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XX考研数学 无穷小的阶与应用 两个无穷小的商求极限既是典型的未定式计算又有深刻的理论意义即“无穷小的比较” 如果商的极限为1则分子分母为等价无穷小极限为0分子是较分母高阶的无穷小极限为其它实数分子分母为同阶无穷小 为了考试要尽可能记住一些常用的等价无穷小 利用ydy（数学一二用泰勒公式）生成等价无穷小 当f（x0）0时ydy在原点计算y和dy得到常用的4个等价无穷小 sinxx；ln（1+x）x；exp（x）1x；（1+x）1x2 最好再记住1cosxx2（exp（x）记以e为底的指数函数） 等价无穷小的复合拓展 x0时(x)是无穷小则sin(x)(x)；ln（1+(x)）(x) 标准阶无穷小与无穷小的阶 高等微积分中把x0（或0+）时幂函数y=（x的次方）称为阶无穷小与它同阶的无穷小都是阶无穷小于是常用的1阶无穷小有 xsinxtgxarcsinxarctgxexp（x）1 常用的2阶无穷小有1cosx 等价无穷小的差为高阶无穷小 值得记一记的有（常见的三阶无穷小）xsinxx/6 xlnx（1+x）x/2exp（x）（1+x）x/2！ 不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小（“多项式型无穷小”）它与其中最低阶的那个无穷小同阶 比如y=ln（1+x）+1cosx是1阶无穷小 再复杂一点5xsinxcosx+1=4x+（1cosx）+（xsinx）是1阶无穷小 由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”或“无穷小的线性组合”所以“无穷小的和”或“无穷小的线性组合”其阶数都是未定式 无穷小的积是高阶无穷小 无穷小（在区间背景下）也是有界变量所以“无穷小与有界变量的积”是无穷小但阶数是未定式 比如x0时x+3x与x同为1阶实际上x+3x=x（x+3）后因子极限非0 但xsin（1/x）的阶数不能确定 在阶的意识下对0/0型未定式作结构分析与调整 例1x求limxsin（2x/（x+1） 分析x时2x/（x+1）是无穷小sin（2x/（x+1）（2x/（x+1）可替换 例2x0时求lim(5xsinxcosx+1)/(3xlnx) 分析原极限=lim(4x+1cosx+xsinx)/(2x+xlnx) 分子分母都是“多项式型无穷小”用“化0项法”分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小原极限=2 例3x0时求lim（1/x）ln（sinx/x） 分析（数三学过幂级数）sinx=xx/6+ ln（sinx/x）=ln（1x/6+）x/6可替换 无穷小怪例不能确定阶数的无穷小 怪例1=xsin（1/x）和=x都是无穷小但是它们的商是震荡因子sin（1/x）没有极限两个无穷小不能比较 更有意思的是若=x的k次方则无论k=0.9,还是k=0.99,k=0.999,总是比高阶的无穷小 怪例2x+时lim（x的n次方）exp（x）=0即lim（x的n次方）exp（x）=0 这表明：“x趋于+时指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大” 或说x趋于+时exp（x）是“任意大阶的”无穷小它能“吞吸”任一有限阶的无穷大 怪例3x+时limlnx（x的次方）=0 其中是任意取定的一个很小的正数这表明：x趋于+时“对数函数lnx总是比x的次方都还要低阶的无穷大”或说1/lnx是“阶数任意小”无穷小 无穷小的阶与级数广义积分收敛性 判断级数广义积分收敛性首先判断绝对收敛性 如果用“无穷小量”的语言来说则“级数收敛的必要条件是n+时级数的通项是无穷小量” 这个条件不是充分条件如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p则p1时级数收敛p1时级数发散 “已经判定”是重要前提请看（并记住）怪例 尽管1/nlnn是较1/n高阶的无穷小但是通项为1/nlnn的级数也发散.然而通项为1/n(lnn)的级数收敛你却不能确定其无穷小阶 *若n+时两个正项级数和的通项是同阶无穷小则这两个级数或者都收敛或者都发散（这是极限形式的比较法的实质） 例Un为正项级数下列结论中正确的是 （A）若n+时limnUn=0则Un收敛 （B）若Un收敛则n+时limnUn=0 （C）若存在非零常数使得n+时limnUn=则级数Un发散 （D）若级数Un发散则存在非零常数使得limnUn= 分析（A）错条件虽然说明n+时Un是比1/n高阶的无穷小但我们不能确定其阶数 答案为（C）它说明n+时Un是与1/n同阶的无穷小 对于广义积分.有判断定理 若x+时f（