2019年高考数学一轮总复习专题30等差数列检测文.docx

专题30等差数列【学习目标】1.等差数列的定义，通项公式，递推公式，性质及求和公式.2.掌握待定系数法，利用数列公式列方程解方程.【知识要点】1等差数列定义an1and(常数)2等差中项在两个数a与b之间插入一个常数A，使a，A，b成等差数列，则把 叫做a与b的等差中项，A，即ab 3等差数列的通项公式an 4等差数列的公差(1)danan1；(2)d；(3)d.等差数列通项公式与函数的关系：通项公式ana1(n1)d可以写成andn(a1d)，它是关于n的一次函数(d0时)或常函数(d0时)，它的图象是一条直线上横坐标为正整数的一群孤立的点，公差d是这条直线的斜率5常用的等差数列的性质(1)若mnpq，则 (m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则 (2)ana1(n1)d可推广为 (3)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_(4)设Sn是等差数列an的前n项和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列，公差为_6等差数列前n项的和Sn(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等差数列的前n项和Sn与函数的关系：当d0时，Snn2n，Sn是关于n的二次函数，它的图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点；当d0时，Snna1，它的图象是一条射线上横坐标为正整数的一群孤立点(3)若an，bn为等差数列，其前n项和为Sn和Tn，则.【方法总结】1.判断给定的数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：在所给数列an中，任取相邻两项，使得anan1d(nN*且n2)，只需说明d是一个与n无关的常数即可.(2)通项公式：对给定数列an，若能总结出它的通项公式anbnm(b，m为常数)，说明an是n的一次函数即可.(3)求和公式法：若能求得数列an的前n项和Snan2bn(a，b为常数)是关于n的一个没有常数项的二次函数即可.(4)等差中项法：an1an12an(nN*且n2).2.求等差数列的通项公式常用的方法(1)由定义采用迭加法.(2)由定义采用不完全归纳法.(3)an由Sn求通项公式anf(n)时需分n1与n2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况可否用统一式子表示，否则就用分段函数表示.3.常用的方法与技巧(1)三数成等差数列的设法：ad，a，ad，d为公差；四数成等差数列的设法：a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.(2)会用方程的思想处理等差数列的有关问题等差数列的通项公式与前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确.【高考模拟】：一、单选题1等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】由成等比数列可得，利用等差数列的通项公式可得（ ，解出 即可【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题2已知下列四个命题：函数的零点所在的区间为；：设，则是成立的充分不必要条件；：已知等腰三角形的底边的长为，则8；：设数列的前n项和，则的值为15其中真命题的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】【分析】利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】对于命题：，所以函数f(x)在（1,2）单调递增，因为，所以函数的零点不在区间内,所以该命题是假命题；对于命题： 由于x0是的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；对于命题：,所以该命题是真命题；对于命题：,所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查零点问题，考查充要条件的判断，考查数量积的计算和项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3设列的前项和，若数列的前项和为，则（ ）A 8 B 9 C 10 D 11【答案】C【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和【详解】Sn为等差数列an的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则an=4+（n4）=n由于=，则，=，解得m=10故答案为：10故选：C【考点】等差数列性质、裂项相消求和.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.4若公差为的等差数列的前项和为，则A B C D 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和等差数列的求和公式，注意对公式的熟练应用是解题的关键.5等比数列的前项和，成等差数列，则（ ）A 15 B -15 C 4 D -4【答案】A【解析】【分析】利用成等差数列求出公比即可得到结论【详解】由题成等差数列，即即 解得， 故选：A【点睛】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键6还是原来的配方，还是原来的味道.已知等差数列的前项和为若，则A 35 B 42 C 49 D 63【答案】B【解析】【分析】运用等差数列的性质，、依然等差数列来求解【详解】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、也是等差，由题意得，则，故选【点睛】本题在解答时运用了等差数列前项和的性质，在运用性质时注意下标数字、，本题也可以转化为和的方程来求解。7已知等差数列的第6项是展开式中的常数项，则（ ）A 160 B C 350 D 【答案】D【解析】【分析】求出常数项得到a6，利用等差数列性质得到【详解】展开式中的常数项是由3个x和3个相乘得到的，所以常数项为（2）3=160，a6=160，则a2+a10=2a6=320，故选：D【点睛】在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则若，则；、 成等差数列8在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A -18 B 9 C 18 D 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.9的三个内角分别为,，则“ ”是“,成等差数列”的（ ）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】分析：由三角形内角和，可列出A、B、C三个角的关系，进而由等差中项的知识判断为等差数列.