2019年中考数学复习第八章热点题型探究8.6开放探究型（讲解部分）素材.pdf

开放探究型 题型特点 开放性问题是指答案不唯一、解题方向不确定、条件（或结 论）不止一种情况的数学问题开放性问题的答案通常不是固定 的解决这类问题，需要对问题进行多方面、多角度、多层次的思 考、审视，重在培养学生的发散思维能力和探索能力 开放性试题大致可分为四类：（）条件开放型，（）结论开 放型，（）策略开放型，（）综合开放型 命题趋势 近几年中考偏重开放型题目的考查如综合开放型试题，条 件和结论都不确定，需要考生确定条件和结论，然后组成一个新 的命题，并加以证明这种新颖的命题形式成为中考的又一亮点 此外，还有策略开放型试题，主要侧重于解题方法、策略的选择 和设计 题型一 条件开放型问题 条件开放型探究题是给定结论，条件未知或不全，需探求与 结论相对应条件的题目解这类开放型问题的一般思路为：由已 知结论思考题目应具备的条件，即从题目的结论出发，追本溯 源，逐步探求 例 （ 福建龙岩， 分）如图，四边形 中，对 角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别在 ， 上 （）给出以下条件：，请你 从中选取两个条件证明； （）在（）中你所选条件的前提下，添加 ，求证：四边 形 是平行四边形 解析 （）若选和，在 和 中， ， （） 若选和，在 和 中， ， ， （） 若选和，在 和 中， ， ， （） （）证明：由（）知， ， 又 ， ， 四边形 是平行四边形 思路分析 （）任选两个条件，根据全等三角形的判定方 法证明；（）可以利用对角线互相平分的四边形 是平行四边形来证 好题精练 （ 黑龙江龙东， 分）如图，菱形 中，对角线 、 相 交 于 点 ， 不 添 加 任 何 辅 助 线， 请 添 加 一 个 条 件 ，使四边形 是正方形（填一个即可） 答案 答案不唯一，如： 解析 四边形 为菱形， 当 时，四边形 为正方形（答案不唯一） （ 广东梅州， 分）已知： 中，点 是 边的中 点，点 在 边上，若以 ， 为顶点的三角形与 相似， 则需要增加的一个条件是 （写出一个即可） 答案 是 的中点（或 或 或 或 或） 解析 答案不唯一，根据三角形相似的判定方法相应添加条 件即可 （ 四川南充， 分）已知关于 的一元二次方程（ ）（） ， 为实数 （）求证：方程有两个不相等的实数根； （） 为何值时，方程有整数解？ （直接写出三个，不需说明理由） 解析 （）证明：将一元二次方程（）（） 化为一 般形式得 ， （） （） 为实数， ， 关于 的一元二次方程（）（） 有两个不相等的实 数根 （） 或 （答案不唯一） 题型二 运动型问题 动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定 的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性；就其运动对象而言 有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平移、旋转、翻折等动 态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的 综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化 中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的 热点 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和 研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系 和变量关系，特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求 有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型 来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立 方程模型求解 例 （ 四川绵阳， 分）如图，在边长为 的正方 形 中， 是 延长线上的一点，且 ，动点 从 点出发，以每秒 个单位的速度沿着 的路线向 点匀 速运动（ 不与 、 重合），设运动时间为 秒连接 并延长 交 于 （）是否存在点 ，使 为等腰三角形？ 