中考数学专题：多种函数交叉综合问题

1 / 11 中考数学专题：多种函数交叉综合问题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 中考数学专题 5 多种函数交叉综合问题 【例 1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点 求直线的解析式； 若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示） 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单 ,看看就行 . 【解析】将直线沿轴向下 平移后经过 x 轴上点 A（）， 设直线 AB的解析式为 则 解得 直线 AB的解析式为 图 3 （ 2）设点的坐标为， 直线经过点， 2 / 11 点的坐标为， 点在双曲线上， 【例 2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 A、 B 两点 （ 1）求出这两个函数的解析式； （ 2）结合函数的图象回答：当自变量 x 的取值范围满足什么条件时， 【思路分析】第一问直接看图写出 A， B 点的坐标（ -6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求 m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。 【解析】 解：（ 1）由图象知反比例函数的图象经过点 B(4， 3)， m=12 - 反比例函数解析式为 由图象知一次函数的图象经过点 A( 6， 2)， B(4， 3)， 解得 - 一次函数解析式为 3 / 11 （ 2）当 0x4 或 x 6 时， 【例 3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 （ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （ 2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （ 3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为 6 时，请判断线段与的大小关系，并说明理由 【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系， 考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形 oADm的面积是何用意 ,另一方面也要去看 Bm,Dm 和图中图形面积有何关系 .视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分 ,直接求出矩形面积即可 .部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看 ,从而没有想到思路 ,失分可惜 . 【解析】 解：（ 1）将分别代入中， 得， 4 / 11 ， 反比例函数的表达式为：； 正比例函数的表达式为 （ 2）观察图象得，在第一象限内，当时， 反比例函数的值大于正比例函数的值 （ 3） 理由： ， ，即 ， （很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积） 【例 4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数 （ 1）求的值； （ 2）求的值； （ 3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值 【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出 k的范围，加上非负整数这一条件得出 k 的具体取值。代入方程即可求出 m， n，继而求得解析式。注意题中已经 给定 mn,5 / 11 否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将 A,B表示出来，然后利用构建方程即可。 【解析】（ 1） 为非负整数， 为一元二次方程 (2)把代入方程得 ,解得 把代入与 可得 (3)把代入与 可得，由，可得 解得，经检验为方程的根。 【例 5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为 （ 1）求与的值； （ 2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数 【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，6 / 11 所 以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出 A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现 oB=oA,从而 BAo=ABo, 然后求出 BAo 即可。 解：（ 1） 点在双曲线上， 又 在直线上， . （ 2）过点 A 作 Amx 轴于点 m. 直线与轴交于点， . 解得 . 点的坐标为 . . 点的坐标为， . 在 Rt 中， , . . - 7 / 11 由勾股定理，得 . . . - 【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点： 1、给交点求解析式； 2， y 的比较， 3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如 y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。 第二部分发散思考 【思考 1】如图， A、 B 两点在函数 的图象上 . （ 1）求的值及直线 AB的解析式； （ 2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点 .请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。 【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用 1-6 的整数挨个去试，由于数量较少，8 / 11 所以可以很明显看出。 【思考 2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点 （ 1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）求的值 【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从 A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。 【思考 3】已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+（ 2k 3)x+k 3=0有两个不相等实数根（ k0） （ I）用含 k 的式子表示方程的两实数根； （ II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数 y=(3k 1)x+b与反比例函数 y=的图像都经过点（ x1， kx2），求 一次函数与反比例函数的解析式 【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。 9 / 11 【思考 4】如图，反比例函数的图象过矩形 oABc 的顶点 B， oA、 0c分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， oA： 0c=2： 1 （ 1）设矩形 oABc的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标； （ 2）若直线平分矩形 oABc面积，求的值 【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现 B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过 B 点，代入即可。 第三部分思考题解析 【思考 1 解析】 （ 1）由图象可知，函数（）的图象经过点， 可得 设直线的解析式为 ，两点在函数的图象上， 解得 直线的解析式为 （ 2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 【思考 2 解析】 （ 1）把，代入，得： 反比例函数的解析式为 把，代入得 10 / 11 把，； ，分别代入 得，（第 16题答图） 解得，一次函数的解析式为 （ 2）过点作轴于点 点的纵坐标为 1， 由一次函数的解析式为得点的坐标为， 在和中， 【思考 3 解析】 解：（ I） kx2