2019届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查数学(理)试题(解析版).doc

2019届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查数学（理）试题一、单选题1已知 为虚数单位，则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x的值【详解】，即故选：A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查2已知，则（ ）A BC D【答案】A【解析】，两边平方得：，即，故选A.3已知等差数列的公差为，若成等比数列，则数列的前8 项和为（ ）A-20 B-18 C-8 D-10【答案】C【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列求和公式，计算即可得到所求值【详解】解：等差数列的公差d为2，若，成等比数列，可得a32，即有（+4）2（+6），解得8，则an前8项的和为8（8）8728，故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及运算能力，属于基础题4如果执行下面的程序框图，输入正整数，且满足，那么输出的等于（ ）A B C D【答案】D【解析】该程序的作用是利用循环计算并输出变量p的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【详解】解：第一次循环：k1，p1，p；第二次循环：k2，p；第三次循环：k3，p第m次循环：km，p此时结束循环，输出p故选：D【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5已知实数，满足不等式组，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，设zxy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围【详解】解：设zxy，则yxz，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线yxz，由图象可知当直线yxz经过点A（1，0）时，直线yxz的截距最大，此时z最小，最小值z101继续向下平移直线yxz，z值越来越大，的取值范围为故选：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6已知双曲线 和双曲线 焦距相等，离心率分别为、，若，则下列结论正确的是（ ）A和 离心率相等 B和 渐近线相同C和 实轴长相等 D和 虚轴长相等【答案】B【解析】根据可知：，a，从而得到结果.【详解】设两个双曲线的焦距为，又，即，故又双曲线的渐近线方程为：，双曲线的渐近线方程为：和 渐近线相同故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线渐近线方程，考查计算能力，属于基础题.7已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A B C D【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为，高为，故三棱锥的外接球与以棱长为的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为，高为，故三棱锥的外接球与以棱长为的正方体的外接球相同，其直径为，半径为三棱锥的外接球体积为故选【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题。8如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果.【详解】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为，连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，此点取自阴影部分的概率是故选：A【点睛】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算9已知函数 在区间上单调，则的取值范围为 （ ）A B C D【答案】B【解析】根据复合函数的单调性即可得到结果.【详解】令，则，其中在区间上单调递增，且在上单调递减，故选：B【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查余弦型函数的图象与性质，属于中档题.10设，当取最小值时的值为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】利用对数运算与性质可得，利用作差法即可得答案.【详解】,此时取最小值时的值为4故选：C【点睛】本题考查对数运算与性质，考查计算能力，属于中档题.11如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）A8 B4 C D【答案】D【解析】建立坐标系，求出M的轨迹，得出M到B的最小距离，得出三角形的最小面积【详解】解：以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），设M（a，0，b），则（a，4，b4），（4，4，2），D1MCP，4a+16+2b80，即b2a4取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，过B作BQB1N，则BQ又BC平面ABB1A1，故BCBQ，SPBC的最小值为SQBC故选：【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.12已知数列各项均为整数，共有7项，且满足,，其中，(为常数且)若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则的值为（ ）A1 B3 C5 D7【答案】B【解析】根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论【详解】解：，1或1设有x个1，则有6x个1（）+（）+（）x+（6x）（1）x这样的数列个数有,解得x2或4，或故选：B【点睛】本题考查数列知识，考查组合知识的运用，确定数列中1的个数是关键二、填空题13已知向量，的夹角为，则_【答案】1【解析】对两边平方，列方程得出答案【详解】解：|cos60|，26|+9|27，即9|26|0，解得|1或(舍去)故答案为：1【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.14若的展开式中项的系数为16，则实数=_【答案】或【解析】利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2项的系数，结合第一个因子，即可得a的值【详解】的通项公式为，展开式的含x3，x2项的系数分别是，的展开式中项的系数为=或故答案为：或【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查分类讨论与等价转化的能力15已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点若以为直径的圆过点，则的值为_【答案】4【解析】假设直线方程与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF|BF|【详解】解：假设k存在，设AB方程为：yk（x1），与抛物线y24x联立得k2（x22x+1）4x，即k2x2（2k2+4）x+k20 设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以为直径的圆过点,QBA90，（x12）（x1+2）+y120，x12+y124，x12+4x110（x10），x12，x1x21，x22，|AF|BF|（x2+1）（x1+1）4，故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16已知，若的图像和的图像有四个不同的公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】的图像和的图像有四个不同的公共点等价于方程有四个不同的实根，利用变量分离与数形结合即可得到结果.【详解】的图像和的图像有四个不同的公共点等价于方程有四个不同的实根，当时，方程显然成立，即为方程的一个实根，问题转化为时，方程有三个不等的实根，当时，当时，作出图象如图：由图象可得：故答案为：【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.三、解答题17在中，内角，所对的边分别为，已知.（）求角的大小；（）设为中点，若，求面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（）利用正弦定理与可得，结合两角和正弦公式可得结果；（）利用余弦定理及均值不等式即可得到面积的取值范围【详解】解：（）由，得即， , （）在中，由余弦定理得： 即，又 , ， 【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18如图，已知四边形是边长为2的菱形，且，点是线段上的一点为线段的中点（）若于且，证明：平面；（）若,，求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）【解析】（）要证，转证即可；（）以为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到答案.【详解】（）四边形是边长为2的菱形，且 与交于点且为等边三角形 ， 又 , ,又 , ,在中，在中，在中, , , ，又 , （）在平面中，过作直线, 则,如图，以为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ,设是平面的法向量，则,即，取，取中点，连结，,， 因此，是平面的法向量，, , 设二面角的大小为，则,二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点为椭圆上关于原点对称的两点直线与直线的斜率满足：（）求椭圆的标准方程；（）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点【答案】（1）（2）见证明【解析】（）由可得的值，从而得到椭圆的标准方程；（）原问题等价于，联立方程，利用韦达定理即可得到结果.【详解】解：（）设则 由得， 由，即得， 所以，所以即椭圆的标准方程为： （）设由得： 又与圆C相切，所以即 所以 所以，即所以，以线段为直径的圆经过原点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意20某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有（）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为（）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率（）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为（）试运用概率统计的知识，若 ，试求关于的函数关系式；（）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值参考数据：，【答案】（1）（2）（）（且）（）4【解析】（）根据古典概型概率公式即可得到结果；（）（）由已知得，求出，利用 ，可得关于的函数关系式；（）由题意可知，得由可得，构建函数利用导数知识即可得到结果.【详解】解：（） 恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 （）（）由已知得，的所有可能取值为, = 若 ，则 关于的函数关系式（且）（）由题意可知，得 ，设 ，当时，即在上单调递减又， 的最大值为4.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，古典概型概率公式，利用导数知识处理最值问题，属于中档题.21已知函数，（）讨论函数的单调性；（）当a=1时,若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（）求出，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；（）关于的不等式恒成立等价于在恒成立，构建函数，研究其单调性与最值即可.【详解】解：（） 当时，在单调递增； 当时，由得：；由得：，在单调递减，在单调递增 综上：当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （）由题意：当时，不等式，即即在恒成立， 令，则， 令，则， 在单调递增又，所以，有唯一零点（）所以，即-（）当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值. 令则方程（）等价于又易知单调递增，所以， 所以，的最小值所以，即所以实数的取值范围是【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问