若存在，分析 第八章 热点题型探究 点 的位置；若不存在，请说明理由； （）当点 在 边上时，若 ， 交 的平分 线于 ，求证：； （）过点 分别作 、 的垂线，垂足分别为 、，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 的最大值 解析 （）存在当点 为 的中点时，有 ，则 为等腰三角形；（ 分） 当点 与点 重合时，则 为等腰三角形； （ 分） 当点 在 上且 时， ，则 为等腰三 角形；（ 分） 当点 为 的中点时，则 为等腰三角形 （ 分） （）证明：在 上取点 ，使 ，连接 ， 又 平分直角， ， ， ， （ 分） 在 中， ，又 ，即 ， ， （）， （ 分） （）当 在 上，即 时，易知 为等腰直 角三角形 ， （ 分） 当 在 上，即 时， ， ， ， ， （） ， ， ， 为等腰直角三角形 （ ） （ ） （ ）， （ ） （ 分） 在 范围内，当 时， 的最大值为 （ ） ； 在 范围内， () ， 当 时， 的最大值为 ， 当 时， 的最大值为 （ 分） 好题精练 （ 北京， 分）如图， 是 ( 所对弦 上一动点，过点 作 交 ( 于点 ，连接 ，过点 作 于点 已知 ，设 ， 两点间的距离为 ， 两点间的 距离为 （当点 与点 或点 重合时， 的值为 ） 小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化 的规律进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （）通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表： （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为 坐标的点，画出该函数的图象； （）结合画出的函数图象，解决问题：当 为等腰三角形 时， 的长度约为 解析 （） （） 年中考 年模拟 （）（答案不唯一） 提示：当 为等腰三角形时，只有 这一种可能，则 有 ，求函数 的图象与所画出的函数图象的交点即可 （ 山东青岛， 分）已知：如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点 点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一 个点也停止运动连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 设运动时间为 （）（），解答下列 问题： （）当 为何值时， 是等腰三角形？ （）设五边形 的面积为 （），试确定 与 的函数 关系式； （）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 五边形 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； （）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 平分？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解析 （）在 中，根据勾股定理，得 当 是等腰三角形时， 若 ，则 ； 若 ，则 与 重合， ； 若 ，如图， 过 作 于 ，则 ， ， ，即 ， ， 或 即当 或 时， 是等腰三角形（ 分） （）如图，过 作 于 ，过 作 于 ， ， 又 ， 是 的中位线， ， 同理， 易证， ， 易证， () ， 即 () ， （） 答： 与 的函数关系式是 （ 分） （）存在若 五边形 ， 则 即 ，解得 ， 当 或 时，五边形 （ 分） （）存在若 平分， 如图，过 作 于 ，作 于 ，过 作 于 ， 则 ， ， 即 易证， ， 第八章 热点题型探究 即 ， ， 在 中， ， () （）， 即 ， （舍去）， 当 时， 平分（ 分） 评析 对于动点问题，往往存在多种可能的情形，故需要 分类求解； 对于不规则图形的面积问题，往往转化为规则图形面积的和 或差求解； 存在性问题的求解思路：先对结论作出肯定的假设，然后由 这个假设出发，结合已有条件或挖掘隐含条件，利用方程思想、 数形结合思想和分类讨论思想等进行正确地计算、推理，再对 得出的结果进行分析，检验其是否与题设、公理、定理等矛盾 若无矛盾，说明结论正确，由此得出符合条件的数学对象存在； 否则，说明符合条件的数学对象不存在 （ 四川攀枝花， 分）如图 ，矩形 的两条边在 坐标轴上，点 与坐标原点 重合，且 ，如图 ，矩 形 沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动，同时点 从 点出发也以每秒 个单位长度的速度沿矩形 的 边 经过点 向点 运动，当点 到达点 时，矩形 和点 同时停止运动，设点 的运动时间为 秒 （）当 时，请直接写出点 、点 的坐标； （）当点 在线段 或线段 上运动时，求出 的面 积 关于 的函数关系式，并写出相应 的取值范围； （）点 在线段 或线段 上运动时，作 轴，垂足为 点 ，当 与 相似时，求出相应的 值 解析 （）（，），（，） （）当点 在边 上运动时， （） 当点 在边 上运动时， （）， 所以 （）， （） （）连接 ，易知 ， () 当点 在边 上运动时，点 ， () 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 