详解：由，则，所以A、B、C成等差数列，为充分条件，由A、B、C成等差数列，所以，由内角和公式可得，为必要条件.故选C.点睛：本题考查充分必要条件，与三角形内角和以及等差数列的性质结合，根据题意列式即可.10等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】【详解】分析：由根与系数关系可得，由等差数列性质可求得，根据等差数列的性质，即可求出结果.详解：由根与系数关系可得，由等差数列性质可求得，根据等差数列的性质.故选C.点睛：本题考查根与系数关系与等差数列的中项性质，当数列为等差数列，利用跟与系数关系中和的关系，当数列为等比数列时，利用根的乘法关系.11已知等差数列的前项和分别为，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】先转化化简，再利用已知求解.【详解】由题得.故答案为：C.【点睛】（1）本题主要考查等差数列的前n项和公式和等差中项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)对于公式要会顺用，同时也要会逆用.12在等差数列中，且，则的值（）A 3 B 6 C 9 D 12【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求.【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题，等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.13已知等差数列的通项公式为，且满足，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由等差数列先求出通项，然后求出详解：由已知可得：，即解得则故选点睛：本题考查了等差数列的通项及和的运算，较为基础，运用公式即可求出结果。14设的三内角成等差数列, 成等比数列,则这个三角形的形状是（ ）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由成等差数列得到，由成等比数列得到，然后根据余弦定理可得，于是可得三角形为等边三角形【详解】的三内角成等差数列，成等比数列，由正弦定理得在中，由余弦定理得，为等边三角形故选D【点睛】利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，首先对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，然后根据边或角再进行判断15已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为（ ）A 36 B 44 C 52 D 60【答案】C【解析】由两直线平行得，由两平行直线间距离公式得，得或，所以可得. .故选C.16在数列中，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.详解：是等差数列，其首项是1，公差为2，所以，所以，故，故选B.点睛：数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形.17已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（ ）A -1或2 B 0或2 C 2 D 1【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论详解：由，得 ，是正项等差数列， ， 是等比数列， 则，即故选：D点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题18等差数列的前项和为，正数数列是等比数列，且满足，数列的前项和为，若对于一切正整数，都成立，则实数的最小值为_【答案】10【解析】【分析】由，可得关于等差数列首项，公差，等比数列首项，公比的方程组，从而可得其通项公式，利用错位相减法可得 ，进而可得结果.【详解】 ，解得，相减，恒成立，即的最小值为，故答案为.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19有一个数阵排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8.2 4 6 8 10 12 14. 4 8 12 16 20. 8 16 24 32. 16 32 48 64. 32 64 96. 64 . 则第10行从左至右第10个数字为_.【答案】5120【解析】【分析】由数表可发现规律：第行第一个数为，第行组成以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得结果.【点睛】本题通过观察数表的规律，考查等差数列与等比数列的应用以及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是_【答案】2【解析】分析：由是等差数列，首项为，公差为，求出。详解：已知，所以，故是等差数列首项为，公差为，故点睛：等差数列前项和的性质：是等差数列首项为，公差为。21已知，并且，成等差数列，则的最小值为_.【答案】9【解析】分析：根据等差数列的性质，得到，由乘“1”法，结合基本不等式的性质，求出的最小值即可.详解：因为，成等差数列，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案是9.点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最小值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，已知两个正数的分式形式和为定值，求其整式形式和的最值的问题，注意乘1法的应用.22已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，如图所示，在该数表中位于第行、第行的数记为，如，.若，则_【答案】72【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得的值.详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，所以当n=44时，第44个偶数为，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,由题得2018排在第45行的第27位，所以45+27=72.故答案为：72.点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式找到2018所在的行.23公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为_尺（1匹=4丈，1丈=10尺）【答案】【解析】分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.24如果数列满足，则_【答案】【解析】分析：构造新数列，根据题意为以1为首项，1为公差得等差数列，从而求出的通项公式，进而求得答案.