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文章编号:1004 - 2539(2001)03 - 0003 - 04 凸轮机构的通用数学模型 葛正浩1 杨芙莲2 彭国勋2 刘宏昭1 (西安理工大学1, 陕西 西安 710048) (西北轻工业学院2, 陕西 咸阳 712081) 摘要 建立了凸轮机构的通用数学模型,给出了凸轮轮廓曲面求解的一般方法,并分三大类导出了常用 凸轮机构凸轮轮廓曲面求解的通用公式。所推公式涵盖了所有平面凸轮机构及绝大多数空间凸轮机构。 关键词 凸轮机构 通用数学模型 凸轮轮廓曲面 1 引言 凸轮机构按照从动曲面形状、 机构的结构布置情 况及运动形式不同,可以分为许多种类。凸轮轮廓曲 面的求解已广泛采用解析法,并借助于电子计算机进 行。为了便于用计算机求解及便于编制通用程序,并 且适用于各种类型的凸轮机构,许多学者致力于探索 通用性较强的计算方法及公式。文献2建立了一种 适合于平面与空间凸轮机构的系统的计算方法,可以 较方便地直接求出各种凸轮轮廓的所有数据。它利用 螺旋理论确定了凸轮与从动件的表面接触条件。这种 方法为平面与空间凸轮轮廓计算奠定了比较完整的理 论基础。文献1利用回转变换张量作为数学工具,导 出了常用空间凸轮机构凸轮轮廓曲面参数及曲率分析 的通用计算公式;运用平面曲线啮合原理,导出了适用 于各类平面凸轮机构的凸轮轮廓参数通用计算公式, 极大地方便了通用设计软件的编制。文献6提出了 一种能够适合于平面、 空间各类凸轮机构轮廓设计和 几何分析的统一数学模型,揭示了各类凸轮机构之间 的内在联系。对于不同种类的凸轮机构,只要选择好 初参数,都可以归纳为统一的数学模型进行处理。文 献35则应用瞬时螺旋运动理论设计凸轮轮廓,建 立了一个统一的框架处理平面及空间各种凸轮机构。 文献7运用共轭曲面原理建立了凸轮机构的统一设 计模型,并将各种凸轮机构按从动件曲面方程不同分 为四大类,导出了这四大类凸轮机构各自的通用计算 式。文献811对包络理论作了发展,在此基础上, 提出了一种简单通用的求解各种平面和空间凸轮轮廓 的方法8。这种方法将凸轮轮廓曲面看作为参数形 式的从动件曲面族的包络面,从而可较方便地求出凸 轮轮廓曲面参数。 本文将在上述研究的基础上,建立起凸轮机构的 通用数学模型,给出凸轮轮廓曲面求解的一般方法,并 分三大类导出常用凸轮机构凸轮轮廓曲面求解的通用 公式。 2 凸轮机构的通用数学模型 2.1 凸轮机构的通用几何模型 以一般空间凸轮机构的运动简图来表示凸轮机构 的通用几何模型(如图1所示 ) , 并建立如图所示的4 个坐标系 S1 ( O 1, x1, y1, z1) 建立在从动件初始位置的 定坐标系; Sf ( O f, xf, yf, zf) 建立在从动件上的动坐标 系,初始位置与S1重合; S2 ( O 2, x2, y2, z2) 建立在凸轮初始位置的定 坐标系,坐标轴方向与S1 一致; Sc ( O c, xc, yc, zc) 固结在凸轮上的动坐标系, 初始位置与S2重合。 图1 凸轮机构的通用几何模型 2.2 凸轮轮廓曲面矢量 令从动件曲面 61在Sf中的矢量表示为Rf,则 Rf(f,f)= xf(f,f) yf(f,f) zf(f,f ) T (1) 最常用的凸轮从动件形式为滚子式。从动滚子有 多种类型,如圆柱滚子、 圆锥滚子、 鼓形滚子、 球形滚子 等。不论何种形式,61通常是已知的回转曲面(如图 2所示)。 9第25卷 第3期 凸轮机构的通用数学模型 Rf= xf yf zf = rfcosf ( f+ b) cos+rfsinfsin+lf ( f+ b) sin+rfsinfcos (2) 式中, rf=rf(f ) , 为已知回转曲面的母线函数;f,f 为滚子曲面的几何参数;其余参数如图。 从而 61在S1中的矢量为R1,且 R1=Mf1 ( 1) ( R f+L1) (3) 式中, Mf1为坐标系Sf绕S1某一轴的旋转变换矩阵,1 为从动件的角位移。L1为Sf平移到S1的平移变换矢 量。 图2 从动滚子曲面的矢量Rf 由矢量关系可得凸轮曲面 62在坐标系S2中的 矢量R2 R2=R1-C=Mf1 ( 1) ( R f+L1)- C(4) 式中, C为坐标系S1与S2间的中心距矢量。 将R2变换到Sc坐标系,则得到凸轮轮廓曲面在 凸轮坐标系中的矢量Rc Rc=Mc2 (- 2)R2- L2= Mc2 (- 2) Mf1(1) ( R f+L1)- C-L2(5) 式中, L2为从Sc平移到S2的平移变换矢量。 上式就是各种凸轮机构凸轮轮廓曲面矢量的通用 表达式。 2.3 接触条件 为保证两曲面 61和 62在相对运动中始终保持 接触,两曲面必须在接触点处相切。而要保证两曲面 在接触点处相切,它们间的相对速度矢量必须垂直于 两曲面在该点的公法线。