2018届高三数学模拟试题 理(含解析).doc

2018届高三数学模拟试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意求解集合，利用交集的计算，即可得到结果.详解：由题意，集合，所以，故选C.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确求解集合是解得的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 已知为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】B【解析】分析：根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.详解：由题意，又由为纯虚数，所以，解得，故选B.点睛：本题主要考查了复数的运算和复数的分类，利用复数的四则运算正确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如下图，则下列说法不正确的是（ ）.A. 甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B. 乙型号平板电脑的拍照功能比较好C. 在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D. 消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕【答案】D【解析】由雷达图的数据可知，甲型号的综合得分为；乙型号的综合得分为，所以甲、乙两型号的综合得分相同，所以选项A正确；两种型号电脑的对比共涉及五个方面：系统评分相同、拍照功能乙型较好、外观设计甲型较好、屏幕甲型较好、性能乙型较好综上，可知选项B、C正确故选D4. 已知，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由诱导公式，得，再由余弦的倍角公式，化简代入即可求解结果.详解：由题意，所以，由于，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的合理运用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.5. 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据二项展开式的通项，让的指数为整数，求解符合条件的，求出有理项的数目，利用古典概型的概率计算公式，即可求解答案.详解：由题意，可得二项展开式的通项为，根据题意可得为整数时，展开式的项为有理项，则时，共有项，而的取值共有项，由古典概型的概率计算公式可得，所有有理项的概率为，故选B.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练应用二项展开式的通项，找出符合条件的项数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意，可判定函数的奇偶性，以及的单调性或变换趋势，即可得到答案.详解：由题意，函数满足：，所以函数为偶函数，故的图象关于轴对称，排除B、D；又由时，所以，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中正确判定函数的单调性与奇偶性，以及函数值的变化趋势是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.7. 已知平面向量与的夹角为，若，则（ ）A. 3 B. 4 C. D. 2【答案】A【解析】分析：根据题设条件，平方化简，得到关于的方程，即可求解结果.详解：由题意，且向量与的夹角为，由，则，整理得，解得，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8. 设，则是的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据条件分别做出和，以及的图象，利用数形结合进行判断，即可得到结论.详解：由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，当时，因为，所以 “”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.9. 已知，函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得.由图象得，。，又，解得。 。令，解得。当时，。故是函数图象的一个对称中心。选C。点睛：由图象确定函数解析式的方法（1）由图象上的最高（低）点的纵坐标确定。（2）由周期T确定，根据图象得到函数的周期T，由求出。（3）的求法通常有以下两种：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)，或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为；“第二点”(即图象的“峰点”)为；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为；“第四点”(即图象的“谷点”)为；“第五点”为。10. 双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设渐近线的倾斜角为，则，因为，所以直线的倾斜角为，得，求得的方程，联立方程组，求得，在利用三角形的面积和双曲线的离心率，联立方程组，即可求解的值，得到双曲线的方程.详解：由点所在的渐近线为，设渐近线的倾斜角为，则，因为，所以直线的倾斜角为，则与联立方程组，解得，所以，因为双曲线的离心率为，所以，所以与联立方程，解得，所以双曲线的方程为，故选C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时涉及到两直线的交点和三角形的面积的应用，解答中熟练运用双曲线的几何性质，准确作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与预算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11. 设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：判断的单调性，得出在上有两解，作出函数的图象，即可利用导数的意义求解实数的取值范围.详解：由题意，设，则当时，所以函数在单调递增，所以，所以在单调递增，因为，所以在单调递增，因为在上的值域为，所以，所以方程在上有两解，作出与直线的函数的图象，则两图象有两个交点，若直线过点，则，若直线与的图象相切，设切点为则，解得，综上所述，所以实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用，导数的几何意义，函数的零点与函数的图象之间的关系等知识点的综合运用，其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根，进而转化为两函数的图象由两个交点是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.12. 如图，在矩形中，四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于平面，平面，则，故三点共线。建立如上图所示的平面直角坐标系，则，过点的直线的方程为，则点到直线的距离；又因，则直线的方程为，令可得，则点到直线的距离，则，令，则，（当且仅当时取等号），故应选答案A。点睛：本题的解答过程中，先借助空间线面的垂直位置关系，断定三点共线，进而构建平面直角坐标系，建立过点的直线的方程为，再运用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离；再借助 ，建立直线的方程为，进而运用点到直线的距离公式求得到直线的距离，最后得到，然后运用换元法与基本等式使得问题巧妙获解。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量满足，则的最大值为_【答案】10；【解析】画出不等式组示的可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数对应的直线经过点时，取得最大值.