2019年中考数学复习第六章空间与图形6.2图形的相似（讲解部分）素材.pdf

第六章 空间与图形 . 图形的相似 考点清单 考点一 相似的性质与判定 .在同一单位长度下 两条线段的长度之比 叫做两条线 段的比. .在四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比那么这四条线段叫成比例线段简称比例线段. .若 或 则 叫做 的 比例中项 . .比例的基本性质: () . .合比性质: . .等比性质: ( ) . .若线段 上的一点 把线段 分成 两部分( )并且使 则这种分割叫做黄金分割. .如果两个三角形的角对应 相等 边对应 成比例 那么这两个三角形叫做相似三角形. .相似三角形的判定 ()相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似 ()相似三角形的判定定理 :两边对应成比例且 夹角 相等 的两个三角形相似 ()相似三角形的判定定理 :三边对应成比例的两个三角 形相似 ()直角三角形相似的判定定理:若一个直角三角形的斜边 和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例那么这两个直角三角形相似. .相似三角形的性质:() 对应角相等 ()对应边成比例 () 周长之比等于相似比 ()面积之比等于相似比的平方. 考点二 图形的位似 .如果两个图形相似并且它们的对应点所在直线交于一 点那么这两个图形叫位似图形.这一点叫 位似中心 对应边 的比叫位似比位似比等于 相似比 . .()位似图形对应点连线交于一点对应点到位似中心的 距离之比等于位似比 ()位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上) 且比 相等. 易混清单 .黄金分割 点 为线段 上一点若 则点 为 线段 的黄金分割点 一条线段有 两个黄金分割点. .相似三角形的基本图形 类型常见图形结论 “”型及 其变形 “”型及 其变形 “”型及 其变形 例 在 中 是 上 的 动 点 ( 异 于 、 ) 过点 的 直 线 截 使 截 得 的 三 角 形 与 相 似我们 不 妨 称 这 种 直 线 为 过点 的 的相似线 简记为( ) ( 为自然数) . ()如图 当 时()、 ()都是 过点 的 的相似线(其中 )此 外还有 条 ()如图 当 时() 截得的三角形面积为 面积的 . 解析 ()满足条件的相似线还有一条即过点 平行于 的直线. ()()当点 为线段 的中点 ()且相似线垂直 于点 时截得的三角形面积为 面积的 当点 为线段 的中点 ()且相似线垂直 于点 时 截得的三角形的面积为 面积的 年中考 年模拟 ()过点 作 的垂线与 相交于点 此时 则当 时满足条件又 所以 ()过点 作 的垂线与 相交于点 此时 则当 时满足条件又 所以 则 . 答案 () () 或 或 错因透视 分类讨论型题目是近几年常见的考题.对题目中 给出的条件不能确定其结论的唯一性时要对可能存在的情况 进行分类讨论. 方法一 判定两个三角形相似的基本策略 判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 基 本 策 略 两边对应成比例找夹角相等 一对等角 再找一对等角 再找夹边成比例 平行线利用相似三角形的预备定理 一对直角 再找一对等角 利用斜边、直角边对应成比例 等腰关系 找顶角相等 找底角相等 找底边和腰对应成比例 例 ( 四川泸州 分)如图矩形 的边长 为 的中点 在边 上且 分 别与 、 相交于点 则 的长为( ) . . . . 思路分析 过 作 于 交 于 根据勾股 定理求得 的长根据平行线分线段成比例定理、相似三角形 的性质求得 、 的长即可得到结论. 解析 过 作 于 交 于 则 . . 故选 . 答案 变式训练 ( 黑龙江龙东 分)已知:在平行四边 形 中点 在直线 上 连接 交 于点 则 的值是 . 答案 或 思路分析 分两种情况:当点 在线段 上时由四 边形 是平行四边形可证得求出 可得 的值当点 在线段 的延长线上时 同理求出 可得 的值. 解析 当点 在线段 上时如图 所示. 图 第六章 空间与图形 四边形 是平行四边形 . . . . 当点 在线段 的延长线上如图 所示. 图 同得 . . . 综上所述 的值是 或 . 方法二 类比探究型题中相似的应用方法 类比探究型题目设问多以探究线段的数量关系和比值关系 为主偶尔探究角的变化以及数量关系.此类问题一般利用相似 三角形的性质求解.充分运用相似三角形的模型判定相似根据 相似的性质求线段间的比值. 例 ( 山东东营 分)如图 是等腰直 角三角形四边形 是正方形点 、 分别在边 、 上此时 成立. ()当 绕点 逆时针旋转 ()时如图 成立吗? 若成立请证明若不成立请说明理由 ()当 绕点 逆时针旋转 时如图 延长 交 于点 . 求证: 当 时求线段 的长. 图 图 图 思路分析 ()根据旋转的性质证明可 得 成立 ()由()得利用 与 的等 角及三角形内角和得到 从而得到垂直连接 延长 交 于 分别求出 、 的长利用 求解. 解析 () 成立.( 分) 证明: .( 分) ()证明:由()得 在 与 中 即 .( 分) 如图连接 延长 到 与 交于点 在 中 .( 分) 在 与 中 . . ( 分) 四边形 是正方形 ( 分) ( 分) .( 分) 变式训练 ( 山东烟台 分)【探究证明】 ()某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段 与矩形两邻边的数量关系进行探究提出下列问题请你给出 证明 如图 矩形 中 分别交 于点 分别交 于点 .求证: 【结论应用】 ()如图 在满足()的条件下又 点 分别 在边 上若 则 的值为 . 【联系拓展】 ()如图 四边形 中 点 分别在边 上求 的值. 解析 ()证明:作 垂足分别为 ( 分) 四边形 是矩形 四边形 是矩形 .( 分) 同理可证:. 又 年中考 年模拟 .( 分) . . ( 分) () . ( 分) 解法提示:由()的结论可得 . ()解法一:过 作 的平行线交 的延长线于 作 交直线