详解： 又是以1为首项，1为公差得等差数列，即，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列基本概念的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的通项公式，得到数列的通项公式，从而求得结果.25已知数列成等差数列，且，则 _； 若函数，记则数列的前5项和 _【答案】 5【解析】分析：根据条件及等差数列下标和的性质可求得；化简所给函数得，于是可得，由此可得所求值详解：数列等差数列，同理，又，点睛：下标和的性质是等差数列的重要性质，利用这一性质可简化等差数列的有关运算；另外，解答本题时要合理运用三角函数的诱导公式及数列的性质，运用整体代换的思路求解问题26已知数列中，则数列的前项和为_【答案】.【解析】分析：要求数列的前项和，应判断数列是什么数列。由可得，进而求得，两边取倒数可得，可得数列是等差数列，首项为，公差为1.根据等差数列的前项和公式即可求得。详解：因为，所以。所以。所以 ，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列。所以数列的前项和为 。点睛：本题考查由数列的递推公式求数列的前项和。由数列的递推公式求数列的通项公式的方法：累加法：如递推公式是形式的； 累乘法：递推公式是形式的； 倒数变换法：递推公式是形式的；构造数列方法：递推公式是形式的，其中为常数。 27已知数列满足：，对于任意正整数，总有成立，则_，通项_【答案】 10 【解析】分析：根据，成立，可以求得，数列为等差数列，从而可求得.详解：，对于任意正整数，（），总有成立， ，令，得，即 该数列是以首项是1，公差为3的等差数列，故答案为10，点睛：本题考查等差数列的通项公式，解决的方法是特值法，解题的关键是得出数列为等差数列，属于中档题28设数列的前项和为，若对任意实数，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值是 【答案】5【解析】分析：先根据求出再把代入不等式化简得对任意实数，恒成立，再利用数形结合分析得到k的最小值.详解：因为，所以n2时，所以适合n=1.所以因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数，恒成立，所以对任意实数，恒成立，令，所以所以k的最小值为5.故答案为：5.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和不等式恒成立问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是把原命题转化为对任意实数，恒成立，其二是通过数形结合分析得到.29设数列对都满足，且，则 _【答案】【解析】分析：由 可得，则，利用“累加法”可求得，利用裂项相消法求解即可.详解：由 可得，且，则，那么，因此，故答案为.点睛：本题考查等差数列的前项和的计算以及用裂项法求和的方法. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、解答题30已知为等差数列的前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，得到的方程组，解方程组即得数列的通项公式.(2)利用裂项相消求数列的前项和.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.31已知公差不为0的等差数列的前三项的和为15，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根据已知列方程组求出，再求数列的通项公式.(2)先利用裂项相消求出，再求的最大值为，即得m的取值范围和最小值.【详解】（1）依题意，即，即，故.又，即，故.故数列的通项公式.（2）依题意，.则 ，故恒成立，则，所以实数的最小值为.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列通项的求法和裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.32已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2） 令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=|112n|，设数列112n的前n项和为Tn，则当n5时，Sn=Tn；当n6时，Sn=2S5Tn【详解】（1）证明：由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.则，.（2），设数列前项和为，则，当时，；当时，；所以.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题33已知数列中，其前项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：.【答案】（1）见解析.（2）见解析.详解：（1）当时，整理得：，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，.当时，当时， ， .另解：当时， ，.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.34设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，且证明；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】分析：（1）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可判定数列是等比数列，进而求解数列的通项公式；（2）由（1），得，进而得到，即可利用放缩法，证得；（3）当恒成立时，即恒成立设，分类讨论求得函数的最大值，即可求得实数的取值范围.详解：（1）在中令，得即， 解得 当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列， ，即，则， 当时，当时， 综上， （3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件； 当时，由二次函数性质知不恒成立； 当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，恒成立，则满足条件， 综上所述，实数的取值范围是点睛：本题主要考查了数列的综合应问题，试题综合性强，属于难题，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.35已知数列满足,其中.（1）设,求证:数列是等差数