由，解得.所以目标函数的最大值为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 执行下面的程序框图，输出的结果为_【答案】854；【解析】开始：；第一次循环：满足，；第二次循环：满足，；第三次循环：满足，；第四次循环：满足，；此时不满足，结束循环，输出15. 已知圆与轴相切，抛物线过点，其焦点为，则直线被抛物线所截得的弦长等于_【答案】；【解析】圆的方程可化为：.故圆心，半径.由题意，圆与轴相切，所以，即，解得.由在抛物线：上，可得，解得.所以抛物线的方程为，故.设直线的倾斜角为，则直线的斜率，所以.故直线被抛物线所截得的弦长等于.16. 在中，点在边上，则的长为_【答案】5.【解析】试题分析：如图所示，延长，过作，垂足为，因为，所以，因为，所以，解得，在中，由得，在中，则.考点：三角形中的几何运算.【方法点晴】本题主要考查了三角形的几何运算，其中解答中涉及到直角三角形的勾股定理、平行线的性质等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确作出辅助线，合理利用直角三角形的勾股定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知是递增数列，前项和为，且.（1）求数列的通项；（2）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）（2）不存在【解析】分析：（1）由题意，令，求得，再由递推公式，两式作差，得到，即可利用等差数列的通项公式，求得数列的通项公式；（2）假设存在，使得，整理，得，左边为整数，所以式不成立，从而得到结论.详解：（1），得，解得，或.由于，所以.因为，所以.故，整理，得，即.因为是递增数列，且，故，因此.则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以.（2）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则.整理，得，显然，左边为整数，所以式不成立.故满足条件的正整数不存在.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等差数列通项公式及应用，其中熟练利用数列的递推关系式，作出化简整理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.18. 如图，等腰直角为梯形所在的平面垂直，且为中点. 证明：平面；求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得平面，即得，再根据菱形性质得，最后根据线面垂直判定定理得平面.（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系得结果.试题解析：（）在等腰直角中，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面，所以平面，故， 如图，连接，在梯形中，则，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，所以. 又，所以平面. （）如图，过点作，交与.因为，所以.由（）知平面，故以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 在中，又，所以.在梯形中，故.，.所以，即，.故，. 设平面的法向量为，由，得，令，则，.所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，由，得，令，则，.所以为平面的一个法向量. 所以. 由图可知，二面角为锐二面角，故其余弦值等于.19. 甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销10天.量品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出90件以内（含90件）的产品，每件产品返利5元，超出90件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利元，且每卖出一件产品再返利3元.经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如下： 现从乙品牌试销的10天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于90的概率.若将频率视作概率，商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先确定10天中抽取三天的事件数，再确定三天的销售量中至少有一天低于90的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望，先根据平均数公式求甲、乙日平均返利额，再根据两者大小作选择.试题解析：（）方法一：记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于90”为事件A，由题意知抽取的10天中，销售量不低于90的有7天，销售量低于90的有3天. 则.方法二：记“这三天的销售量至少有一天低于90”为事件A，则为：“这三天的销售量都不低于90”， - 则， 所以.（）设甲品牌的日销售量为，由茎叶图可知可取. 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，. 的所有可能取值为：430，435，445，450，464，471. 的分布列为430435445450464471 （元）. 依题意，乙品牌的日平均销售量为：，乙品牌的日平均返利额为：（元）. 当，即（元）时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当，即（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当，即（元）时，推荐该商场选择甲品牌长期销售. 综上，当元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当元时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售.20. 已知圆，点圆上一动点，点在直线上，且，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知，过点作直线与曲线交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据题意，利用，化简整理，即可求解曲线的方程；（2）设：，将直线与椭圆联立方程组，求得，又由，解得，根据中点公式求得，进而，利用得到，再利用换元法，即可求解的取值范围.详解：（1）.（2）由题意可知直线的斜率存在，设：.联立直线与椭圆，消去得.，又，解得，所以所以，即.化简得：，令，得，即， ，令，则，所以，所以.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）当有两个极值点时，若的极大值小于整数，求的最小值.【答案】（1）为上的减函数（2）3【解析】分析：（1）求出函数的导数，法一、结合二次函数的图象与性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二、令，则，结合函数的单调性求出的极大值，即可得到结论；（2）令，则，根据函数的单调性得到有两个实数根（），取出实数的取值范围，进而求出的极大值，进而得出实数的取值范围.详解：（1）由题.方法1：由于，又，所以，从而，于是为上的减函数.方法2：令，则，当时，为增函数；当时，为减函数.故在时取得极大值，也即为最大值.则.由于，所以，于是为上的减函数.（2）令，则，当时，为增函数；当时，为减函数.当趋近于时，趋近于.由于有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两不等实根（）.则解得.可知，由于，则.而，即（）所以，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而，则有，下面再说明对于任意，.又由（）得，把它代入（*）得，所以当， 恒成立，故为的减函数，所以.所以