设n为两曲面在接触点处 的单位公法线矢量, V21为相对速度矢量,则两曲面保 持接触的充分必要条件为 nV21= 0(6) 单位公法线矢量可以由曲面 61的矢量式求得 nf= 5Rf 5 f 5Rf 5 f 5Rf 5 f 5Rf 5 f (7) n=n1=Mf1 ( 1)nf (8) 相对速度V21的求法如下:设Vf、Vc分别为动坐 标系Sf和Sc的移动速度矢量,1 、 2分别为两曲面绕 轴旋转的角速度矢量,接触点K随曲面 61运动的速 度V1和随 62运动的速度V2分别为 V1=Vf+1R1 V2=Vc+2R2 (9) 从而可得 V21=V2-V1=Vc-Vf+2R2-1R1(10) 将式(4)代入,整理可得 V21=Vc-Vf+(2-1)R1-2C(11) 2.4 凸轮轮廓曲面方程 联立式(5)与式(6 ) , 可得到凸轮轮廓曲面方程,即 Rc=Mc2 (- 2)R2- L2= Mc2 (- 2) Mf1(1) ( R f+L1)- C-L2 nV21= 0 (12) 2.5 压力角 压力角是从动曲面在接触点处所受的凸轮驱动力 与该点速度方向之间的夹角。令u1为从动曲面在接 触点处的单位速度矢量,并且凸轮驱动力的方向沿着 从动曲面在接触点处的单位法线矢量n1的反方向,从 而压力角可由下式计算 cos= -n1u1(13) 3 平面凸轮机构凸轮轮廓曲线求解的 通用公式 图1所示的通用几何模型,只需令Zf、Z1、Zc、Z2 及为0,即可降维为二维平面凸轮机构的通用几何 模型(如图3所示)。 图3 平面凸轮机构的通用几何模型 为简化推导过程,平面模型中采用复数矢量法来 表达矢量关系,则式(5)即转化为 Rc= ( Lf+Rf ) e j 1- C e j( - 2)- Lc(14) 令Lf、Lc分别为沿着xx、xc方向的移动矢量,则上式 的复数矢量形式可写为 rcej c= ( lf+rfej f ) e j 1- ce j( - 2)- lc(15) 01 机械传动 2001年 式中,1 、 2分别表示从动件与凸轮的转动, lf、lc分别 表示从动件与凸轮的移动, c表示中心距。 在从动件的几何形状,即rf 与 f的函数关系确定 后,由接触条件(6)可得到当从动曲线 是圆或直线 时, rf与f之间的关系式 Q1sin(f+f 2 )+Q2cos( f+f 2 )+Q3rf= 0(16) 其中 Q1=lf -lc cos(1-2)+c2 sin1 Q2=lf(2 -1 )-lc sin(1-2)+c2 cos1 Q3=(1 -f) (2 -1 ) 当从动曲线是圆时, rf是常数(即圆的半径 ) , f= 1, Q3 = 0,因而有 f=tan - 1(Q1 Q2) (17) 当从动曲线是直线时,f为常数(通常取为零 ) , f= 0, 因而有 rf= Q1sinf+Q2cosf 1 -2 (18) 综上所述,将式(14)和式(16)联立,即可由以下已 知参数求出 f(或rf)以及曲线 的矢量函数Rc:运动 参数1、 2、lf、lc 、 1 、 2 、lf 、lc ;几何参数c;形状参数rf ( 或 f)。 有关压力角、 曲率及刀具中心轨迹的计算公式,详 细内容可参考文献1 ,本文不再赘述。 4 摆动滚子从动件空间凸轮机构凸轮 轮廓曲面求解的通用公式 摆动滚子从动件空间凸轮机构,常用的有摆动滚 子从动件圆柱凸轮机构和摆动滚子从动件弧面凸轮机 构两种。这两种也是圆柱凸轮分度机构及弧面凸轮分 度机构的原型,有着非常广泛的应用。 这类凸轮机构的从动件均作定轴往复转动或间歇 转位运动,可令其均为绕z1轴转动。凸轮均为回转运 动,可令其绕y2轴转动。从动件与凸轮直接接触的部 分为各种形状的滚子。因而这类凸轮机构的几何模型 可由图1简化为图4所示形式。 对于摆动滚子从动件圆柱凸轮机构,若滚子为圆 柱形, 则 = 90, b= 0,有 Rf= xf yf zf T = rfcosf rfsinf+lf f T (19) 其单位法向矢量 nf=f f f T =cosf sinf 0 T (20) 对于摆动滚子从动件弧面凸轮机构,圆柱形滚子, = 0, b= 0,有 Rf= xf yf zf T = rfcosf f+lf rfsinf T (21) nf=f f f T =cosf 0 sinf T (22) 图4 摆动滚子从动件空间凸轮机构的几何模型 由式(5 ) , 并考虑此类凸轮机构的特殊性,可得凸轮轮 廓曲面 62的矢量 Rc=My (- 2) Mz(1)Rf- C(23) 式中, My (- 2) 绕y轴旋转- 2角的空间旋转变换 矩阵 Mz ( 1) 绕 Y轴旋转1角的空间旋转变换 矩阵 该式对二曲面都作定轴转动、 且回转轴垂直而不 相交的空间啮合曲面都是适用的。 已知从动曲面的形状,即可得到Rf与nf关于曲 面参数f 、 f的函数式,且有 n1=Mz ( 1)nf (24) 由式(11)可得 V21=(2-1)R1-2C(25) 且 R1=Mz ( 1)Rf (26) 代入接触条件式(6 ) , 可得 P1sin1+P2cos1+P3= 0(27) 式中 P1=f ( z f-3)-vfyf P2=f ( z f-3)-vfxf P3=1(fyf-fxf)+vf1,1=1/2 式(27)即为所求接触条件方程。求出系数P1、P2、P3 后代入,就可得到f 与 f的隐函数表达式。 综上所述,凸轮轮廓曲面求解的方程组可写成 P1sin1+P2cos1+P3= 0 Rc= xc, yc, zc T (28) 其中 xc=xfcos1cos2+yfsin1cos2- 1cos 2+ ( z f-3)sin2 yc= -xfsin1+yfcos1-2 zc= -xfcos1sin2-yfsin1sin2+ 1sin 2+ ( z f-3)cos2 (29) 11第25卷 第3期 凸轮机构的通用数学模型 5 直动滚子从动件空间凸轮机构凸轮 轮廓曲面求解的通用公式 直动滚子从动件空间凸轮机构,常用的有圆柱凸 轮机构和圆锥凸轮机构两种。