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文档简介

导函数的“隐零点”问题,知识拓展利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点.,题型突破题型一函数最值中的“隐零点”【例1】设函数f(x)e2xalnx.(a为大于零的常数)，已知f(x)0有唯一零点，求f(x)的最小值.,设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).,(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).,当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)单调递增.因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.,由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa1xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.,所以，由xa(0，2，,题型二不等式证明中的“隐零点”【例2】(2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxlnx，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(e1)e2.所以e20，f(x)x2xex2.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)0对任意的x(0，)恒成立，所以函数f(x)单调递增；,(2)证明当a1时，f(x)x2xlnx，只需证明exlnx20，设g(x)exlnx2(x0)，,当x变化时，g(x)和g(x)变化情况如下表,因为x00，且x01，,(1)解f(x)的定义域为(0，)，,()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减.,()若a2，令f(x)0得，,(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.,又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0且g(2)a0，即0a2.考虑到x1，x2是方程2x24xa0的两根.,(x1x2)22x1x2aln2(x1x2)x1x24,其中0a0)，h(a
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