不合题意，应舍去 当点 在边 上运动时，点 ， () 当 时， ，解得 当 时， ，解得 ， 不合题意，应舍去 当 时， 与 相似 题型三 存在性问题 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问 题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精 巧，解题方法灵活，解题的一般思路是：假设存在推理论证 得出结论若能导出合理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛 盾，就作出不存在的判断 例 （ 四川成都， 分）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 （）与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），经过点 的直线 ： 与 轴负半轴交于 点 ，与抛物线的另一个交点为 ，且 （）直接写出点 的坐标，并求直线 的函数表达式（其中 、 用含 的式子表示）； （）点 是直线 上方的抛物线上的动点，若 的面积 的最大值为 ，求 的值； （）设 是抛物线的对称轴上的一点，点 在抛物线上，以 点 、 为顶点的四边形能否成为矩形？ 若能，求出点 的 坐标；若不能，请说明理由 解析 （）（，） 直线 经过点 ， ， ， ， 令 ，即 （） ， 点 的横坐标为 ， 年中考 年模拟 ， 直线 的函数表达式为 （）过点 作 轴，交直线 于点 设 （，），则 （，） （） ， （）（） （） （） () ， 的面积的最大值为 的面积的最大值为 ， ，解得 （）以点 、 为顶点的四边形能成为矩形 令 ，即 ， 解得 ， （，） ， 抛物线的对称轴为 设 （，）， 若 是矩形 的一条边，则易得 （，） ，则 （，） 四边形 为矩形， ， （） （）（）（）（）， 即 ， ， ， ， 若 是矩形 的一条对角线，则线段 的中点坐 标为 ， ()，（，）， （） ，则 （，） 四边形 为矩形， ， ， （） （）（）（） （）， 即 ， ， ， （，） 综上所述，以点 、 为顶点的四边形能成为矩形，点 的坐标为 ， 或（，） 例 （ 广东梅州， 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 过 、 三点，点 的坐标是（， ），点 的坐标是（，），动点 在抛物线上 （） ， ，点 的坐标为 ；（直 接填写结果） （）是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形？ 若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说 明理由； （）过动点 作 垂直 轴于点 ，交直线 于点 ，过 点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 当线段 的长度最短 时，求出点 的坐标 解析 （）；（，）（ 分） （）存在（ 分） 当以点 为直角顶点时，过点 作 ，交抛物线于 点 ， 过点 作 轴的垂线，垂足为点 ， ， ， ， （ 分） 由（）可得抛物线为 设 （，），则 （）， 解得 （舍去）， ， 则点 的坐标是（，）（ 分） 第八章 热点题型探究 当以点 为直角顶点时，过点 作 ，交抛物线于 点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，交 轴于点 ， 轴 ， ， ， ， 设 （，），则（） 解得 （舍去）， ， 则点 的坐标是（，） 综上所述，点 的坐标是（，）或（，）（ 分） （本题有多种解法，请参照此评分标准给分） （） 连接 ，由题意可知，四边形 是矩形，则 根据垂线段最短，可知当 时， 最短，即 最短 （ 分） 设 点的坐标为（，），由（）可知，在 中， ， 点 是 的中点， 又 ， 点 是 的中点， 点 的纵坐标是 （ 分） 则 ，解得 当 最 短 时， 点 的 坐 标 是 ， 或 ， （ 分） 好题精练 （ 陕西， 分） 问题提出 （）如图， 是等边三角形，若点 是 的 内心，则 的长为 ； 问题探究 （）如图，在矩形 中， ， 如果点 是 边上一点，且 ，那么 边上是否存在一点 ，使得线 段 将矩形 的面积平分？ 