中考数学专题：动态几何与函数问题

1 / 18 中考数学专题：动态几何与函数问题 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 中考数学专题 8 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲 将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中 “ 减少复杂性 ”“ 增大灵活性 ” 的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例 1】 如图 所示，直角梯形 oABc的顶点 A、 c 分别在 y 轴正半轴与轴负半轴上 .过点 B、 c 作直线 .将直线平移，平移后的直线与轴交于点 D，与轴交于点 E. （ 1）将直线向右平移，设 平移距离 cD 为（ t0 ），直角梯2 / 18 形 oABc 被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图 所示， om 为线段， mN 为抛物线的一部分， NQ为射线，且 NQ平行于 x 轴， N 点横坐标为 4，求梯形上底 AB的长及直角梯形 oABc的面积 . （ 2）当时，求 S 关于的函数解析式 . 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个 m 点是何含义，于是无从下手。其实 m点就表示当平移距离为 2 的时候整个阴影部分面积为 8，相对的， N 点表示移动距离超过 4 之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当 D移动过了 0点的时候 .所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去 oDE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （ 1）由图（ 2）知，点的坐标是（ 2， 8） 由此判断：； 点的横坐标是 4，是平行于轴的射线， 3 / 18 直角梯形的面积为： .(3分 ) （ 2）当时， 阴 影部分的面积 =直角梯形的面积的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系 ) . . 【例 2】 已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点 （ 1）求证：与的面积相等； （ 2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？ （ 3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上 AoE 和 FoB这两个直角三角形的底边和高恰好就是 E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数 k。所以直接4 / 18 设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个EoF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个 RT 面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小 RT 面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边 ,所以自然去 利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就 ok. 【解析】 （ 1）证明：设，与的面积分别为， 由题意得， ， ，即与的面积相等 （ 2）由题意知：两点坐标分别为， (想不到这样设点也可以直接用 X 去代入 ,麻烦一点而已 ) ， 当时，有最大值 （ 3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上5 / 18 的点，过点作，垂足为 由题意得：， ， 又， (将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中 ) ， ，解得 存在符合条件的点，它的坐标为 【例 3】 如图，在直角梯形 ABcD中， ADBc ， c 90 ， Bc 16，Dc 12， AD 21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 c 出发，在线段cB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P， Q 分别从点 D， c 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒）。 （ 1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （ 2）当 t 为何值时，以 B， P， Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （ 3）是否存在时刻 t，使得 PQBD ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 6 / 18 【思路分析】本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当 P,Q 运动时，BPQ 的高的长度始终不变，即为 cD长，所以只需关注变化的底边 BQ 即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘 记这个题目中贯穿始终的不动量 高，过 Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明 PEQ 和 BcD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有 PE 是未知的，于是得解。这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】 解：（ 1）如图 1，过点 P 作 PmBc ，垂足为 m，则四边形 PDcm为矩形。 Pm Dc 12 7 / 18 QB 16 t， S 12(16 t) 96 t （ 2）由图可知 ： cm PD 2t， cQ t。热以 B、 P、 Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。 若 PQ BQ。在 RtPmQ 中，由 PQ2 BQ2 得，解得 t； 若 BP BQ。在 RtPmB 中，。由 BP2 BQ2得： 即。 由于 704 0 无解， PBBQ 若 PB PQ。由 PB2 PQ2，得 整理，得。解得（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？） 综合上面的讨论可知：当 t秒时，以 B、 P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （ 3）设存在时刻 t，使得 PQBD 。如图 2，过点 Q 作 QEADS ，垂足为 E。由 RtBDcRtQPE ， 得，即。解得 t 9 所以，当 t 9 秒时， PQBD 。 【例 4】 在 RtABc 中， c=90 ， Ac=3， AB=5点 P 从点 c 出发沿cA以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 Ac 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 18 / 18 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE保持垂直平分 PQ，且交 PQ于点 D，交折线 QB-Bc-cP于点 E点P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t 0） （ 1）当 t=2时， AP=，点 Q 到 Ac的距离是； （ 2）在点 P 从 c 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （ 3）在点 E 从 B 向 c 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （ 4）当 DE经过点 c 时，请直接写出 t 的值 【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度 ,但是这个条件基本不影响做题 ,不需要太专注于其上。