九年级数学上册全册导学案（人教版含答案）

1 / 47 九年级数学上册全册导学案（人教版含答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第二十一章 一元二次方程 21 1 一元二次方程 1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0(a0) 及有关概念 3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次 项和系数及常数项 一、自学指导 (10 分钟 ) 问题 1： 如图，有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm，在它的四角各2 / 47 切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为 xcm，则盒底的长为 _(100 2x)cm_ ， 宽 为 _(50 2x)cm_ 列 方 程 _(100 2x)(50 2x) 3600_，化简整理，得 _x2 75x350 0_ 问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 _47 28_ 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 _(x 1)_个队各赛1 场，所以全部比赛共 x（ x 1） 2_场列方程 _x（ x 1）2 28_，化简整理，得 _x2 x 56 0_ 探究： (1)方程 中未知数的个数各是多少？ _1 个 _ (2)它们最高次数分别是几次？ _2 次 _ 归纳：方程 的共同特点是：这些方程的两边都是 _整式_，只含有 _一个 _未知数 (一元 )，并且未知数的最高次数是 _2_的方程 1一元二次方程的定义 等号两边都是 _整式 _，只含有 _一 _个未知数 (一元 )，并3 / 47 且未知数的最高次数是 _2_(二次 )的方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2 bx c 0(a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中 _ax2_是二次项， _a_是二次项系数， _bx_是一次项， _b_是一次项系数， _c_是常数项 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数 a0 是一个重要条件，不能漏掉 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (6 分钟 ) 1判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x3 2x2 5 0； (2)x2 1； (3)5x2 2x 14 x2 2x 35； (4)2(x 1)2 3(x 1)； (5)x2 2x x2 1;(6)ax2 bx c 0. 解： (2)(3)(4) 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程 2将方程 3x(x 1) 5(x 2)化成一元二次方程的一般形4 / 47 式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 解：去括号，得 3x2 3x 5x 10.移项，合并同类项，得3x2 8x 10 0.其中二次项系数是 3，一次项系数是 8，常数项是 10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活 动成果 (8 分钟 ) 1求证：关于 x 的方程 (m2 8m 17)x2 2mx 1 0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程 证明： m2 8m 17 (m 4)2 1， (m 4)20 ， (m 4)2 10，即 (m 4)2 10. 无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2 8m 170 即可 2下面哪些数是方程 2x2 10x 12 0 的根？ 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：将上面的这些数 代入后，只有 2 和 3 满足等式，所以 x 2 或 x 3 是一元二次方程 2x2 10x 12 0 的两根 5 / 47 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (9 分钟 ) 1判断下列方程是否为一元二次方程 (1)1 x2 0;(2)2(x2 1) 3y； (3)2x2 3x 1 0;(4)1x2 2x 0； (5)(x 3)2 (x 3)2;(6)9x2 5 4x. 解： (1)是； (2)不是； (3)是； (4)不是； (5)不是； (6)是 2若 x 2 是方程 ax2 4x 5 0 的一个根，求 a 的值 解： x 2 是方程 ax2 4x 5 0 的一个根， 4a 8 5 0， 解得 a 34. 3根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长x. 解： (1)4x2 25， 4x2 25 0； (2)x(x 2) 100， x2 2x 100 0. 6 / 47 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0(a0) ，特别强调 a0. 3要会判断一个数是否是一元二次方程的根 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 2 解一元二次方程 21 配方法 (1) 1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能 重点：运用开平方法解形如 (x m)2 n(n0) 的方程；领会降次 转化的数学思想 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2 n(n0) 的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如 (x m)2 n(n0) 的方程 一、自学指导 (10 分钟 ) 问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，7 / 47 你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为 xdm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： _106x2 1500_， 由此可得 _x2 25_， 根据平方根的意义，得 x _5_ _， 即 x1 _5_， x2 _ 5_ 可以验证 _5_和 5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为 _5_dm. 