若存在，求出 的长； 若不存在，请说明理由； 问题解决 （）某城市街角有一草坪，草坪是由 草地和弦 与其 所对的劣弧围成的草地组成，如图所示管理员王师傅在 处 的 水 管 上 安 装 了 一 喷 灌 龙 头， 以 后， 他 想 只用喷灌龙头 来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水 时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用 水于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷 灌时喷灌龙头由 转到 ，然后再转回，这样往复喷 灌），同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了 如图，已测出 ， ， 的面积为 ；过弦 的中点 作 交 ( 于点 ，又测得 请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至 少为多少米时，才能实现他的想法，为什么？ （结果保留根号 或精确到 米） 解析 （） （ 分） （）存在如图，连接 、，相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则线段 将矩形 的面积平分（ 分） 点 为矩形 的对称中心， 过点 作 于点 ，则 ， （ 分） （）如图，作射线 交 于点 ， ( 为劣弧， ( 所在圆的圆心在射线 上 假设圆心为 ，半径为 ，连接 ，则 （） 解之，得 （ 分） 过点 作 ，垂足为 ， ， ， ， 易得， 点 在 内部（ 分） 连接 并延长交 ( 于点 ，则 为草坪上的点到 点的 最大距离 在 ( 上任取一异于点 的点 ，连接 ， 有 即 （ 分） 过点 作 ，垂足为 ，则 ， 年中考 年模拟 喷灌龙头的射程至少为（ ）米（约为 米） （ 分） 思路分析 （）等边 的内心与外心重合，构造直角三 角形，运用勾股定理求出 的长；（）运用矩形的中心对称性 可知 一定经过矩形 的对称中心，通过构造直角三角 形，运用勾股定理可以求出 的长；（）先根据圆的对称性找 出圆心，运用垂径定理和勾股定理求出该圆的半径，再利用相 似判断出点 与三角形 的位置关系，最后根据“三角形 的两边之和大于第三边”确定喷灌龙头的最远射程为 的 长，构造直角三角形，利用勾股定理求出 的长，进而可得 的长 （ 山西， 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 经过坐标原点 ，与抛 物线的一个交点为 ，与抛物线的对称轴交于点 ，连接 ， 已知点 ， 的坐标分别为（，），（，）， （）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 和点 的坐标； （）试探究抛物线上是否存在点 ，使，若存 在，请直接写出 点 的坐标；若不存在，请说明理由； （）若点 是 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（，）， 直线 与直线 交于点 试探究：当 为何值时， 是等腰三角形 解析 （） 抛物线 经过点 （，），（，）， ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 （） ， 抛物线的对称轴为直线 又 抛物线与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为（，）， 点 的坐标为（，） 设直线 的函数表达式为 （） 点 （，）在直线 上， ，解得 直线 的函数表达式为 点 为直线 和抛物线对称轴的交点， 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 即点 的坐标为（，） （）抛物线上存在点 ，使 点 的坐标为（，）或（ ，） （）解法一： 分两种情况：当 时， 是等腰三角形 点 的坐标为（，）， 过点 作直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ， 则 点 的坐标为（，） 设直线 的函数表达式为 （） ，解得 的函数表达式为 令 ，得 ，解得 点 的坐标为（，） 又 ， ， 即 ， 当 时， 是等腰三角形 当 时， ， 点 的坐标为（，） （） 又 ， ， 设直线 交 轴于点 ，其函数表达式为 （）， ，解得 的函数表达式为 令 ，得 点 的坐标为（，） ， ， ，解得 综上所述，当 的值为 或 时， 是等腰三角形 第八章 热点题型探究 解法二：设抛物线的对称轴交直线 于点 ，与 轴交于点 分两种情况： 当 时， 为等腰三角形 当 时， ， 点 的坐标为（，） 点 的坐标为（，）， ，（） ， ， ， ， 又 轴， 四边形 是平行四边形 （） ， 轴， ， ， ， 当 时， 为等腰三角形 轴， ， ， （） （） 轴， ， 当 的值为 或 时， 为等腰三角形 评析 本题考查学生的综合探究能力，通过对存在性和结论 开放性问题的探究，考查学生综合运用所学知识的能力第（） 问考查学生运用分类讨论的思想方法解决问题的能力 （ 山东潍坊， 分）如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 （，），点 （，）， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点 （）求抛物线的解析式； （）过点 且与 轴平行的直线 与直线 、 分别交于点 、，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标； （）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使 得以 、 为顶点的三角形与 相似？ 