九年级数学圆的有关性质总复习

1 / 15 九年级数学圆的有关性质总复习 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 24讲 圆的有关性质 锁定目标考试 考标要求考查角度 1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系 2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论 . 中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用题型以选择题、填空题为主 . 导学必备知识 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1圆的定义 (1)圆是平面内到一定点 的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做 _，定长叫做 _； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径 2圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的 _叫做弦； 2 / 15 (2)圆上任意两点间的 _叫做圆弧，简称弧； (3)_相等的两个圆是等圆； (4)在同圆或等圆中，能够互相 _的弧叫做等弧 3圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性 二、垂径定理及推论 1垂径定理 垂直于弦的直径 _这条弦，并且 _弦所对的两条弧 2推论 1 (1)平分弦 (_)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过 _，并且平分弦所对的 _弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧 3推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧 _ 4 (1)过圆心； (2)平分弦 (不是直径 )； (3)垂直于弦； (4)3 / 15 平分弦所对的优弧； (5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _，所对的弦 _ 2推论 同圆或等圆中： (1)两个圆心角相等； (2)两条弧相等； (3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立 四、圆心角与圆 周角 1定义 顶点在 _上的角叫做圆心角；顶点在 _上，角的两边和圆都 _的角叫做圆周角 2性质 (1)圆心角的度数等于它所对的 _的度数 (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对 _的度数的一半 (3)同弧或等弧所对的圆周角 _，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 _ (4)半圆 (或直径 )所对的圆周角是 _， 90 的圆周角所对的弦是 _ 五、圆内接四边形的性质 4 / 15 圆内接四边形的对 角互补 自主测试 1 (XX重庆 )如图，已知 oA， oB是 o 的两条半径，且 oAoB ，点 c 在 o 上，则 AcB 的度数为 ( ) A 45B 35c 25D 20 2 (XX山东泰安 )如图， AB是 o 的直径，弦 cDAB ，垂足为 m，下列结论不成立的是 ( ) A cm DmB c AcD ADcD om mD 3 (XX 浙江湖州 )如图， ABc 是 o 的内接三角形， Ac 是o 的直径， c 50 ， ABc 的平分线 BD交 o 于点 D，则 BAD 的度数是 ( ) A 45B 85c 90D 95 4 (XX浙江衢州 )工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为_mm. 5 (XX四川成都 )如图， AB是 o 的弦， ocAB 于 c若 AB 23， oc 1，则半径 oB的长为 _ 5 / 15 6 (XX山东青岛 )如图，点 A， B， c 在 o 上， Aoc 60 ，则 ABc 的度数是 _. 探究重难方法 考点一、垂径 定理及推论 【例 1】在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽 AB为 6 分米，如果再注入一些油后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 mN为 ( ) A 6 分米 B 8 分米 c 10分米 D 12分米 分析：如图，油面 AB上升 1分米得到油面 cD，依题意得 AB=6，cD=8，过 o 点作 AB 的垂线，垂足为 E，交 cD 于 F 点，连接oA， oc，由垂径定理，得 AE=12AB=3， cF=12cD=4，设 oE=x，则 oF=x-1，在 RtoAE 中， oA2=AE2+oE2，在 RtocF 中，oc2=cF2+oF2，由 oA=oc，列方程求 x 即可求得半径 oA，得出直径 mN. 解析：如图，依题意得 AB 6， cD 8，过 o 点作 AB的垂线，垂足为 E，交 cD 于 F 点，连接 oA， oc，由垂径定理，得 AE 12AB 3， cF 12cD 4，设 oE x，则 oF x 1， 在 RtoAE 中， oA2 AE2 oE2，在 RtocF 中， oc2 cF26 / 15 oF2， oA oc， 32 x2 42 (x 1)2，解得 x 4. 半径 oA 32 42 5. 直径 mN 2oA 10(分米 ) 故选 c 答案： c 方法总结有关弦长、 弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的 触类旁通 1 如图所示，若 o 的半径为 13cm，点 P 是弦 AB上一动点，且到圆心的最短距离为 5cm，则弦 AB 的长为_cm. 考点二、圆心 (周 )角、弧、弦之间的关系 【例 2】如图，已知 A， B， c， D 是 o 上的四个点， AB Bc，BD交 Ac于点 E，连接 cD， AD (1)求证： DB平分 ADc ； (2)若 BE 3， ED 6，求 AB的长 解： (1)证明： AB Bc， .ADB BD c， DB 平分 ADc (2)由 (1)知， BAE ADB ABE ABD ， ABEDBA ABBE BDAB. BE 3， ED 6， BD 9. AB2 BEBD 39 27.AB 33. 