探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程 (2x 1)2 5 及方程 x2 6x 9 4? 方程 (2x 1)2 5 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为 _2x 1 5_ ，即将方程变为 _2x 1 5 和 _2x 1 5_两个一元一次方程，从而得到方程 (2x 1)2 5 的两个解为 x1 _1 52，x2 _1 52_ 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程 “ 降次 ” ，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了 方程 x2 6x 9 4 的左边是完全平方式，这个方程可以化成 (x _3_)2 4，进行降次，得到 _x 3 2_ ，方程的根为 x1 _ 1_， x2 _ 5_. 归纳：在解一元二次方程时通常通过 “ 降次 ” 把它转化为两8 / 47 个一元一次方程如果方程能化成 x2 p(p0) 或 (mx n)2 p(p0) 的形式，那么可得 x p 或 mx n p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评， 教师巡视 (6 分钟 ) 解下列方程： (1)2y2 8； (2)2(x 8)2 50； (3)(2x 1)2 4 0;(4)4x2 4x 1 0. 解： (1)2y2 8， (2)2(x 8)2 50， y2 4， (x 8)2 25， y 2 ， x 8 5 ， y1 2， y2 2； x 8 5 或 x 8 5， x1 13， x2 3； (3)(2x 1)2 4 0， (4)4x2 4x 1 0， (2x 1)2 40， (2x 1)2 0， 原方程无解； 2x 1 0， x1 x2 12. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成 x2 p(p0) 或 (mx n)2 p(p0) 的形式，若能，则可运用直接开平方法解 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (8 分钟 ) 1用直接开平方法解下列方程： 9 / 47 (1)(3x 1)2 7;(2)y2 2y 1 24； (3)9n2 24n 16 11. 解： (1) 173 ； (2) 126 ； (3)4113. 点拨精讲：运用开平方法解形如 (mx n)2 p(p0) 的方程时，最容易出错的是漏掉负根 2已知关于 x 的方程 x2 (a2 1)x 3 0 的一个根是 1，求 a 的值 解： 1. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (9 分钟 ) 用直接开平方法解下列方程： (1)3(x 1)2 6 0;(2)x2 4x 4 5； (3)9x2 6x 1 4;(4)36x2 1 0； (5)4x2 81;(6)(x 5)2 25； (7)x2 2x 1 4. 解： (1)x1 1 2， x2 1 2； (2)x1 2 5， x2 2 5； (3)x1 1， x2 13； (4)x1 16， x2 16； (5)x1 92， x2 92； (6)x1 0， x2 10； (7)x1 1， x2 3. 10 / 47 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 1用直接开平方法解一元二次方程 2理解 “ 降次 ” 思想 3理解 x2 p(p0) 或 (mx n)2 p(p0) 中，为什么 p0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 配方法 (2) 1会用配方法解数字系数的一元二次方程 2掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程 重点：掌握配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为形如 (x a)2 b 的过程 (2 分钟 ) 1填空： (1)x2 8x _16_ (x _4_)2； (2)9x2 12x _4_ (3x _2_)2； (3)x2 px _(p2)2_ (x _p2_)2. 2若 4x2 mx 9 是一个完全平方式，那么 m 的值是_12_ 一、自学指导 (10 分钟 ) 问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2，11 / 47 场地的长和宽分别是多少米？ 设场地的宽为 xm，则长为 _(x 6)_m，根据矩形面积为16m2，得到方程 _x(x 6) 16_，整理得到 _x2 6x 16 0_ 探究：怎样解方程 x2 6x 16 0? 对比这个方程与前面讨论过的方程 x2 6x 9 4，可以发现方程 x2 6x 9 4 的左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x2 6x 16 0不具有上 述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 x2 6x 16， 两边都加上 _9_即 _(62)2_，使左边配成 x2 bx (b2)2的形式，得 _x2_ 6_x_ 9 16 _9_， 左边写成平方形式，得 _(x 3)2 25_， 开平方，得 _x 3 5_ ， (降次 ) 即 _x 3 5_或 _x 3 5_， 解一次方程，得 x1 _2_， x2 _ 8_ 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫 做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化12 / 47 为两个一元一次方程 问题 2：解下列方程： (1)3x2 1 5； (2)4(x 1)2 9 0； (3)4x2 16x 16 9. 解： (1)x 2 ； (2)x1 12， x2 52； (3)x1 72， x2 12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式 ax2 bx c 0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数 a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平 方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (8 分钟 ) 1填空： (1)x2 6x _9_ (x _3_)2； (2)x2 x _14_ (x _12_)2； (3)4x2 4x _1_ (2x _1_)2. 