二次函数性质的再研究

1 / 9 二次函数性质的再研究 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 二次函数性质的再研究 一、内容与解析 （一）内容：二次函数性质的再研究。 （二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题 .特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题 . 二、目标及其解析： （一）教学目标 （ 1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解 析式的求法和二次函数的应用； （二）解析 （ 1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。 三、问题诊断分析 研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的 .因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯2 / 9 错的。 四、教学支持条件分析 在本节课一次递推的教学中，准备使用 PowerPointXX。因为使用 PowerPointXX，有利于提供准确 、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。 五、教学过程 （一）研探新知： （ 1） 1.二次函数的性质 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 单调区间单调递减区间 调递增区间单调递增区间 单调递减区间 最值当 ,取得最小值为 当 ,取得最大值为 3 / 9 2二次函数性质的应用 如何确定二次函数的性质 如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值 3.二次函数的三种解析 式 顶点式： y=a(x-h)2+k(a0), 其中点 (h,k)为顶点 ,对称轴为 x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式 . 交点式： y=a(x-x1)(x-x2)(a0), 其中 x1,x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标 .如果已知二次函数与 x 轴的交点坐标，则可设成这种形式 . 一般式： y=ax2+bx+c(a0), 若已知二次函数上任意 3 点坐标，可设为这种形式 . （二）类型题探究 题型一二次函数的最值与解析式问题 例 1 已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式 解析：由，知图像关于 对称，结合图像知， 当，即时，； 而当，即时，； 当，即时， 4 / 9 当，即时，； 当，即时， 题型二二次函数的实际应用问题 例 2某租赁公司拥有汽车 100辆 .当每辆车的月租金为 3000元时，可全部租出 .当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车将会增加一辆 .租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 .（ 1）当每辆车的月租金定为 3600元时，能租出多少辆车？（ 2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：（ 1）当每辆车 的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了 88辆车； （ 2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为： ， 整理得：， 所以，当时，取最大值，其最大值为， 即当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050 元 . 设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。 5 / 9 (三）小结： 六、目标检测 一、选择题 1.二次函数 y ax2 bx c 满足 f（ 4） f（ 1），那么（ ） （ 2） f（ 3）（ 2） f（ 3） （ 2） f（ 3）（ 2）与 f（ 3）的大小关系不能确定 解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案 2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，则 a 的范围是（） 解析：方程 4 4a0，设两根为，则 异号， ,结合两个不等式可得解 . 3.函数是单调函数，则（ ） 3解析：函数的对称轴， 函数）是单调函数， 4.二次函数，若，则等于（） 4.解析：二次函数对称轴，顶点坐标 ,所以 = 二、填空题 5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营 .据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x（ xZ ）为二次6 / 9 函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过 _年 . 解析：首先根据条件求出 y（ x 6） 2 11，本题要求的 “ 客车有营运利润的时间 ” 实际上是求图像与 x轴两个交点的横坐标之差 6.若函数 f（ x） =x2+2（ a 1） x+2 在区间（ ， 4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 _ 3 解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题 ,已知函数二次项系数为 10,所以在对 称轴的左侧该函数为减函数 .该函数对称轴为 ,所给区间都在对称轴的左侧 ,即 a 3 三、解答题 7 (1)求函数（ xN ）的最小值 . (2)在区间上 ,求函数的最大值与最小值 . (3)在区间上 ,求函数的最大值与最小值 . 7.解析： (1)因为 ,又因为 N, 所以当 =1 或 =2 时函数值都等于 9 且最小 . (2)该函数的对称轴为 x=,所给区间在对称轴的同侧 ,都在右侧 ,又二次项系数为 10,所以在上该函数为增函数 ,所以当 =2 时 ,函数值最小 ,最小值为 -9,当 =3 时函数有最大值 ,最大值为 -7 (3)所给区间在 对称轴的异侧 ,所以在对称轴的时候对应的7 / 9 函数值最小 ,最小值为 ,当时 ,当时 ,所以该函数的最大值为 . 8.已知二次函数当 x=4 时有最小值 3，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6，求这个二次函数的解析式 . 8.解析：解法一：设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c（ a0 ），由条件，可得抛物线的顶点为（ 4， 3），且过（ 1， 0）与（ 7， 0）两点，将三个点的坐标代入，得解得 所求二次函数解析式为 y=x2 x+. 解法二： 抛物线与 x 轴的两个交点坐标是（ 1， 0）与（ 7，0）， 设二次函数的解析式为 y=a（ x 1）（ x 7），把顶点（ 4， 3）代入，得 3=a（ 4 1）（ 4 7），解得 a=. 二次函数解析式为 y=（ x 1）（ x 7），即 y=x2 x+. 解法三： 抛物线的顶点为（ 4， 3），且过点（ 1， 0）， 设二次函数解析式为 y=a（ x 4） 2 3. 将（ 1， 0）代入，得 0=a（ 1 4） 2 3，解得 a=. 二次函数解析式为 y=（ x 4） 2 3，即 y=x2 x+. 高考能力演练 9.若函数 f（ x） =x2+ax+b 与 x 轴的交点为（ 1， 0）和（ 3，0），则函数 f（ x）的单调性 A.在（ ， 2上减少，在 2， + ）上增加 B.在（ ， 3）上增加 8 / 9 c.在 1， 3上增加 D.不能确定 解析：由已知可得该函数的对称轴为 ,又二次项系数为10,所以在（ ， 2上为单调递减函数，在 2， + ）上为单调递增函数 . 10已知函数 ,且对任意的实数都有成立 (1)求实数的值 ;(2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性 . 10.解析： (1),所以该函数的对称轴为 , 根据函数解析式可知 ,所以 . (2)由 (1)可知 ,在上该函数为增函数 ,下面就用定义去证明 : 设 ,则 , 即 ,故函数在区间上的增函数 11.已知函数 f（ x） =x2 2ax+a2+1， x 0， 1，若 g（ a）为 f（ x）的