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重庆大学材料力学试题集重庆大学材料力学试题集 （内部辅导练习使用）（内部辅导练习使用） 拉压静不定拉压静不定 如图所示结构由刚性横梁如图所示结构由刚性横梁 AD、弹性杆、弹性杆 1 和和 2 组成，梁的一端作用铅垂载荷组成，梁的一端作用铅垂载荷 F， 两弹性杆均长 ， 两弹性杆均长 l，拉压刚度为，拉压刚度为 EA，试求，试求 D 点的垂直位移。 （图上有提示）点的垂直位移。 （图上有提示） 解：在力 F 作用下，刚性梁 AD 发 生微小转动，设点 B 和 C 的铅垂位 移分别为和，则 设杆和杆的伸长量分别为 l1和l2，根据节点 B 和 C 处的变 形关系，有 111 3 cos30 2 l 222 1 cos60 2 l 则l1和l2的关系为 12 3 2 ll （a） 由平衡条件，对A点取矩得 12 sin60sin30 23 NN FaFaFa 即 12 3 3 2 ll EAEAF ll （b） 联立方程（a）和（b） ，解得 2 12 7 Fl l EA D点位移为 22 3336 2 227 D aFl l aEA - 一摩尔积分一摩尔积分 单位载荷法单位载荷法 直径直径80mmd 的圆截面钢杆制成的钢架，在自由端的圆截面钢杆制成的钢架，在自由端C处受到集中力处受到集中力 1kNF 作用，钢杆的弹性模量为作用，钢杆的弹性模量为200GPaE ，0.8mR ，2.4mh ，不计剪力 和轴力的影响，试求自由端 ，不计剪力 和轴力的影响，试求自由端c处的水平位移。 （提示：可采用莫尔积分方法求解）处的水平位移。 （提示：可采用莫尔积分方法求解） 题图 解： （1）求梁的内力方程 半圆弧BC段： cos)(FFN )(0 )cos()(1FRM )(0 直杆AB段： FxFN)( )(hx0 FRxM2)( )(hx0 （2）求自由端的水平位移 在自由端水平方向加单位载荷，如图)(b所示，由水平单位载荷产生的轴力和弯矩 方程分别为： 半圆弧BC段： sin)( N F )(0 sin)(RM )(0 直杆AB段： 0)(xFN )(hx 0 xxM)( )(hx 0 由莫尔积分，可得自由端c处的水平位移为： 3 000 32 ( )( )( )( ) cos sin2 (1 cos )( sin ) 2 08.91mm NN C x ll h Fx FxM x M x dxdx EAEI FFRFR dxdxdx EAEIEI FRFRh EIEI - A B C R F h -下一题有问 题，M（x1，2，3）？ - 二应力应变分析二应力应变分析 图图 2 所示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。所示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。 （1）从梁表面的）从梁表面的A，B，C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。 （2）定性地绘出）定性地绘出A，B，C三点的应力圆。三点的应力圆。 （3）在各点的单元体上，大致画出主应力单元体图。）在各点的单元体上，大致画出主应力单元体图。 （4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在B，C两点处的走向。两点处的走向。 图 2 解：解： （1）中间段是纯弯曲，故切应力为零。点C在中性层上，所以正应力为零。单元体受力如 图 2.1 所示。 图 2.1 （2）点B应力圆与轴相切，点C应力圆以原点为圆心，见图 2.2。 图 2.2 （3）主应力单元体如图 2.3 所示。 图 2.3 （4）根据第一强度理论，物体是由最大拉应力造成破坏，故裂缝面应垂直于主应力 1 ，如 图 2.4 所示。 图 2.4 - 图示矩形截面图示矩形截面hb简支梁在集中载荷简支梁在集中载荷P作用下作用下. 