2解下列方程： (1)x2 6x 5 0;(2)2x2 6x 2 0； (3)(1 x)2 2(1 x) 4 0. 13 / 47 解： (1)移项，得 x2 6x 5， 配方得 x2 6x 32 5 32， (x 3)2 4， 由此可得 x 3 2 ，即 x1 1， x2 5. (2)移项，得 2x2 6x 2， 二次项系数化为 1，得 x2 3x 1， 配方得 x2 3x (32)2 (x 32)2 54， 由此可得 x 32 52 ，即 x1 52 32， x2 52 32. (3)去括号，整理得 x2 4x 1 0， 移项得 x2 4x 1， 配方得 (x 2)2 5， x 2 5 ，即 x1 5 2， x2 5 2. 点拨精讲：解这些方程 可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (5 分钟 ) 如图，在 RtABc 中， c 90 ， Ac 8m， cB 6m，点 P，Q 同时由 A， B 两点出发分别沿 Ac， Bc 方向向点 c 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后 PcQ 的面积为 RtABc 面积的一半？ 14 / 47 解：设 x 秒后 PcQ 的面积为 RtABc 面积的一半根据题意可列方程： 12(8 x)(6 x) 121286 ， 即 x2 14x 24 0， (x 7)2 25， x 7 5 ， x1 12， x2 2， x1 12， x2 2 都是原方程的根，但 x1 12 不合题意，舍去 答： 2 秒后 PcQ 的面积为 RtABc 面积的一半 点拨精讲：设 x 秒后 PcQ 的面积为 RtABc 面积的一半，PcQ 也是直角三角形根据已知条件列出等式 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (8 分钟 ) 1用配方法解下列关于 x 的方程： (1)2x2 4x 8 0； (2)x2 4x 2 0； (3)x2 12x 1 0;(4)2x2 2 5. 解： (1)x1 1 5， x2 1 5； (2)x1 2 2， x2 2 2； (3)x1 14 174， x2 14 174； (4)x1 62， x2 62. 2如果 x2 4x y2 6y z 2 13 0，求 (xy)z 的值 15 / 47 解：由已知方程得 x2 4x 4 y2 6y 9 z 2 0，即 (x 2)2 (y 3)2 z 2 0， x 2， y 3， z 2. (xy)z 2( 3) 2 136. 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 1用配方法解一元二 次方程的步骤 2用配方法解一元二次方程的注意事项 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 公式法 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念 2.会熟练应用公式法解一元二次方程 重点：求根公式的推导和公式法的应用 难点：一元二次方程求根公式的推导 (2 分钟 ) 用配方法解方程： (1)x2 3x 2 0； (2)2x2 3x 5 0. 解： (1)x1 2， x2 1； (2)无解 一、自学指导 (8 分钟 ) 问 题：如果这个一元二次方程是一般形式 ax2 bx c16 / 47 0(a0) ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 问题：已知 ax2 bx c 0(a0) ，试推导它的两个根 x1 b b2 4ac2a， x2 b b2 4ac2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把 a， b， c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 探究：一元二次方程 ax2 bx c 0(a0) 的根由方程的系数 a， b， c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2bx c 0，当 b2 4ac0 时，将 a， b， c 代入式子 x bb2 4ac2a 就得到方程的根，当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根 (2)x bb2 4ac2a 叫做一元二次方程 ax2 bx c0(a0) 的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有 _2 个实数根，也可能有 _1_个实根或者 _没有 _实根 (5)一般地，式子 b2 4ac 叫做方程 ax2 bx c 0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 b2 4ac. 二、自学检 测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (5 分钟 ) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ 17 / 47 (1)2x2 3x 0； (2)3x2 23x 1 0； (3)4x2 x 1 0. 解： (1)x1 0， x2 32；有两个不相等的实数根； (2)x1 x2 33；有两个相等的实数根； (3)无实数根 点拨精讲： 0 时，有两个不相等的实数根； 0 时，有两个相等的实数根； 0 时，没有实数根 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (8 分钟 ) 1方程 x2 4x 4 0 的根的情况是 ( B ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 c有一个实数根 D没有实数根 2当 m 为何值时，方程 (m 1)x2 (2m 3)x m 1 0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解： (1)m 14； (2)m 14； (3)m 14. 3.已知 x2 2x m 1 没有实数根，求证： x2 mx 1 2m必有两个不相等的实数根 . 18 / 47 证明： x2 2x m 1 0 没有实数根， 4 4(1 m) 0， m 0. 对于方程 x2 mx 1 2m，即 x2 mx 2m 1 0， m2 8m 4， m 0， 0， x2 mx 1 2m 必有两个不相等的实数根 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (10 分钟 ) 1利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x2 3x 32 0;(2)16x2 24x 9 0； (3)x2 42x 9 0;(4)3x2 10x 2x2 8x. 