足 所以，此类题应重视分类讨论思想的应用，分，与2时的情况讨论，特别注意=中需要2,由-推得，当时，若也适合“”式，则统一合写，如果不适合，则要分开写三，利用累加的方法形如的题型利用累加法，如，令带入得.以上各式相加得例5（2010.新课标，理17）设数列中=2，通项 解；由已知当1时， 由题知令 有以上各式相加得解得=例6（2008.四川，文16）设数列中，则通项= _ 解；由得，令，以上各式相加得，又，所以形如或=+ f(n) 类型的题，但要注意叠加时的项数，以免加错，注意可能用到的的公式+ + +=四，利用累乘的方法形如=f(n)或=可利用累乘法求如=，变式为令=f(1)，=f(2)，=f(3) ，以上各式相乘得 . 得=例7 已知数列中，,求的通项公式 解：由条件知=，分别令n=1,2,3，n-1带入上式得=分别令带入上式得=，= ，= ，= 以上各式相乘又因为，所以例8 设是首项为1的正项数列，且，它的通项公式= 解：已知等式可化为；（+）解得+=0或，因为0（n）所以=，分别令带入上式得=，。以上各式相乘得又因为，所以的通项公式五，利用构造数列的方法1，形如（，为常数）解题思路，两边可以加一个常数，即，所以数列是一个以为公比，为首项的等比数列，例9 已知数列中，求的通项公式 解；由题得，即，所以数列是以2公比，6为首项的等比数列，所以2，形如，其中(为常数）解题思路，两边同时除以，原式可化为设，原式即可化为的类形，即化为前面讲的类型，例10（2008.全国1，文19）在数列，设，证明：数列是等差数列 解：由已知，两边同时除以得，即又，因此是首项为1，公差为1的等差数列例11（2010.广东卷，理19）设数列的前项和为满足，其中，求的通项公式； 解；由已知，知，两式相减，得，又，也满足上式，所以对成立两边同时除得，设，即两边，所以是以为公比，为首项的等比数列，即=，所以3，构造差式与和式例12（2009.全国1，理20）在数列中，.设，求数列的通项公式. 解：由题知，所以得即，由已知得从而有，令n=1，2，3，n-1有，以上n-1个式子相加得，(n2),又满足，所以例13（2011.广东，文20）设b0，数列满足，（）求数列的通项公式. 解：由（），得当时，得=1，数列是以首项为1，公差 为1的等差数列，所以当时，由待定系数法得，（n2)数列是公比为，首项为的等比数列，所以，综上所述，当时，；当时，. 构造差式时与和式，即把数列化为形，或型，然后根据前面1所学的内容，构造一个等差或等比数列，从而求出通项4，构造对数或倒数式，（1） ，形如（p,q,r为常数），可化为，令，即原式化为前面所学的，（p,q为常数）型例14，（2008.陕西，理22）已知数列的首项，1,2,;求的通项公式； 解：，所以，又因为，所以数列是为公比，为首项的等比数列。所以=，所以例15（2008.高考）已知数列的首项，,n=1,2,3,.证明：数列是等比数列. 解：由已知得，令，所以，由待定系数法得，又，所以数列是以公比，为首项的等比数列，即是等比数列（2） 形如（p0,0),一般是两边取以为p底的对数，原式即可化为=，令，所以原式就化为前面我们所学的类型了例16数列中，0,且，求数列的通项公式. 解：由，两边取以3为底的对数得，令，原式可化为，由待定系数法得又，例17，设正向数列满足，（），求数列的通项公式 解：两边取2为底的对数得，设，则，是1为首项，2为公比的等比数列，5. 形如型，其中p,q,常数（1） 若p+q=1时，p=1-q,即，从而知是等比数列（2） 若，则存在x,y满足，整理得得，从而是等比数列例18 已知数列中，且，求的通项公式 解：因为，所以，所以数列是以为公比，为首项的等比数列所以=，以上个式子相加得，所以例19已知数列中，且（），求数列的通项公式 解：由，设所以q-p=1,=2,解得q=2,p=1或p=-2,q=-1当p=1,q=2时，整理得（）所以数列是2为公比，是以为首项的等比数列所以=，当p=-2,q=-1时，整理得（）所以数列是以为首，公比为-1的等比数列所以，由-得，所以六，利用归纳法的方法解题思路；由已知条件求出数列的前几项，由此猜想的通项公式，再用数学归纳法证明例20（2002.