1 在在y方向间距方向间距 4 h a 的的A、B、C、D、E五点取单元体五点取单元体,定性分析这五点的应力 情况 定性分析这五点的应力 情况, 并指出单元体属于哪种应力状态并指出单元体属于哪种应力状态.(C点位于中性层点位于中性层) 2 若测得梁上若测得梁上D点在点在x及及y方向上的正应变为方向上的正应变为x=4.010 - 4及及y= -1.210 4. 已知材料的弹性模量已知材料的弹性模量 E=200GPa,泊松比泊松比=0.3.试求试求D点点x及及y方向上的正应 力 方向上的正应 力. 解：1 各点的应力状态10 分(每个单元体 2 分)10 分(每个单元体 2 分) A、E 点为单向应力状态；C 点为纯剪切应力状态；B、D 点为二向应力状态。 b h A B C E D P y x 2 求D点x及y方向上的正应力 )( 1 yxx E )( 1 xyy E 解得： MPa x 80 0 y - x y xy yx D - 图所示薄壁圆筒，未受力时两端与固定支座贴合，试问当内压为图所示薄壁圆筒，未受力时两端与固定支座贴合，试问当内压为p时筒壁的应力。筒的长 度为 时筒壁的应力。筒的长 度为l，内径为，内径为D，壁厚为，壁厚为，材料的泊松比为，材料的泊松比为。 （。 （00.5） 解：解：首先，解除右端固定支座，并用约束力 R F代替其作用。 在内压p作用下，筒壁的轴向和周向正应力分别为 , 4 x p pD , 2 p pD 根据胡克定律，并考虑到00.5，得到筒体的轴向变形为 , ()(1 2 )0 4 px pp lpDl l EE 在约束力 R F作用下，筒体的轴向变形则为 () R RR F FlF l l EAED 利用叠加法，得到筒体的总轴向变形为 (1 2 ) 4 R R pF F lpDl lll EE D 根据筒的变形协调条件，由上式得补充方程为 0l 即 (12 )0 4 R F lpDl EE D 由此可得约束力为 2(1 2 ) 4 R p D F 由上述分析可以得到筒壁的轴向和周向正应力分别为 42 R x FpDpD D 2 pD - 在一块厚钢块上挖了一条贯穿的槽，槽的宽度和深度都是在一块厚钢块上挖了一条贯穿的槽，槽的宽度和深度都是1cm。在此槽内紧密无隙地嵌 入了一铝质立方块，其尺寸是 。在此槽内紧密无隙地嵌 入了一铝质立方块，其尺寸是1 1 1cm，并受，并受P6kN压缩力如图示，试求铝立方块的三个 主应力。假定厚钢块是不变形的，铝的 压缩力如图示，试求铝立方块的三个 主应力。假定厚钢块是不变形的，铝的E=71GPa，0.33。 解 3 4 1 6 231 6 1000 60 1 1 10 0 0.33 60 1019.8 MPa Pa - 两端封闭的薄壁圆筒，长度为两端封闭的薄壁圆筒，长度为l，内径为，内径为D，壁厚为，壁厚为，如图所示。已知材料的弹性 模量为 ，如图所示。已知材料的弹性 模量为E，泊松比为，泊松比为。筒内无内压时，两端用刚性壁夹住。筒内承受内压为。筒内无内压时，两端用刚性壁夹住。筒内承受内压为p时，求此 时圆筒作用于刚性壁上的力。 时，求此 时圆筒作用于刚性壁上的力。 解： （1）静力关系 当圆筒受内压p时， 圆筒受刚性支座的约束力 NA F和 NB F作用， 由水平方向的平衡关 系可知： NNBNA FFF 是一次静不定问题 （2）几何关系 取圆筒的轴向、环向和径向分别为x，y和z向。 由约束条件可得： 0 x （3）物理关系 由广义 Hooke 定律 )( zyxx E 1 其中， D FpD N x 4 2 pD y 0 z 故，0 11 EE zyxx )(可得 p D FN 4 21 2 )( AB p D l NA F NB F A B p D l - 直径直径40mmD 的铝圆柱，放在厚度为的铝圆柱，放在厚度为2mm的钢套筒内，且两者之间没有间隙。作用 于圆柱上的轴向压力为 的钢套筒内，且两者之间没有间隙。作用 于圆柱上的轴向压力为40kNP 。 铝的弹性模量及泊松比分别为。 铝的弹性模量及泊松比分别为 1 70GPaE ,350 1 . ; 钢的弹性模量及泊松比分别为钢的弹性模量及泊松比分别为210GPaE ，求套筒内的环向应力。