2020版高考数学大一轮复习第6章数列第4讲数列求和数列的综合应用课件文.ppt

第4讲数列求和、数列的综合应用,考情精解读,A考法帮题型全突破,目录CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考法1数列求和考法2等差、等比数列的综合问题考法3数列与函数、不等式的综合问题考法4数列的实际应用,专题数列与数学文化,B方法帮素养大提升,考情精解读,命题规律聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和、数列与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现.2.学科核心素养本讲通过数列求和以及数列的综合应用考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1数列求和考点2等差、等比数列的综合问题考点3数列与函数、不等式的综合问题考点4数列的实际应用,考点1数列求和,1.用公式法和分组求和法求和示例12018河南焦作四模已知an为等差数列,且a2=3,an前4项的和为16,数列bn满足b1=4,b4=88,且数列bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn-an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn.,思维导引(1)设等差数列an的公差为d,先根据a2=3,an前4项的和为16,列出关于a1,d的方程组,求得a1,d,得到数列an的通项公式,然后设bn-an的公比为q,利用b4-a4=(b1-a1)q3,求出q的值即可得到数列bn-an的通项公式;(2)结合(1)的结果,先求出bn的通项公式,再利用分组求和的方法,求出Sn.,注意在含有字母的数列中求和时要对字母进行讨论.,2.用错位相减法求和示例22017天津,18,13分理已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.()求an和bn的通项公式;()求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,技巧点拨用错位相减法求和的策略和技巧1.掌握解题“3步骤”,2.注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.,(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q1两种情况求解.3.谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n项和.,技巧点拨1.裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.,注意利用裂项相消法求和时,既要注意检验通项公式裂项前后是否等价,又要注意求和时,正负项相消消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.,2.常见数列的裂项方法,4.用倒序相加法求和示例4已知平面向量a=(lgx,1),b=(1,lgy)满足ab=12,且S=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lg(xyn-1)+lgyn,则S=.,思维导引利用对数的运算法则,先化简已知等式,再利用倒序相加法,即可求出S.,解析因为平面向量a=(lgx,1),b=(1,lgy)满足ab=12,所以lgx+lgy=12,(向量数量积的坐标公式,注意不要与向量共线的坐标公式搞混)所以lg(xy)=12.因为S=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lg(xyn-1)+lgyn,(这个等式的右边是(n+1)项的和)所以S=lgyn+lg(xyn-1)+lg(xn-2y2)+lg(xn-1y)+lgxn,(倒过来写)以上两式相加得,2S=(lgxn+lgyn)+lg(xn-1y)+lg(xyn-1)+(lgyn+lgxn)=lg(xnyn)+lg(xn-1yxyn-1)+lg(ynxn)(利用对数的运算法则)=nlg(xy)+lg(xy)+lg(xy)=n(n+1)lg(xy)=12n(n+1),所以S=6n(n+1).,技巧点拨倒序相加法求和的解题技巧已知数列特征是“与首末两端等距离的两项之和相等”,先把数列求和的式子倒过来写,然后将两个式子相加,即可求出该数列的前n项和的2倍,再求出该数列的前n项和.,拓展变式12018河北衡水中学九模已知在数列an中,a1=1,anan+1=2n.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log2an,数列bn的前n项和为Sn,求Sn.,考点2等差、等比数列的综合问题,示例5数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1).(1)求an的通项公式;(2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.,思维导引(1)根据已知的递推关系求通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和易求.,解析(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n2).因为a1=S1=1,a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.故an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.(2)设等差数列bn的公差为d.由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,故b1=5-d,b3=5+d.又a1=1,a2=3,a3=9,且由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列可得(1+5-d)(9+5+d)=(3+5)2,解得d=2或d=-10.,考点3数列与函数、不等式的综合问题,思维导引(1)由3Sn=(n+2)an,得3Sn-1=(n+1)an-1(n2),两式相减,再利用累乘法可得数列的通项公式.(2)先利用(1)的结论,然后利用裂项相消法求和,再利用放缩法,即可证得不等式成立.,易错点拨本题易错点有两处:一是用累乘法求数列的通项时,消数产生失误,导致所求的通项公式出错;二是没有对首项进行验证,导致结果不正确.,方法总结1.数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解题时要注意数列与函数的内在联系,掌握递推数列的常见解法.,2.数列与不等式的交汇问题(1)函数法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式.(2)放缩法:数列中的不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较法:作差或者作商进行比较.(4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.,考点4数列的实际应用,示例7自2018年11月21日起郑州市再次实施机动车单双号限行措施,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,按此规律逐年递增.(1)设该车使用n年的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;(2)这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年能使得年平均费用最小),年平均费用的最小值是多少?,思维导引(1)根据题中已知条件及等差数列前n项和公式,即可得到f(n)的表达式;(2)先由(1)中该车使用n年的总费用,求出年平均费用的表达式,然后利用基本不等式,即可求出年平均费用最小时n的值.,拓展变式4某国采用养老储备金制度,要求公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,an是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策:不仅采用固定利率,而且用复利计算.这就是说,如果固定年利率为r(r0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,.以Tn表示第n年末所累计的储备金总额.(1)写出Tn与Tn-1(n2)的递推关系式;(2)求证:Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列,Bn是一个等差数列.,B方法帮素养大提升,专题数列与数学文化,专题数列与数学文化,示例82018湖北黄石模拟我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金棰(一头粗,一头细),长5尺,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤,问棰端开始依次每一尺各重多少斤?”设该金棰由细到粗是均匀变化的,根据上述条件,该金棰正中间一尺的重量为.,思维导引根据题意,可知金棰从细到粗每尺的重量组成一个等差数列an,因此只需利用等差数列的性质,即可得a3的值.,示例92018河北衡水模拟河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