7 / 15 方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用 触类旁通 2 如图， AB是 o 的直径， c， D 两点在 o 上，若c=40 ，则 ABD 的度数为 ( ) A 40B 50c 80D 90 考点三、圆周角定理及推论 【例 3】如图，若 AB 是 o 的直径， cD 是 o 的弦， ABD 58 ，则 BcD ( ) A 116B 32c 58D 64 解析：根据圆周角定理求得， AoD 2ABD 116( 同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半 )， BoD 2BcD( 同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半 )；根据平角是 180知 BoD 180 AoD 还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于 90 ，可得 ADB 90 ，则 DAB 90 ABD 32 ， DAB DcB ， DcB 32. 答案： B 方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系 触类旁通 3 如图，点 A， B， c， D 都在 o 上，的度数等于8 / 15 84 ， cA是 ocD 的平分线，则 ABD cAo _. 品鉴经典考题 1 (XX湖南湘潭 )如图，在 o 中，弦 ABcD ，若 ABc 40 ，则 BoD ( ) A 20B 40c 50D 80 2 (XX湖南益阳 )如图，点 A， B， c 在圆 o 上， A 60 ，则 Boc _. 3 (XX湖南娄底 )如图， o 的直径 cD垂直于 AB， Aoc 48 ，则 BDc _. 4.(XX 湖南长沙 )如图，点 A， P， B， c 是半径为 8 的 o 上的四点，且满足 BAc APc 60. (1)求证： ABc 是等边三角形； (2)求圆心 o 到 Bc的距离 oD 5.(XX 湖南怀化 )如图，已知 AB 是 o 的弦， oB 4， oBc 30 ，点 c 是弦 AB上任意一点 (不与 A， B 重合 )，连接 co并延长 co交 o 于点 D，连接 AD， DB 9 / 15 (1)当 ADc 18 时，求 DoB 的度数； (2)若 Ac 23，求证： AcDocB 研习预测试题 1.如图， AB是 o 的直径，弦 cDAB ，垂足为 E，如果AB=10， cD=8，那么线段 oE的长为 ( ) A 5B 4c 3D 2 2.如图，直径为 10 的 A 经过点 c(0,5)和点 o(0,0)， B 是y 轴右侧 A 优弧上一点，则 oBc 的余弦值为 ( ) A 12B 34c 32D 45 3.一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径oB=10，截面圆 圆心 o 到水面的距离 oc是 6，则水面宽 AB是( ) A 16 B 10c 8D 6 4如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 oA， oB 在 o 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 o 点靠在圆周上，读得刻度 oE 8 个单位， oF6 个单位，则圆的直径为 ( ) A 12个单位 B 10个单位 c 4 个单位 D 15 个单位 10 / 15 5如图，已知在圆内接四边形 ABcD 中， B 30 ，则 D _. 6如图，过 A， c， D 三点的圆的圆心为 E，过 B， F， E 三点的 圆的圆心为 D，如果 A 63 ，那么 DBE _. 7如图， ABc 是 o 的内接三角形， ADBc 于 D 点，且Ac 5， Dc 3， AB 42，则 o 的直径等于 _ 8.如图，在圆内接四边形 ABcD 中， cD 为 BcA 外角的平分线， F 为弧 AD 上一点， Bc=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于点 E.求证： (1)ABD 为等腰三角形； (2)AcAF=DFFE. 参考答案 【知识梳理】 一、 1.(1)圆心 半径 2 (1)线段 (2)部分 (3)半径 (4)重合 二、 1.平分 平分 2 (1)不是直径 (2)圆心 两条 3相等 11 / 15 三、 1.相等 相等 四、 1.圆心 圆 相交 2 (1)弧 (2)圆心角 (3)相等 相等 (4)直角 直径 导学必备知识 自主测试 1 A oAoB ， AoB 90 ， AcB 45. 故选 A. 2 D AB 是 o 的直径，弦 cDAB ，垂足为 m， m 为 cD的中点，即 cm Dm，选项 A 成立； B 为的中点，即 cB DB，选项 B 成立； 在 Acm 和 ADm 中， Am Am， Amc AmD 90 ， cm Dm， AcmADm(SAS) ， AcD ADc ，选项 c 成立； 而 om与 mD不一定相等，选项 D 不成立 故选 D. 3 B Ac 是 o 的直径， ABc 90.ABc 的平分线 BD交 o 于点 D， ABD 45.c 50 ， D 50 ， BAD 的度数是 180 45 50 85. 4 8 如图所示，在 o 中，连接 oA，过点 o 作 oDAB 于点 D，则 AB 2AD. 12 / 15 钢珠的直径是 10mm， 钢珠的半径是 5mm. 钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm， oD 3mm. 在 RtAoD 中， AD oA2 oD2 52 32 4(mm) AB 2AD 24 8(mm) 故答案为 8. 5 2 AB 是 o 的弦， ocAB 于 c， AB 23， Bc 12AB 3.oc 1， 在 RtoBc 中， oB oc2 Bc2 12 (3)2 2. 故答案为 2. 6 150 因为 Aoc 60 ，则它所对的弧度为 60 ，所以ABc 所对的弧度为 300. 因为 ABc 是圆周角，所以 ABc 150. 探究考点方法 触类旁通 连接 oA，当 oPAB 时， oP最短，此时 oP 5cm，且 AB 2AP.在 RtAoP 中， AP oA2 oP2 132 52 12，所以 AB 24cm. 触类旁通 由题意，得 A c 40 ，由直径所对的圆周角是直角，得 ADB 90 ，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得 A ABD 90 ，从而得 ABD 13 / 15 50. 触类旁通 因为的度数等于 84 ，所以 coD 84. 因为 oc oD，所以 ocD 48. 因为 cA 是 ocD 的平分线，所以 AcD Aco 24 ，因为 oA oc，所以 oAc Aco 24 ，因为 ABD AcD 24 ，所以 ABD cAo 48. 品鉴经典考题 1 D ABcD ， c ABc 40. BoD 2c 240 80. 2 120 Boc 2A 260 120. 3 24 连接 oB， cDAB ， Boc Aoc 48. BDc 12Boc 1248 24. 4 (1)证明： ABc APc ， BAc APc 60 ， ABc BAc 60 . ABc 是等边三角形 (2)解：如图，连接 oB，则 oB 8， oBD 30. 又 oDBc 于点 D， oD 12oB 4. 5.(1)解：连接 oA. ADc=18 ， Aoc=2ADc=36. 14