若存在，求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由 解析 （）把点 （，），（，）代入 ， 得 ， （）， （ 分） 解得 ， 抛物线的解析式是 （ 分） （） 轴，（，）， 由 ，解得 ， （，），（ 分） 设直线 的解析式是 （），将点 （，），（， ）代入，得 ， ， 解得 ， 直线 的解析式是 （ 分） 设点 的坐标为 ， ()，则点 的坐标为（， ）， 则 () ， ， 四边形 （） () () （ 分） 又 ， 当 时，四边形 的面积最大，最大值是 ， 此时点 的坐标是 ， () （ 分） 年中考 年模拟 （）存在 由 （） ， 得顶点 的坐标是（，）， 此时 ， ， 则在 中， ， 同理可得， ，（ 分） 在直线 上存在满足条件的点 ，如图， 易得 ， ， 当 时，设 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 当 时，设 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 综上，满足条件的点 有两个，坐标为（，）或（，） （ 分） 说明：本参考答案每题只给出了一种解题方法，其他正确方法 应参考本标准给出相应的分数 题型四 类比探究问题 类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一 类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推 理通常先解决比较常见、比较形象具体的问题，然后变换图形或 条件，通过比较、联想、化归等方式，触类旁通，用相似的方法解 决问题或猜想相似的结论 例 （ 浙江湖州， 分） 问题背景： 已知在 中， 边上的动点 由 向 运动（与 ， 不重合），点 与点 同时出发，由点 沿 的延长线方向运 动（ 不与 重合），连接 交 于点 ，点 是线段 上 一点 （）初步尝试 如图 ，若 是等边三角形，且点 ， 的运动 速度相等 求证： 小王同学发现可以由以下两种思路解决问题： 思路一：过点 作 ，交 于点 ，先证 ，再 证 ，从而证得结论成立； 思路二：过点 作 ，交 的延长线于点 ，先证 ，再证 ，从而证得结论成立 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两 种方法作答，则以第一种方法评分）； （）类比探究 如图 ，若在 中， ， ， 且点 ， 的运动速度之比是 ，求 的值； （）延伸拓展 如图 ，若在 中， ，记 ，且点 ， 的运动速度相等，试用含 的代数式表示 （直 接写出结果，不必写解答过程） 解析 （）证明：证法一（选择思路一）： 如题图 ， 是等边三角形， ， 是等边三角形，（ 分） ， ， ，（ 分） ， ， ， ，（ 分） ，即 （ 分） 证法二（选择思路二）： 如题图 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（ 分） 又 ， ， （ 分） （）过点 作 ，交 于点 ，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， 由题意可知， ， ，（ 分） ， ， ， ，（ 分） ，即 ， 第八章 热点题型探究 （ 分） （） （其他正确表达式也相应给分）（ 分） 例 （ 山东烟台， 分） 【探究证明】 （）某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段 与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出 证明； 如图 ，矩形 中， 分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ，求证： ； 【结论应用】 （）如图 ，在满足（）的条件下，又 ，点 ， 分别 在边 ， 上，若 ，则 的值为 【联系拓展】 （）如图 ，四边形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，求 的值 解析 （）证明：作 ，垂足分别为 ， （ 分） ， 四边形 是矩形， ， 四边形 是矩形， （ 分） 同理可证： ， ， 又 ， ， （ 分） （ 分） （） （ 分） （）解法一：过 作 的平行线交 的延长线于 ，作 交直线 于点 ， 四边形 是矩形，（ 分） 连接 ，由已知得， ， ， 又 ， （ 分） 设 ，则 ， 在 中， 即（） （） 解得 ，（舍去），