前者的从动件移动方向 平行于凸轮回转轴线,后者的从动件移动方向与凸轮 回转轴线有一夹角。 设从动件沿yf轴方向移动,凸轮绕y2轴转动,则 此类凸轮机构的几何模型可由图1简化为图5所示形 式。 图5 直动滚子从动件空间凸轮机构的几何模型 对于直动滚子从动件圆柱凸轮机构,= 90,= 0;对于直动滚子从动件圆锥凸轮机构,= 90,为 设计值。 由式(5 ) , 并考虑此类凸轮机构的特殊性,可得凸 轮轮廓曲面 62的矢量Rc Rc=My (- 2) Rf+L1- C(31) 式中 L1 从动件的平移变换矢量。 由式(11)可得 V21= -Vf+2 ( R 1- C) (32) 式中, Vf为从动件的移动速度矢量, Vf=0, s ,0 T。 并且 R1=Rf+L1 L1= 0 scos ssin (33) 式中 s 从动件沿轴方向的位移量。 且有 n1=nf=f f f T 代入接触条件式(6 ) , 可得 2 ( z f+ssin-3)f-s f-2 ( x f-1)f= 0 (34) 式(34)即为接触条件方程。该式也是f 与 f的 关系式。 这样,凸轮轮廓曲面方程可写为 2 ( z f+ssin-3)f-s f-2 ( x f-1)f= 0 Rc= xc, yc, zc T (35) 其中 xc= ( x f-1)cos2+ ( z f+ssin-3)sin2 yc=yf+scos-2 zc= - ( x f-1)sin2+ ( z f+ssin-3)cos2 6 结语 以一般空间凸轮机构的运动关系建立起了各种凸 轮机构的通用几何模型及数学模型,所建模型适用于 各种类型的空间、 平面凸轮机构。在此模型的基础上, 分三大类导出了常用凸轮机构凸轮轮廓曲面求解的通 用公式,涵盖了所有的平面凸轮机构及绝大多数常用 的空间凸轮机构。并使凸轮轮廓曲面求解的公式大大 减少,且各大类公式具有基本统一的形式,非常便于建 立通用的凸轮机构CAD软件系统。此项研究为凸轮 机构CAD软件系统的开发打下了理论基础。 参考文献 1 彭国勋、 肖正扬.自动机械的凸轮机构设计,北京:机械工业出版社, 1990 2 Chakraborty.J.Dhande. S. G. K inematic and Geometryof Planar and Spacial Cam Mechanisms , John Wiley Sons , New Y ork ,1977 3 G onzalez - Palacios M. A. Angeles J. The Synthesis of Cam - Oscillating Roller - Follower Mechanisms: A Unified Approach , Proc. 1992 ASME Mechanisms Conference , Mechanism Design and Synthesis , DE.Vol.46 4 G onzalez - Palacios M.A. Angeles J. Synthesis of Contact Surface of Spheri2 cal Cam - Oscillating Roller - Follower Mechanisms: A General Approach , ASMEJ.of Mech.Des. ,Vol.116 5 G onzalez - Palacios M.A. Angeles J. The Generation of Contact Surfaces of Indexing Cam Mechanisms - A Unified Approach ,ASME J. Of mech. Des. , Vol.116 6 曹巨江、 彭国勋.各类凸轮机构统一数学模型的研究.西北轻工业学 院学报,Vol.10(2) ,1992.6 7 赵韩等.凸轮机构设计.北京高等教育出版社,1993 8 Tsay D. M. Wei H. M. A General Approach to the Determination of Planar and Spacial Cam Profiles , ASMEJ.of Mech.Des. ,Vol.118 ,1996 9 Tsay D.M. Wei H.M. Profile Determination and Analysisof Cylindrical Cams with Oscillating Roller - followers , Proc. 1993 ASME Design Automation Conference , DE- Vol.65 - 1 10 Tsay D. M. Wei H. M. Design and Machining of Cylindrical Cams with Translating Conical Followers , Computer - Aided Design ,Vol.25(10) ,1993 11 Tsay D.M. Huang G. S. Application of the Theory of Envelop to the Deter2 minationof Camoid Profiles with Translating Followers , ASME J. of Mech. Des. ,Vol.116 ,1994 收稿日期:2001 01 10 作者简介:葛正浩(1964 - ) ,男,上海市人,硕士,在职博士生,副教授。 