，求套筒内的环向应力。 题图 解答： 对柱与套筒任意接触两点做应力状态分析（如图所示） 铝圆柱的轴向压应力为： 3 32 2 3 44 40 10 Pa31.8MPa 40 10 PP Ad 铝圆柱铝圆柱的环向应力和径向应力分别为： 21 并设 p 21 钢套筒钢套筒的受力和薄壁圆筒受内压作用相识，所以环向应力为： p ppD 10 1022 1040 2 3 3 1 径向应力和环向应力分别为： 0 2 ， 0 3 P D 由于铝圆柱与钢套筒无间隙，因此两者在接触的任意点处的环向应变相等环向应变相等 11 （几何关系） 由广义 Hooke 定律： 3211 1 1 1 E 3211 1 E 所以 EE 1 3211 1 1 解之，得：MPap82. 所以，钢套筒的环向应力为： 1 1028MPap - 直径 直径d d10cm 的等截面圆轴的受力情况如图所示。试验中在轴向拉力和扭转力 偶矩共同作用下，测得轴表面 10cm 的等截面圆轴的受力情况如图所示。试验中在轴向拉力和扭转力 偶矩共同作用下，测得轴表面K K点处沿轴线方向的线应变点处沿轴线方向的线应变 3001030010 -6-6，沿与 轴线成 45方向的线应变 ，沿与 轴线成 45方向的线应变 45 451401014010 -6-6。已知轴材料的弹性模量 。已知轴材料的弹性模量 200GPa，泊松比 200GPa，泊松比 0.29, 许用应力0.29, 许用应力 120 MPa，试求： 1、 120 MPa，试求： 1、 扭矩扭矩M和轴力和轴力 T。 2、 。 2、 用第四强度理 论校核轴的强 度。 （17 分） （提示： 用第四强度理 论校核轴的强 度。 （17 分） （提示： 22 3 , 1 4/2/ xyyxyx ） ） P P 1 2 3 1 2 解：在 K 点取出单元体如图所示：再围绕 K 点取与轴线成 45的单元体，其受力情况 如图所示，通过斜截面应力公式有， - 三压杆稳定三压杆稳定 矩形截面压杆如图所示，在正视图（矩形截面压杆如图所示，在正视图（a a）所示的平面内弯曲时，两端可视为 铰支，在俯视图（ ）所示的平面内弯曲时，两端可视为 铰支，在俯视图（b b）所示的平面内弯曲时，两端可视为固定，试求此杆的 临界载荷 ）所示的平面内弯曲时，两端可视为固定，试求此杆的 临界载荷F Fcr cr。 （17 分） （相关材料常数 。 （17 分） （相关材料常数E E200GPa, 200GPa, a a310MPa, 310MPa, b b1.14MPa,） 1.14MPa,） -下一题 1.Fcr=？ - 万能铣床工作台升降丝杆内径为万能铣床工作台升降丝杆内径为22mm，螺距，螺距5mms 。丝杆钢材的。丝杆钢材的 210GPaE ，300MPa s ，260MPa p ，461MPaa ，2.568MPab 。 工作台升至最高位置时， 。 工作台升至最高位置时，500mml 。 若齿轮的传动比为 。 若齿轮的传动比为21， 即手轮旋转一周丝杆旋转半周， 且手轮半径为， 即手轮旋转一周丝杆旋转半周， 且手轮半径为10cm， 手轮上作用的最大圆周力为 ， 手轮上作用的最大圆周力为200N。 试求丝杆的工作安全系数。 （提示：丝杆可简化为一端固定，一端铰支的压杆， 。 试求丝杆的工作安全系数。 （提示：丝杆可简化为一端固定，一端铰支的压杆，70.） ） （a） （b） 题五图 解 手动轮旋转一周，工作台上升的距离为 1 2.5mm 2 s (1分) 丝杆压力P上升所做的功应等于手动轮旋转一周切向力所做的功，即 RFP t 2 50.3kNP （2分） 由丝杆材料性质决定的参数为 389 10260 10210 6 922 . P P E （2分） 762 5682 300461 . . b a s s （2分） 因丝杆下端固定，上端铰支，取70.