解： (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实 数根； (3)无实数根； (4)有两个不相等的实数根 2用公式法解下列方程： (1)x2 x 12 0; (2)x2 2x 14 0； (3)x2 4x 8 2x 11; (4)x(x 4) 2 8x； (5)x2 2x 0; (6)x2 25x 10 0. 解： (1)x1 3， x2 4； (2)x1 2 32， x2 2 32； (3)x1 1， x2 3； (4)x1 2 6， x2 2 6； 19 / 47 (5)x1 0， x2 2;(6)无实数根 点拨精讲： (1)一元二 次方程 ax2 bx c 0(a0) 的根是由一元二次方程的系数 a， b， c 确定的； (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 b2 4ac0 的前提下，把 a， b， c 的值代入 x bb2 4ac2a(b2 4ac0) 中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 1.求根公式的推导过程 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定 a， b， c 的值，再算出 b2 4ac 的值、最后代入求根公式求解 3.用判别式判 定一元二次方程根的情况 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 因式分解法 1.会用因式分解法 (提公因式法、公式法 )解某些简单的数字系数的一元二次方程 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性 重点：用因式分解法解一元二次方程 难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想 20 / 47 (2 分钟 ) 将下列各题因式分解： (1)am bm cm (_a b c_)m； (2)a2 b2 _(a b)(a b)_； (3)a22ab b2 _(ab)2_ 一、自学指导 (8 分钟 ) 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 xs 物体离地的高度 (单位： m)为 10x你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？ (精确到 ) 设物体经过 xs 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即 10x 0， 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 ？ 分析：方程 的右边为 0，左边可以因式分解得： x(10 ) 0， 于是得 x 0 或 10 0， x1 _0_， x2 上述解中， x2 表示物体约在时落回地面，而 x1 0 表示物体被上抛离开地面的时刻，即 0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0m. 21 / 47 点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为 0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 (2)如果 ab 0，那么 a 0 或 b 0，这是因式分解法的根据如：如果 (x 1)(x 1) 0，那么 _x 1 0 或 _x 1 0_，即 _x 1_或 _x 1 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (5 分钟 ) 1说出下列方程的根： (1)x(x 8) 0； (2)(3x 1)(2x 5) 0. 解： (1)x1 0， x2 8； (2)x1 13， x2 52. 2用因式分解法解下列方程： (1)x2 4x 0;(2)4x2 49 0； (3)5x2 20x 20 0. 解： (1)x1 0， x2 4;(2)x1 72， x2 72； (3)x1 x2 2. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表 展示活动成果 (8 分钟 ) 1用因式分解法解下列方程： (1)5x2 4x 0； (2)3x(2x 1) 4x 2； 22 / 47 (3)(x 5)2 3x 15. 解： (1)x1 0， x2 45； (2)x1 23， x2 12； (3)x1 5， x2 2. 点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是 0，另一边可以分解因式 2用因式分解法解下列方程： (1)4x2 144 0； (2)(2x 1)2 (3 x)2； (3)5x2 2x 14 x2 2x 34； (4)3x2 12x 12. 解： (1)x1 6， x2 6； (2)x1 43， x2 2； (3)x1 12， x2 12； (4)x1 x2 2. 点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (10 分钟 ) 1用因式分解法解下列方程： (1)x2 x 0;(2)x2 23x 0； (3)3x2 6x 3;(4)4x2 121 0； (5)(x 4)2 (5 2x)2. 23 / 47 解： (1)x1 0， x2 1； (2)x1 0， x2 23； (3)x1 x2 1； (4)x1 112， x2 112； (5)x1 3， x2 1. 点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为 _0_； (2)将方程左边分解成两个一次式的 _乘积 _； (3)令每个因式分别为 _0_，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 2把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径 解：设小圆形场地的半径为 xm. 则可列方程 2x 2 (x 5)2. 解得 x1 5 52， x2 5 52(舍去 ) 答：小圆形场地的半径为 (5 52)m. 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 1用因式分解法解方程的根据由 ab 0 得 a 0 或 b 0，即 “ 二次降为一次 ” 2正确的因式分解是解题的关键 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 一元二次方程的根与系数的关系 24 / 47 1.理解并掌握根与系数的关系： x1 x2 ba， x1x2 ca. 2.