九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案

1 / 5 九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 【例题求解】 【例 1】设、都为实数，满足，求证： 思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试仔细观察已知等式特点，、可看作方程的两根，则，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻 注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学 应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的 “ 框架 ” 含义更为广泛，如方程、函数、图形、 “ 抽屉 ” 等 【例 2】求代数式的最小值 思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值 ，于是问题转化为：在轴上求一点 c(1， 0)，使它到两点 A(一1， 1)和 B(2， 3)的距离和 (cA+cB)最小，利用对称性可求出c 点坐标这样，通过构造图形而使问题获解 【例 3】已知、为整数，方程的两根都大于且小于 0，2 / 5 求和的值 思路点拨利用求根公式，解不等式组求出、的范围，这是解本例的基本思路，解法繁 难由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令，从讨论抛物线与轴交点在与0 之间所满足的约束条件入手 【例 4】如图，在矩形 ABcD 中， AD=， AB=，问：能否在 Ab边上找一点 E，使 E 点与 c、 D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形 ?若能找到，这样的 E 点有几个 ?若不能找到，请说明理由 思 路 点 拨 假 设 在 AB 边 上 存 在 点 E ，使RtADERtBEcRtEcD ，又设 AE=，则，即，于是将问题转化为关于的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题 【例 5】试证：世界上任何 6 个人，总有 3 人彼此认识或者彼此不认识 思路点拨构造图形解题，我们把 “ 人 ” 看作 “ 点 ” ，把 2 个人之间的关系看作染成颜色的线段比如 2 个人彼此认识就把连接 2 个人的对应点的线段染成红色； 2 个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有 3 个人彼此认识就是存3 / 5 在一个 3 边都是红色的三角形，否则就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形，这样本题就化作： 已知有 6 个点，任何 3 点不共线，每 2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种 颜色证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形 注： “ 数缺形时少直观，形缺少时难入微 ” 数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在： (1)几何问题代数化； (2)利用图形图表解代数问题； (3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解 利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程 (组 )，再进行计算或证明 特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性 有些 问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握 对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的 “ 构造性证明 ” 学历训练 1若关于的方程的所有根都是比 1 小的正实数，则实数的4 / 5 取值范围是 2已知、是四个不同的有理数，且，那么的值是 3代数式的最小值为 4 A、 B、 c、 D、 E、 F 六个足球队单循环赛，已知 A、 B、 c、D、 E 五个队已经分别比赛了 5、 4、 3、 2、 1 场，则还未与 B队比赛的球队是 5若实数、满足，且，则的取值 范围是 6设实数分别、分别满足，并且，求的值 7已知实数、满足，求证： 8写出 10 个不同的自然数，使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数，并说明写出的 10 个自然数符合题设条件的理由 9求所有的实数，使得 10若是不全为零且绝对值都小于 106的整数求证： 11已知关于的方程有四个不同的实根，求的取值范围 12设 0，