首先应 当注意到的是在运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ这一条件，然后判断 t 可能的范围 .因为给出了 Ac 和 cB 的长度 ,据此估计出运动可能呈现的状态 .第一问简单不用多说 ,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数 .第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式 .DE/QB 和PQ/Bc 都要分情况讨论 .最后一问则可以直接利用勾股定理或者 AQ,BQ的等量关系去求解 . 解：（ 1） 1，； （ 2）作 QFAc 于点 F，如图 3， AQ=cP=t， 9 / 18 由 AQFABc ， 得 ， 即 （ 3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ ， PQQB ，四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP=90 由 APQABc ，得， 即解得 如图 5，当 PQBc 时， DEBc ，四边形 QBED是直角梯形 此时 APQ=90 由 AQPABc ，得， 即解得 （ 4）或 【注： 点 P 由 c 向 A 运动， DE经过点 c 方法一、连接 Qc，作 QGBc 于点 G，如图 6 ， 由，得，解得 方法二、由，得，进而可得 ，得， 点 P 由 A 向 c 运动， DE经过点 c，如图 7 10 / 18 ， 【例 5】 如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于 ，当点与点重合时，点停止运动设， （ 1）求点到的距离的长； （ 2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （ 3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由 【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算 DH 的长度实际上就是后面 PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算 DH的方法很多， 不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到 y(QR)和 x(BQ)要通过哪些量练联系在一起 .我们发现 RQ 和 Qc 所在的 QRc 和 BAc是相似的 ,于是建立起比例关系得出结果 .第三问依然是要分类讨论 ,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下 .不同类之间的解法也有所不同 ,需要注意一下 . 解：（ 1）， 点为中点， 11 / 18 ， ， ， （ 2）， ， ， 即关于的函数关系式为： （ 3）存在，分三种情况： 当时，过点作于，则 ， ， ， 当时， 当时，则 为中垂线上的点， 于是点为的中点， ， ， 综上所述，当为或 6 或时，为等腰三角形 12 / 18 【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系 ,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论 。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。 第二部分发散思考 【思考 1】 如图所示，菱形的边长为 6 厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以 1 厘米 /秒的速度沿的方向运动，点以 2厘米 /秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （ 1）点、从出发到相遇所用时间是秒； （ 2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的 值是秒； （ 3）求与之间的函数关系式 13 / 18 【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将 x运动分成三个阶段 ,第一个阶段是 0X3 ，到 3 时刚好 Q 到 B.第二阶段是 3X6 ， Q 从 B 返回来 .第三阶段则是再折回去 .根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可 . 【思考 2】 已知直角坐标系中菱形 ABcD的位置如图， c， D 两点的坐标分别为 (4,0)， (0,3).现有两动点 P,Q分别从 A,c同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 cBA 向终点 A 运动，设运动 时间为 t 秒 . (1)填空：菱形 ABcD 的边长是、面积是、高 BE的长是； (2)探究下列问题： 若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位 .当点 Q 在线段 BA 上时，求 APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值； 若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中 ,任何时刻都有相应的 k 值，使得 APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形 .请探究当 t=4秒时的情形，并求出 k 的值 . 【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂14 / 18 线，然后利用三 角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S 的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形 APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。 【思考 3】 已知：等边三角形的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段在的边上沿方向以 1 厘米 /秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒 （ 1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积； （ 2） 线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围 【思路分析】第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是 Pm=QN，所以此时 mN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N 过 AB中点之前，其次是 N 过中点之后同时 m 没有过中点，最后是 m,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。15 / 18 需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高 mN 是不变的，所以 Pm和 QN的长度就成为了求面积 S 中变化的部分。 这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这 8 个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。 第三部分思考题解析 【思考 1 解析】 解：（ 1） 6 （ 2） 8 （ 3） 当 0 时， 当 3 时， = 当时，设与交于点 (解法一 ) 过作则为等边三角形 （解法二） 16 / 18 如右图，过点作于点，于点 过点作交延长线于点 【思考 2 解析】 解：（ 1） 5,24, （ 2） 由