会用根的判别式及根与系数的关系解题 重点：一元二次方程 的根与系数的关系及运用 难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用 一、自学指导 (10 分钟 ) 自学 1：完成下表： 方程 x1x2x1 x2x1x2 x2 5x 6 02356 x2 3x 10 02 5 3 10 问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； 答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项 x2 px q 0 的两根 x1， x2 用式子表示你发现的规律 . 答： x1 x2 p， x1x2 q. 自学 2：完成下表： 方程 x1x2x1 x2x1x2 2x2 3x 2 02 12 32 1 25 / 47 3x2 4x 1 013 143 13 问题：上面发现的结论在这里成立吗？ (不成立 ) 请完善规律： 用语言叙述发现的规律； 答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比 ax2 bx c 0 的两根 x1， x2 用式子表示你发现的规律 答： x1 x2 ba， x1x2 ca. 自学 3：利用求根公式推导根与系数的关系 (韦达定理 ) ax2 bx c 0 的两根 x1 _ b b2 4ac2a_， x2 _ b b2 4ac2a_ x1 x2 ba， x1x2 ca. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (5 分钟 ) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积 (1)x2 3x 1 0； (2)2x2 3x 5 0； (3)13x2 2x 0. 解： (1)x1 x2 3， x1x2 1； (2)x1 x2 32， x1x2 52； 26 / 47 (3)x1 x2 6， x1x2 0. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成 果 (10 分钟 ) 1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积 (1)x2 6x 15 0;(2)3x2 7x 9 0； (3)5x 1 4x2. 解： (1)x1 x2 6， x1x2 15； (2)x1 x2 73， x1x2 3； (3)x1 x2 54， x1x2 14. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对 a， b， c. 2已知方程 2x2 kx 9 0 的一个根是 3，求另一根及 k的值 解：另一根为 32， k 3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x 3 代入方程 先求 k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答 3已知 ， 是方程 x2 3x 5 0 的两根，不解方程，求下列代数式的值 (1)1 1 ； (2)2 2 ； (3) . 解： (1) 35； (2)19； (3)29 或 29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台27 / 47 展示并讲解思路 (8 分钟 ) 1不解方程，求下列方程的两根和与两根积： (1)x2 3x 15;(2)5x2 1 4x2； (3)x2 3x 2 10;(4)4x2 144 0. 解： (1)x1 x2 3， x1x2 15； (2)x1 x2 0， x1x2 1； (3)x1 x2 3， x1x2 8； (4)x1 x2 0， x1x2 36. 2两根均为负数的一元二次方程是 ( c ) A 7x2 12x 5 0B 6x2 13x 5 0 c 4x2 21x 5 0D x2 15x 8 0 点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数 学生总结本堂课的收获与困惑 (2 分钟 ) 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数 式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值 1先化成一般形式，再确定 a， b， c. 2当且仅当 b2 4ac0 时，才能应用根与系数的关系 3要注意比的符号： x1 x2 ba(比前面有负号 )， x1x2 ca(比前面没有负号 ) 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 28 / 47 21 3 实际问题与一元二次方程 (1) 1会根据具体问题 (按一定传播速度传播的问题、数字问题等 )中的数量关系列一元二次方程并求解 2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理 3进一步掌握列方 程解应用题的步骤和关键 重点：列一元二次方程解决实际问题 难点：找出实际问题中的等量关系 一、自学指导 (12 分钟 ) 问题 1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析： 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了 _x_人，第一轮后共有 _(x1)_人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 _x_人，第二轮后共有 _(x 1)(x 1)_人患了流感 则列方程： _(x 1)2 121_， 解得 _x 10 或 x 12(舍 )_， 29 / 47 即平均一个人传染了 _10_个人 再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 问题 2：一个两位数，它的两个数字之和为 6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是 1008，求原来的两位数 分析：设原来的两位数的个位数字为 _x_，则十位数字为_(6 x)_，则原两位数为 _10(6 x) x，新两位数为_10x (6 x)_依题意可列方程： 10(6 x) x10x(6 x) 1008_， 解得 x1 _2_， x2 _4_， 原来的两位数为 24 或 42. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (5 分钟 ) 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了 2550 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为 ( ) A x(x 1) 2550 B x(x 1) 2550 c 2x(x 1) 2550 D x(x 1) 25502 分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出 (x 1)张相片，全 班共送出 x(x 1)张相片，30 / 47 可列方程为 x(x 1) 2550.