概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设的分布律为 12求。解：由分布律的性质，得，即，解得，。注：考察分布律的完备性和非负性。2、设的分布函数为，试用表示：（1）；（2）；（3）。解：根据分布函数的定义，得（1）；（2）；（3）。3、设二维随机变量的分布函数为，分布律如下： 123410020300试求：（1）；（2）；（3）。解：由的分布律，得（1）；（2）；（3）。4、设X，Y为随机变量，且，求。解：。注：此题关键在于理解表示，然后再根据概率的加法公式。5、只取下列数值中的值：，且相应概率依次为，。请列出的概率分布表，并写出关于的边缘分布。解：（1）根据的全部可能取值以及相应概率，得的概率分布表为 （2）根据的边缘分布与联合分布的关系，得 所以，的边缘分布为6、设随机向量服从二维正态分布，其概率密度函数为，求。解：由图形对称性，得，故。注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。7、设随机变量的概率密度为，（1）确定常数；（2）求；（3）求；（4）求。分析：利用，再化为累次积分，其中解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得。（2）；（3）；（4）。8、已知和的联合密度为，试求：（1）常数；（2）和的联合分布函数。解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得。（2）。9、设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度。解：。10、设在曲线，所围成的区域内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。解：据题意知，区域的面积为，由于在区域内服从均匀分布，故的概率密度函数为。，。注：此题求解首先必须画出区域的图形。然后根据图形确定积分上下限。习题3-21、二维随机变量的分布律为 （1）求的边缘分布律；（2），；（3）判定与是否独立？解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知 所以，的边缘分布律为（2），；（3）根据二维随机变量的分布律可知其边缘分布律 由于，所以与不独立。2、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与。据以往积累的资料知，和的联合分布律为 5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律。解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得 5152535455510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.200.280.280.220.090.13（2），8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为51525354553、已知的分布律如表所示， 01201/41/80101/3021/601/8求：（1）在的条件下，的条件分布律；（2）在的条件下，的条件分布律。 解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下： 01201/41/803/8101/301/321/601/87/245/1211/241/8（1）根据上表，可得，所以，在的条件下，的条件分布律为（2）根据上表，可得，所以，在的条件下，的条件分布律为4、已知的概率密度函数为，求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数。解：（1）；（2）当时，；当时，。注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。5、设与相互独立，其概率分布如表所示，-2-101/21/41/31/121/3 -1/2131/21/41/4求的联合概率分布，。解：由于与相互独立，故对任意，有，所以，的联合概率分布为 -1/213-21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/31/21/41/4，。6、某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7：558：00，而火车这段时间开出的时间的密度函数为，求此人能及时上火车的概率。解：令7：55看作时刻0，以分为单位，故，即的概率密度函数为，而与相互独立，故的联合概率密度函数为，所以，此人能及时上火车的概率为。7、设随机变量与都服从分布，且与相互独立，求的联合概率密度函数。解：据题意知，由于随机变量与都服从分布，所以与的概率密度函数分别为，又由于与相互独立，即，故的联合概率密度函数为。8、设随机变量与相互独立，且分别服从二项分布与，求证：。证：据题意知，故与的分布律分别为，又由于与相互独立，故，。9、设随机变量的概率密度为，问：与是否相互独立?解：【法一】任意给定所以，因而与不独立。【法二】若与相互独立，则对任意，有，而，即，所以，解得，或，很显然这是不成立的，故与不是相互独立的。10、设和是两个相互独立的随机变量，。（1）求与的联合概率密度；（2）设有的二次方程，求它有实根的概率。解：因为，所以；因为，所以，又相互独立，所以（1）（2）所求概率为。习题3-31、设随机变量和相互独立，且都等可能地取为值，求随机变量和的联合分布。解：由题意，和的分布律为X（Y）123pk1/31/31/3可见，下求（1）当时，（2）当时，（3）当时，所以得到关于，的联合分布律为V U1231231/9002/91/902/92/91/93、设，且求和的联合概率分布。