2018-2019学年高二数学12月月考试卷 理(含解析).doc

2018-2019学年高二数学12月月考试卷 理(含解析)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的）1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得a=2，a=1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系【此处有视频，请去附件查看】2.双曲线x2m2+12y24m2=1的焦距是（）A. 4 B. 22 C. 8 D. 42【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程可先根据公式c2a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c.【详解】由题意可得，c2a2+b2m2+12+4m216c4 焦距2c8故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，解题的关键熟练掌握基本结论：c2a2+b2，属于基础试题3.以双曲线x24y212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. x216+y212=1 B. x212+y216=1C. x216+y24=1 D. x24+y216=1【答案】D【解析】试题分析：由x24y212=1知y212x24=1，所以a2=12,b2=4，c2=a2+b2=16，双曲线焦点为(0,4)，顶点为（0，23)，因此椭圆的顶点是(0,4)，焦点是（0，23)，所以a=4,c=23，b2=4，椭圆的标准方程为x212+y216=1，故选B考点：1双曲线的简单几何性质；2椭圆的的标准方程【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的标准方程，属于中档题解决问题时首先分析出双曲线的焦点坐标、顶点坐标，然后得到椭圆的的焦点和顶点，写出长半轴和半焦距的长，再根据椭圆的简单几何性质求出椭圆的半长轴的长，利用焦点坐标分析出椭圆的方程形式，写出所求椭圆4.已知向量a=0,2,1,b=1,1,2，则与b的夹角为（）A. 0 B. 45 C. 90 D. 180【答案】C【解析】【分析】根据两个向量的数量积的定义求出两个向量数量积的值，从而求得a与b的夹角【详解】ab=（0，2，1）（1，1，2）0（1）+21+1（2）0，ab，a与b的夹角：2，故选：C【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，向量垂直的充要条件，属于中档题5.已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P=a3+a92，Q=a5a7，则P与Q的大小关系是（ ）A. PQ B. Pa3a9=Q=a5a7,故选A6.若变量x，y满足约束条件2x+y20x2y+40x10，则目标函数z=3x2y的最小值为（ ）A. -5 B. -4C. -2 D. 3【答案】B【解析】试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y=32x+12z，直线系在可行域内的两个临界点分别为和，当直线过点时，z=3x2y=22=4，当直线过点时，z=3x2y=31=3，即的取值范围为，所以的最小值为.故本题正确答案为B.考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.7.若命题“x0R，使x02+a1x0+10”是假命题，则实数的取值范围为（）A. 1a3 B. 1a3 C. 3a3 D. 1a1【答案】B【解析】【分析】由命题“x0R，使x02+a-1x0+10”是假命题，知xR，使x2+（a1）x+10，由此能求出实数a的取值范围【详解】命题“x0R，使x02+a-1x0+10”是假命题，xR，使x2+（a1）x+10，（a1）240，1a3故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“x0R，使x02+a-1x0+10,b0)，如图所示，|AB|=|BM|，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|=a，|MN|=3a，故点M的坐标为M(2a,3a)，代入双曲线方程得a2=b2=a2c2，即c2=2a2，所以e=2，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质【此处有视频，请去附件查看】12.已知双曲线x2y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为，若双曲线上一点P使sinPF2F1sinPF1F2 =e，则F2PF2F1的值为（ ）A. 3 B. 2 C. 3 D. 2【答案】B【解析】试题分析：双曲线x2y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，可得|F2F1|=2c=4，在PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F3sinPF1F2=|PF1|PF2|=e=2，又|PF1|PF2|=2,结合这两个条件得|PF1|=4,|PF2|=2，由余弦定理可得cosF2F1,F2P=14F2F1F2P=4214=2,故选B.考点：1、双曲线的定义；2、正弦定理、余弦定理及平面向量数量积公式.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案写在答题纸指定位置上） 13.若命题p:一元一次不等式ax+b0的解集为x|xba，命题q:关于x的不等式xaxb0的解集为x|axb，则“pq”“pq”及“p”中真命题是_【答案】p【解析】【分析】命题p中不确定a的正负性，所以命题p是假命题；命题q中不知a、b的大小关系，所以命题q是假命题然后按照复合命题的真假表判断即可【详解】因为命题p是假命题，命题q是假命题所以命题“pq”是假命题，命题“pq”是假命题，命题“p”是真命题故只有“p”是真命题故答案为：p【点睛】本题主要考查复合命题的真假情况；同时也考查了一元一次不等式及一元二次不等式的解法，属于基础题14.已知O是空间任一点，A,B,C,D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA=2xBO+3yCO+4zDO，则2x+3y+4z=_.【答案】-1【解析】【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论【详解】OA=2xBO+3yCO+4zDO，OA=-2xOB-3yOC-4zOD，O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面2x3y4z12x+3y+4z1故答案为：1【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题15.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则F1PF2的大小为_.【答案】23【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a,b的值，由椭圆的几何性质可得的值，由椭圆的定义，得PF2=2aPF1=2，在PF1F2中利用余弦定理，即可求解.【详解】根据题意，椭圆的标准方程x29+y22=1，可得a=3,b=2，则c=92=7，则有F1F2=27,由椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a=6，又由PF1=4，则PF2=6PF1=2，则cosF1PF2=42+22(27)2242=12.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆的定义，三角形的余弦定理等知识点的综合应用，同时利用椭圆的定义求出PF2的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是_.