全国高考）已知数列中，求 解：由已知可得由此猜想，下面用数学归纳法证明当n=1时，左边右边，所以，时，等式成立假设当时，命题成立，即，则=k+2=(k+1)+1当时，命题也成立，综合上述，对任意的正整数有恒成立，即例21（2012.重庆，理21）设数列的前n项和满足，其中，证明：是首项为1的等比数列. 解 由，得因此猜想，下面我们用数学归纳法证明当n=1时，得，即，又由，得以上结论成立当n=k时，结论成立，即，那么即当n=k+1时，结论也成立综上可得，对任意的,，因此，是公比为，首项为的等比数列，求数列通项公式的方法有很多，要注意那种方法适用哪种题型，当已知数列为等差或等比数列时，可直接用等差或等比数列的通项公式，只需要求得首项及公差或公比，然而，当已知数列的前项和与的关时，当时，,当 时，当然这种题型也可以用数学归纳法做，例如2012年重庆理科高考卷第二十一题，设数列的前n项和满足，其中，证明是首项为1的等比数列.它的解题方法如下，由，由此猜想，然后用数学归纳法证明，这个题我们还可以用另一个方法，由，两式相减得，即，由，知，因此，所以首项为1，公比为的等比数列，两种方法各有各的长处，一般用数学归纳可能要复杂一点，但是由已知条件求出数列的前几项，用数学归纳法比较简单，形如的题型利用累加法，例如2010年新课标高考卷理科第十七题，设数列满足=2，求的通公式，令，分别带入中有，以上各式相加得=。例如2008年四川高考文科卷第十四题，设数列中，=2，求，此题与上一题都是同一种类型，同样令然后叠加所有项，从而求出，形如的题型用累乘法，例如本文中的例7。构造法可以说是数列中的重中之重，也是一个很重要的解题思想，体现了化归的数学思想，形如的递推数列，通常构造等比数列求解，即把原式化为的一个等比数列，从而求的通项公式，例如2006年的重庆高考，数列中，对（),有，求，本题可以两边同时加上3，使得，令，所以是等比数列，解得，形如，其中(为常数）两边可以同时除以可得一个形如，有些数列可以构造式与和式，解题的基本思路就是构造某两个相邻的两项之差，然后采用叠加的方法可求得这一数列的通项公式，例如2009年高考全国1卷理科第20题，在数列中，.设，求数列的通项公式.由，所以得，即，把题型转化为类型了，形如时，可以构造倒数式，例如2008年陕西高考第22题已知数列的首项，n=1,2,;求的通项公，由，所以，又因为，所以数列是为首项，为公比的等比数列。所以=，所以，即可以转化为类型，鉴于数列在高考数学中的重要地位和作用，我对六大类型的数列作为归纳，今后在做题中可以将数列快速的归类，从而按前面介绍的方法解出其通项公式，针对不同的类型我们可以选取最简单的方法进行解答。同时也可以另一种方法检查结果的正确性 。除了上述文献中归纳的几种求数列通项公式的方法外，我觉得数列通项公式求法中，可以用倒序相加的方法求数列的通项公式，例如数列中，求的通项公式，这种题可以用倒序相加的方法，由题知，两式相加得，任一门学科都需要在实践中不断的进步，总的来说，在掌握方法技巧的同时，要不断练习、思考、总结，才能灵活运用方法和技巧。参考文献1叶萍.高考数学中数列通项的求解方法J.考试周刊,2011,5(52):14-152赖积聪,张碧华.求数列通项的方法与技巧J.数学学习与研究,2012,30(13):97-983魏宝江.例谈数列求通项J.考试(高考数学版),2012,6(4):56-574邹巧如.数列通项公式的求法J.教师,2010,27(4):88-89 5于丽颖.浅谈数列通项公式的几种求法J.才智,2009,23(9):1096应天.论高考数列通项的