九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座

1 / 7 九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 注：设 RtABc 的各边长分别为 a、 b、 c(斜边 )，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)； (2) 请读者给出证 【例题求解】 【例 1】如图，在 RtABc 中， c=90 ， Bc=5， o 与RtABc 的三边 AB、 Bc、 Ac 分相切于点 D、 E、 F，若 o 的半径 r 2，则 RtABc 的周长为 思路点拨 AF=AD， BE=BD，连 oE、 oF，则 oEcF为正方形，只需求出 AF(或 AD)即可 【例 2】如图，以定线段 AB为直径作半圆 o， P 为半圆上任意一点 (异于 A、 B)，过点 P 作半圆 o 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、 c， Ac、 BD 相交于 N 点，连结 oN， NP，下列结论： 四边形 ANPD是梯形； oN=NP ： DPPc2 / 7 为定值； FA 为 NPD 的平分线，其中一定成立的是 () A B c D 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出 、基本图形识别、等线段代换，推导出 NPADBc 是解本例的关键 【例 3】如图，已知 AcP=cDE=90 ，点 B 在 cE上，cA=cB=cD，过 A、 c、 D 三点的圆交 AB于 F，求证： F 为 cDE的内心 (全国初中数学联赛试题 ) 思路点拨连 cF、 DF，即需证 F 为 cDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明 【例 4】如图，在直角梯形 ABcD中， ADBc ， ABBc ，AB=Bc=1，以 AB 为直径作半圆 o 切 cD 于 E，连结 oE，并延长交 AD的延长线于 F (1)问 BoZ 能否为 120 ，并简要说明理由； (2)证明 AoFEDF ，且； (3)求 DF的长 思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线 (1)若BoZ=120 ，看能否推出矛盾； (2)把计算与推理融合； (3)把相应线段用 DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于 DF3 / 7 的一元二次方程 注：如图，在直角梯形 ABcD中，若 AD+Bc=cD，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边 AB为直径的圆与边 cD相切； (2)以边 cD为直径的圆与边 AB相切 类似地，三角形三条 中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用 【例 5】如图，已知 RtABc 中， cD是斜边 AB 上的高， o、o1、 o2分别是 ABc ； AcD 、 BcD 的角平分线的交点，求证： (1)o1oco2 ； (2)oc=o1o2 (武汉市选拔赛试题 ) 思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90 的方法得两线垂直，又 利用全等三角形证明两线段相等 学力训练 1如图，已知圆外切等腰梯形 ABcD的中位线 EF=15cm，那么等腰梯形 ABcD的周长等于 =cm 4 / 7 2如图，在直角，坐标系中 A、 B 的坐标分别为 (3， 0)、 (0，4)，则 RtABo 内心的坐标是 3如图，梯形 ABcD 中， ADBc ， DcBc ， AB=8， Bc=5，若以 AB 为直径的 o 与 Dc 相切于 E，则 Dc= (云南省曲靖市中考题 ) 4如图， o 为 ABc 的内切圆， c=90 ， Ao 的延长线交 Bc于点 D， Ac=4， cD=1，则 o 的半径等于 () A B c D (重庆市中考题 ) 5如图，在梯形 ABcD 中， ADBc ， BcD=90 ，以 cD 为直径的半圆 o 切 AB于点 E，这个梯形的面积为 21cm2，周长为 20cm，那么半圆 o 的半径为 () A 3cmB 7cmc 3cm或 7cmD 2cm 6如图， ABc 中，内切圆 o 和边 B、 cA、 AB 分别相切于点 D、 EF，则以下四个结论中，错误的结论是 () A点 o 是 DEF 的外心 B AFE=(B+c) c Boc=90+AD DFE=90 一 B 7如图， Bc 是 o 的直径， AB、 AD 是 o 的切线，切点分别为 B、 P，过 c 点的切线与 AD交于点 D，连结 Ao、 Do (1)求证： ABoocD ； 5 / 7 (2)若 AB、 cD 是关于 x 的方程的两个实数根，且SABo+SocD=20 ，求 m 的值 8如图，已知 AB是 o 的直径， Bc是 o 的切线， oc与 o相交于点 D，连结 AD并延长， Bc相交于点 E (1)若 Bc=， cD=1，求 o 的半径； (2)取 BE的中点 F，连结 DF，求证： DF是 o 的切线； (3)过 D 点作 DGBc 于 G， oG 与 DG 相交于点 m，求证： Dm Gm 9如图，在直角梯形 ABcD中， ADBc ， B=90 ， AD=13cm，Bc=16cm， cD=5cm， AB为 o 的直径，动点 P 沿 AD 方向从点A 开始向点 D 以 1cm秒的速度运动，动点 Q 沿 cB 方向从点c 开始向点 B 以 2cm秒的速度运动，点 P、 Q 分别从 A、 c两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动 (1)求 o 的直径； (2)求四边形 PQcD 的面积 y 关于 P、 Q 运动时间 t 的函数关系式，并求当四边形 PQcD为等腰梯形时，四边形 PQcP的面积； (3)是否存在某时 刻 t，使直线 PQ 与 o 相切，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 (2002年烟台市中考题 ) 10已知在 ABc 中， c=90 ， Ac=4， Bc=3， cD 为 AB 上6 / 7 的高， ol、 o2分别为 AcD 、 BcD 的内心，则 olo2= 11如图，在 ABc 中， c=90 ， A 和 B 的平分线相交于 P点，又 PEAB 于点 E，若 Bc=2， Ac=3，则 AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 () A内心 B外心 c圆心 D重心 13如图 ， AD是 ABc 的角平分线， o 过点 AB和 Bc相切于点 P，和 AB、 Ac 分别交于点 E， F，若 BD=AE，且 BE=a，cF=b，则 AF的长为 () A B c D 14如图，在矩形 ABcD 中，连结 Ac，如果 o 为 ABc 的内心，过 o 作 oEAD 于 E，作 oFcD 于 F，则矩形 oFDE的面积与矩形 ABcD的面积的比值为 () A B c D不能确定 (学习报公开赛试题 ) 15如图， AB是半圆的直径， Ac 为半圆的切线， Ac=AB在半圆上任取一点 D，作 DEcD ，交直线 AB于点 F， BFAB ，交线 段 AD的延长线于点 F (1)设 AD 是 x 的弧，并要使点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是； (2)不论 D 点取在半圆什么位置，图中除 AB=Ac 外，还有两7 / 7 条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明 16如图， ABc 的三边满足关系 Bc=(AB+Ac)， o、 I 分别为 ABc 的外心、内心， BAc 的外角平分线交 o 于 E， AI的延长线交 o 于 D， DE交 Bc 于 H 求证： (1)AI=BD； (2)oI=AE 17如图，已知 AB 是 o 的直径， Bc 是 o 的切线，oc 平行于弦 AD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连结 Ac，与 DE交于点 F，问 EP 与 PD是否相等 ?证明你的结论 18如图，已知点 P 在半径为 6，圆心角为 90 的扇形oAB 的 AB(不含