解：由题意，所以，和的联合概率分布为 0101/4011/41/24、设的联合密度函数为，求的密度函数。解：当时，当时，所以，所以5、设随机变量的概率密度为（1）问和是否相互独立？（2）求的密度函数。解：（1），由、的对称性得，因为，所以和不独立。（2），由的表达形式知，当时，即当，也即时，所以，。7、设和为两个随机变量，且求 解： 。8、设随机变量的概率密度为（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y)；（3）求函数的分布函数。解：（1）有概率密度函数的性质，得解得，。 （2）， ；（3），当时， 当，当，所以，的分布函数为。10、设和为相互独立的两个随机变量，且服从同一分布，试证明：证：设，则，而由于和为相互独立且服从同一分布，所以，所以。总习题三1、在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次任取一只。考虑两种试验：（1）有放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量如下：；。试分别就（1），（2）两种情况，写出和的联合分布律。解：（1）有放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。， ， ，或写成0101（2）不放回抽样的情况或写成01012、假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量 （），求的联合分布律与边缘分布律。解：据题意知，的概率密度函数为，的分布函数为， （）相当于，所以，的全部可能取值为，且，故的联合分布律为1201010根据联合分布律与边缘分布律的关系，得1201010注：此题在求解时根据数轴的表示会容易些。3、在元旦茶话会上，发给每人一袋水果，内装3个橘子，2个苹果，3个香蕉。今从袋中随机抽出4个，以记橘子数，记苹果数，求的联合分布。解：的全部可能取值为，的全部可能取值为，且，所以，的联合分布律为0123001204、设随机变量与相互独立，表列出了二维随机变量的联合分布律及关于与的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：1解：据题意知，有，即，解得，又因为与相互独立，所以，即，解得，又因为与相互独立，所以，即，解得，又因为与相互独立，所以，即，解得，有，即，解得，有，即，解得，有，即，解得，而，即，即15、设随机变量的联合分布如表，-1011/41/421/6求：（1）值；（2）的联合分布函数；（3）关于的边缘分布函数。解：（1）由联合分布律的性质，知，解得；（2）；（3），。注：在边缘分布函数求解中，注意寻找联合分布函数中另一个自变量取值为的项即可。6、设随机变量的概率密度函数为，求：（1）系数；（2）。解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得。 （2）。7、设，求和。解：首先将联合密度函数中不为零的的取值画坐标图形，。注：此题确定积分上下限和自变量的取值必须结合坐标图形进行。8、若的分布律如表所示，则应满足的条件是 ，若与独立，则 ， 。12311/61/91/1821/3解：据联合分布律的性质，知，解得，；由联合分布律可得边缘分布律，即12311/61/91/181/321/31/2若与独立，则，故，即，解得，即，解得。综上，应满足的条件是，若与独立，则，。9、设二维随机变量的概率密度函数为，（1）确定常数；（2）求的边缘概率密度函数；（3）求联合分布函数；（4）求；（5）求条件概率密度函数；（6）求。解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得；（2），；（3）；（4）；（5）当时，；（6）.10、设随机变量以概率1取值为0，而是任意的随机变量，证明与相互独立。证：据题意知，所以的分布函数为，设的分布函数为，的联合分布函数为， 当时，对任意的，有，当时，对任意的，有所以，即与相互独立。11、设连续型随机变量的两个分量和相互独立，且服从同一分布。试证：。证：【法一】利用对称性，由于和相互独立，故，而，所以，。【法二】由于和相互独立，所以，而且和服从同一分布，所以，。12、设二维随机变量的联合分布律为若和相互独立，求参数的值。 解：由联合分布律可得边缘分布律1由于和相互独立，故，即，解得；，即，将代入，解得；又由于分布律的完备性，将，代入，解得。13、已知随机变量和的概率分布为 且。（1）求和的联合分布律；（2）问和是否独立？解：由于，根据对立事件的概率，得，即。而已知随机变量和的概率分布即为和的边缘分布律，所以和的联合分布律和边缘分布律可表示为1/2001/21/41/21/4而根据边缘分布律与联合分布律的关系，得，即，解得，即，解得，即，解得，即，解得。所以，和的联合分布律为1/401/41/201/201/21/41/21/4（2）由于，故和不独立。14、设的联合密度函数为，求：（1）与的边缘概率密度；（2）求条件概率密度，并问与是否独立？解：（1），；（2）当时，当时，由于，所以与不独立。15、设的分布律如表所示，求：1/102/103/102/101/101/10（1）；（2）的分布律。解：（1）的全部可能取值为，且，所以，的分布律为341/102/105/101/101/10（2）的全部可能取值为，且， ，所以，的分布律为21/102/107/1016、设的概率密度为，求的概率密度。解：由和的分布，得,被积函数不为零当且仅当，解得，所以，。注：被积函数不为零的部分必须画坐标，通过坐标图形确定自变量的取值以及积分上下限。17、设随机变量与相互独立，且概率密度函数分别为求：（1）常数；（2）随机变量的概率密度函数。解：（1