，所以丝杆的柔度为： 663 40220 5070 . . . i l （2分） 500 Because ps （2分） So，应用经验公式计算丝杆的临界载荷 ()113kN cr PabA （2分） 丝杆的工作安全系数为： 252 350 113 . . P P n cr （2分） - - 图示结构， 用图示结构， 用A3钢制成，钢制成， E200GPa， P 200MPa， 试问当， 试问当q20N/mm和和q=40N/mm 时，横梁截面时，横梁截面B的挠度分别为多少？的挠度分别为多少？BD杆长杆长2m，截面为圆形，直径，截面为圆形，直径d=40mm。 解：首先考虑 q 不同时，BD 杆的轴力的变化。 34 3 2 2 5 2 48384 5 384 1 482 ,4 16 BD BD BDB BD l N Nlql ly EJEJEA A ql J N lA J Jd lm A （1）20/qN mm时： 33 2 2 2 516 20 104 3840.04 50 4161 480.042 BD NKN （2）40/qN mm时： 33 2 2 2 516 40 104 3840.04 100 4161 480.042 BD NKN 1 2 200 0.04 4 p l i 229 2 22 200 10 0.0461.9 4200 cr E NAKN 当20/qN mm时： BDcr NN 3 4 92 50 104 3.98 10 2 200 100.042 4 BD B Nl ym EA 当40/qN mm时： BDcr NN 所以杆件失稳破坏。 - 平面梁柱结构如图平面梁柱结构如图 4 所示， 梁采用所示， 梁采用 16 号工字钢， 柱用两根号工字钢， 柱用两根636310mmmmmm的角钢组 成。 已知： 均布载荷为 的角钢组 成。 已知： 均布载荷为40/qKN m， 梁和柱的材料均为低碳钢， 弹性模量为， 梁和柱的材料均为低碳钢， 弹性模量为200EGPa， 比例极限为 ， 比例极限为200 p GPa，屈服极限为，屈服极限为240 s MPa，若强度安全因数为，若强度安全因数为1.4n ，稳定 安全因数为 ，稳定 安全因数为3 st n ，试校核结构的强度和稳定性。 （提示：，试校核结构的强度和稳定性。 （提示：1、查表可得型钢截面几何性质， 对 、查表可得型钢截面几何性质， 对 16 号 工 字 钢 有 ：号 工 字 钢 有 ： 4 1134 z Icm， 3 141 z Wcm。 对。 对63 63 10等 边 角 钢 有 ：等 边 角 钢 有 ： 2 11.657Acm， 4 41.09 z Icm，1.88 z cmi。2、简支梁中点受集中力、简支梁中点受集中力F作用产生的最 大挠度为： 作用产生的最 大挠度为： 3 max 48 Fl EI ， 简支梁受均布载荷， 简支梁受均布载荷q作用产生的最大挠度为：作用产生的最大挠度为： 4 max 5 384 ql EI 。 3、不考虑梁的中间截面、不考虑梁的中间截面C的腹板和翼缘交界处点的应力强度）的腹板和翼缘交界处点的应力强度） 解：解： 设柱所受压力为F，梁的支座A和B处的约束力分别为 A F和 B F。取梁AB为研究 对象，由静力平衡方程可得 0 C M ， BA FF 0 Y F ， 2 BA qlF FF 梁柱结构为一次静不定。分析变形可知，梁在截面C处的挠度应等于柱的压缩量，应此几 何方程为 qF CCC l 将物理方程代入可得 43 5 38448 qlFa EIEA Fl EI 因此柱的压力为 3 3 5 488 z Alql AlaI F 将已知数据代入解得 98.6FKN 所以梁的支座反力为 30.7 BA KNFF （1）梁的强度校核 距支座A为x的任意截面上的弯矩为 2 2 () A q x MxFx 由 ( ) 0 A dM x dx Fqx，可知当0.77 A F m q x时，弯矩有极大值为 max 11.8kN mM 截面C处的弯矩为 18.6 C kN mM 梁的许用应力为 240 171 1.4 s MPa MPa n 梁的危险截面为截面C，梁内最大的正应力为 3 max max 63 18.610 132171 141 10 z M N m MPaMPa Wm 因此，梁AB满足强度要求。 （2）柱的稳定校核 柱CD的横截面绕z轴的形心主惯性矩最小，其柔度为 2 12 106100 1.8810 CD p z lm im 柱的临界压力可由欧拉公式计算，可得 2 cr 2 405.5k () EI N l F 柱的工作稳定安全因数为 4 0 5 .5 4 .1 13 9 8 .6 cr st FkN n FkN n 因此，柱CD满足稳定性要求。 - - - 已知:图示结构.CD 梁的刚度很大,可忽略其变形,AB 杆为某种材料,直径 d=30mm,a=1m. 求:1 若在AB杆上装有双侧电子引伸仪, 双侧电子引伸仪刀口间距了 已知:图示结构.CD 梁的刚度很大,可忽略其变形,AB 杆为某种材料,直径 d=30mm,a=1m. 求:1 若在AB杆上装有双侧电子引伸仪, 双侧电子引伸仪刀口间距了l0=50mm, 加力后在弹性阶段测得 a 点变形为 50.510 =50mm, 加力后在弹性阶段测得 a 点变形为 50.510 -6-6mm,受力为 280kN ，b 点 变形为 13.010 mm,受力为 280kN ，b 点 变形为 13.010 -6-6mm 受力为 174kN,试问 AB 杆的弹性模量为多少? AB 杆 是什么材料? 2 若 AB 杆材料的许用应力=160MPa,试求结构的许用载荷 P 及此时 D 点的位移. mm 受力为 174kN,试问 AB 杆的弹性模量为多少? AB 杆 是什么材料? 2 若 AB 杆材料的许用应力=160MPa,试求结构的许用载荷 P 及此时 D 点的位移. 解：1 AB 杆的弹性模量为多少? AB 杆是什么材料? 666 105 .37100 .13105 .50 l mkNP106174280 GPa lA Pl E 200 1030105 .37 4105010106 626 33 0 材料是钢 2 求结构的许用载荷 P 及此时 D 点的位移. N=A=113kN kN N P5 .56 2 mm EA aN lB AB 761. 0 mmmBD522. 12 = = 四弯曲应力 强度理论 四弯曲应力 强度理论 铸铁梁的受载情况和截面尺寸如图所示。已知材料的许用拉应力铸铁梁的受载情况和截面尺寸如图所示。已知材料的许用拉应力40MPa t ，许用压应 力 ，许用压应 力100MPa c ，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。 A C D P B a a a 0 l C D P B a a N AB l D 题二图 解（1）计算截面几何性质 （2分） 0 0.1575my 54 6.013 10 m Z I （2）根据载荷，画出梁的弯矩图 （3分） （3）校核 由于梁的横截面上下不对称，截面 B 和截面 C 为可能的危险截面，因此都有校核 （1分） 截面 B 的最大拉、压应力为： 0 max () 24.1MPa B tt z MHy I ， （2分） 0 max 52.4MPa B cc z M y I ， （2分） 截面 C 的最大拉、压应力为： 0 max 26.2MPa C tt z M y I ， （2分） 0 max () 12.1MPa C cc z MHy I ， （2分） 结论：满足强度条件。 （1分） y 10qkN/m C A B D 30kN 2m 10kN 3m 1m 20kNF 200 200 30 z 0 y 30 mkN20 mkN 10 - 一齿轮传动轴由一齿轮传动轴由2.2kWN 的电动机通过皮带轮的电动机通过皮带轮C带动，转速为带动，转速为966r / minn 。传 动 。传 动轴的轴的直径为直径为 35mm， 材料为， 材料为 45 钢， 许用应力钢， 许用应力 85MPa。 皮带轮的直径。 皮带轮的直径132mmD， 齿轮 ， 齿轮E的直径为的直径为50mmd。作用在齿轮。作用在齿轮E上的力上的力P在在yEz平面内平面内。皮带的拉力。皮带的拉力 465NF，135Nf ，两力都在过点两力都在过点 C 的、与的、与yEz平行的平面内，与水平线的夹角分 别为 平行的平面内，与水平线