【答案】【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的线面位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论【详解】作出如图的图象，其中ABDC90，E是BD的中点，可以证明出AED90即为此直二面角的平面角对于命题，由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的故答案为：【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法综合性较强，对空间立体感要求较高三、解答题（本大题共6个小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知p: “直线x+ym=0与圆x12+y2=1相交”；q: “mx2x+m4=0有一正根和一负根”，若pq为真， p为真，求m的取值范围【答案】2+1,4)【解析】【分析】先求出命题p，q的等价条件，然后利用若pq为真，非p为真，求实数m的取值范围【详解】直线x+ym0与圆（x1）2+y21相交，则|1+0-m|21，1-2m1+2，即p：1-2m1+2mx2x+m40有一正根和一负根，设f（x）mx2x+m4，若m0，则满足f（0）0，即m0m-40，解得0m4若m0，则满足f（0）0，即m0m-40，此时无解综上0m4即q：0m4又pq为真，非p为真，p假，q真，即m1+2或m1-20m4，即1+2m4m1+2，4）【点睛】本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1) 若sinA+6=2cosA，求A的值；(2) 若cosA=13,b=3c，求sinC的值【答案】（1）60； （2）13.【解析】分析：（1）利用二倍角公式求得cos2A+3的值，进而利用诱导公式求得sin2A+6的值；（2）先利用余弦定理求得和的关系，进而根据cosA求得sinA，最后利用正弦定理求得sinC的值.详解：（1）若sinA+6=2cosA，即sinA32+cosA12=2cosA，变形可得sinA32=32cosA，即sinA=3cosA，则tanA=3，则A=3,A=60.(2)cosA=b2+c2a22bc=10c2a26c2=13,8c2=a2,a=22c,由正弦定理可得22sinC=sinA=1cos2A=223,sinC=13.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及两角和与差的正弦公式，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c22bccosA；（2）cosA=b2+c2a22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19.在数列an中，Sn+1=4an+2,a1=1.（1）设cn=an2n，求证：数列cn是等差数列；（2）求数列an的通项公式及前n项和的公式.【答案】（1）证明见解析；（2）an=(3n1)2n2，Sn=2+(3n4)2n1.【解析】【分析】（1）由Sn+1=4an+2得到当n2，nN*时，Sn=4an-1+2，作差可得an+1=4an-4an-1，对an+1=4an-4an-1两边同除以2n+1，即可证明；（2）由（1）可知数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，所以an=(3n-1)2n-2，利用错位相减法即可得到前n项和的公式.【详解】（1）证明 Sn+1=4an+2，当n2，nN*时，Sn=4an-1+2.-得an+1=4an-4an-1.对an+1=4an-4an-1两边同除以2n+1，得an+12n+1=2an2n-an-12n-1，即an+12n+1+an-12n-1=2an2n，即cn+1+cn-1=2cn.数列cn是等差数列.由Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，则a2=3a1+2=5，c1=a12=12，c2=a222=54，故公差d=54-12=34，cn是以12为首项，34为公差的等差数列.（2） 由（1）可知数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，an2n=12+(n-1)34=34n-14，an=(3n-1)2n-2是数列an的通项公式.设Sn=(3-1)2-1+(32-1)20+.+(3n-1)2n-2，则2Sn=(3-1)20+(32-1)21+.+(3n-1)2n-1，Sn=2Sn-Sn=-(3-1)2-1-3(20+21+.+2n-2)+(3n-1)2n-1，=-1-32n-1-12-1+(3n-1)2n-1，=-1+3+(3n-4)2n-1，=2+(3n-4)2n-1.数列an的通项公式为an=(3n-1)2n-2，前n项和公式为Sn=2+(3n-4)2n-1，nN*.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点（1）求证：D1EA1D；（2）求证：BD1/平面A1DE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，求出D1E，A1D的坐标，利用数量积为零即可证明；（2）求出平面A1DE的法向量n1及向量BD1的坐标，利用BD1n1=0，即可证明.【详解】（1）证明 由题意可得D1D平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1,0).D1E=(1,1,-1)，A1D=(-1,0,-1)，D1EA1D=(1,1,-1)-(-1,0,-1)=0，D1EA1D，故D1EA1D.（2）证明 由题意得DA1=(1,0,1)，DE=(1,1,0)，设平面A1DE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1DA1=0n1DE=0，得x1+z1=0x1+y1=0，取x1=1，则n1=(1,-1,-1)是平面A1DE的一个法向量，又BD1=(-1,-2,1)，且BD1n1=(-1,-2,1)-(1,-1,-1)=0，故BD1n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1/平面A1DE.【点睛】本题考查的知识点是用空间向量证明空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力及运算能力.21.椭圆x236+y29=1和点P4,2，直线经过点P且与椭圆交于A,B两点（1）当直线的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求的方程【答案】(1)310;(2)x+2y-8=0.【解析】【分析】(1)根据点斜式求出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点间的距离公式即可得到弦长；(2)运用点差法，求得直线的斜率，由点斜式即可得到直线方程【详解】(1)直线l的方程为y-2=12(x-4)，即为y=12x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=32，y=322即有|AB|=(62)2+(32)2=310；(2)由P的坐标，可得1636+490的内接等边三角形AOB的面积为33（其中O为坐标原点）（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M1,1,P,Q两点在抛物线C上，MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形求证：直线PQ恒过定点；过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线【答案】（1）y2=x；（2）证明见解析；x2+y23x+1=0(x1)，是以MH为直径的圆（除去点(1,1).【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|OB|，可得xA2+2pxA=xB2+2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称因此ABx