故选 B. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (8 分钟 ) 1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，求每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支，则有 1 x x2 91， 即 x2 x 90 0， 解得 x1 9， x2 10(舍去 )， 故每个支干长出 9 个小分支 点拨精讲：本例与传染问题的区别 2一个两位数，个位上的数字 比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4，设个位数字为 x，则列方程为： _x2 (x 4)2 10(x 4) x 4_ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (7 分钟 ) 1两个正数的差是 2，它们的平方和是 52，则这两个数是( c ) A 2 和 4 B 6 和 8 c 4 和 6 D 8 和 10 2教材 P21 第 2 题、第 3 题 学生总结本堂课的收获与困惑 (3 分钟 ) 31 / 47 1列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)“ 审 ” ：即审题，读懂题意弄清题中 的已知量和未知量； (2)“ 设 ” ：即设 _未知数 _，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“ 列 ” ：即根据题中 _等量 _关系列方程； (4)“ 解 ” ：即求出所列方程的 _根 _； (5)“ 检验 ” ：即验证根是否符合题意； (6)“ 答 ” ：即回答题目中要解决的问题 2.对于数字问题应注意数字的位置 学习至此，请使用本课时对应训练部分 (10 分钟 ) 21 3 实际问题与一元二次方程 (2) 1.会根据具体问题 (增长率、降低率问题和利润率问题 )中的数量关系列一元二次方程并求 解 2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理 3进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键 重点：如何解决增长率与降低率问题 难点：理解增长率与降低率问题的公式 a(1x)n b，其中a 是原有量， x 为增长 (或降低 )率， n 为增长 (或降低 )的次数，b 为增长 (或降低 )后的量 32 / 47 一、自学指导 (10 分钟 ) 自学：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪 种药品成本的年平均下降率较大？ (精确到 ) 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 (5000 3000)2 1000(元 )，乙种药品成本的年平均下降额为 (60003600)2 1200(元 )，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题 分析： 设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为 _5000(1 x)_元，两年后甲种药品成本为 _5000(1 x)2_元 依题意，得 _5000(1 x)2 3000_ 解得 _x1 ， x2_ 根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 _ 设乙种药品成本的年平均下降率为 y.则， 列方程： _6000(1 y)2 3600_ 33 / 47 解得 _y1 ， y2( 舍 )_ 答：两种药品成本的年平均下降率 _相同 _ 点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视 (8 分钟 ) 某商店 10 月份的营业额为 5000 元， 12 月份上升到 7200 元，平均每月增长百分率是多少？ 【分析】如果设平均每月增长的百分率为 x，则 11 月份的营业额为 _5000(1 x)_元， 12 月份的营业额为 _5000(1 x)(1 x)_元，即 _5000(1 x)2_元 由此就可列方程： _5000(1 x)2 7200_ 点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比 增长率增长数 基准数 设基准数为 a，增长率为 x， 则一月 (或一年 )后 产量为 a(1 x)； 二月 (或二年 )后产量为 a(1 x)2； n 月 (或 n 年 )后产量为 a(1 x)n； 如果已知 n 月 (n 年 )后产量为 m，则有下面等式： m a(1x)n. 34 / 47 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (8 分钟 ) 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320 元，求这种存款方式的年利率 (利 息税 20%) 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取1000 元，剩下的本金和利息是 1000 2000x80%；第二次存，本金就变为 1000 2000x80%，其他依此类推 解：设这种存款方式的年利率为 x， 则 1000 2000x80% (1000 2000x80%)x80% 1320， 整理，得 1280x2 800x 1600x 320，即 8x2 15x 2 0， 解得 x1 2(不符，舍去 )， x2 %. 答：所求的年利率是 %. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路 (6 分钟 ) 青山村种的水稻 XX 年平均每公顷产 7200kg， XX 年平均每公顷产 8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率 35 / 47 解：设年平均增长率为 x， 则有 7200(1 x)2 8460， 解得 x1， x2 (舍 ) 即年平均增长率为 8%. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 8%. 点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解 学生总结本堂课的收获与困惑 (3 分钟 ) 1.列一元 二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符合实际意义 2.若平均增长 (降低 )率为 x，增长 (或降低 )前的