21 机械传动 2001年 ABSTRACTS & KEY WORDS MECHANICAL TRANSMISSION Vol.25. No.3 , 2001 The Analysis of the Steady Bulk Temperature Field in Spiral Bevel GearsShen Yunwen ,et al. (1) Abstract T o counter complexity of spiral bevel gear geometry , this paper presents a mathematical model for calculating the steady bulk temperature field of spiral bevel gears based on the thermal transferring theory. Firstly , the mesh generationof finite element of the toothof spi2 ral bevel gear is discussed by using the 8 - nodes three - dimensional fi2 nite element. Secondly , the authors develop the functional of the steady bulk temperature field of spiral bevel gear through the agency of varia2 tion principle and a method for calculating friction heat flow on the meshing tooth surface. Thus , the solution of steady bulk temperature field can be transformed into solving linear algebraic equations. Finally , this paper gives a calculating example and discusses the effect of a lot of factors (such as thermal physical parameters , geometric parameters and working conditions , etc. ) on steady bulk temperature field of spiral bevel gear. The calculation results in this paper are in agreement with steady bulk temperature field of spiral bevel gear given in 5. It shows that this method presented by authors is reasonable and effective. Key words : Spiral bevel gear Steady bulk temperature field 3 - D FEM Principle and Realization of Pure Rolling Contact Gearing Huang Xiaoping ,et al. (5) Abstract There is relative slip between the meshing tooth of involute gears ,cycloid gears ,and arc gears. This slip causes a series of harmful results. In this paper ,the research history of rolling contact gearing is reviewed briefly ,the principle ,realization as well as the transmission features of the pure rolling contact gearing are disussed in detail ,the profile design and tooth design are presented ,several simple and practi2 cal profiles are given. The proposed theory and scheme are verified us2 ing theoretical analysis ,computer simulations and real gears. Key words : Gear transmission Pure rolling contact Profile curve Pitch point mesh A Universal Mathematic Model for Cam Mechanisms Ge Zhenghao ,et al. (9) Abstract A universal mathematic model for cam mechanisms is built. The general method for the calculating of the cam contour camber is raised . General calculationformolas are deducedfor three categories of common use cam mechanisms. The formulas can be used to dispose of all kinds of planar cam mechanisms and most commom use spacial cam mechanisms. Key words : Cam mechanisms Universal mathematic model Cam contour camber Study on the Distribution of Kinematics Transmission Indices for a Orthogonal Robotic MechanismJin Zhenlin ,et al. (13) Abstract The kinematics transmission properties of a parallel robotic mechanism vary with its configuration change. It is significant for the selection of the actuators and the control of a robot to research the dis2 tributions of the kinematics transmission indices in workspace. In this paper , the layout feature of a novel 6 - DOF orthogonal three - dimen2 sional platform robotic mechanism is described. Its kinematics transmis2 sion indices are defined and the distributions of the indices in constant - orientation workspace are presented. Key words : 6 - DOForthogonal three - dimensional platform K ine2 matics transmission property Workspace Distribution The Analyse of Overlap Ratio of Oscillator Drives Zhang Huadi ,et al. (16) Abstract In this paper , a new model and method are presented to calculate the Overlap ration of oscillator drives. Using this method , the formula has been deduced and the Overlap ration of oscillator drives has been obtained. The effect of the structure parameter error onoverlap ra2 tion of oscillator drives is also given. Key words : Oscillator drives Overlap ration Engagement state ge2 ometry model Dynamic Response of 4R Four - Bar Mechanism with a Clearance JointWang Guoqing ,et al. (18) Abstract This paper takes account of the boundary condition of ele2 ments of a joint with clearance when contact occur , by using the nonlin2 ear spring damper formulation to model the resulting reaction force be2 tween the elements of clearance joint. The dynamic response of a revo2 lute joint in a four - bar mechanism with a clearance is investigated. When the resulting equations of motion are solved numerically , they show the elements of a clearance joint keeping continuous defor