高考数学一轮复习 第五章 数列课件 湘教版.ppt

第五章数列,5.1数列的概念与简单表示5.2等差数列及其前n项和5.3等比数列及其前n项和5.4数列求和5.5数列模型的应用5.6数列综合性问题,5.1数列的概念与简单表示,1.数列的概念按照排列着的一列数称为数列，一般用表示.,一定顺序,2.数列的分类,有限,无限,=,正整数集N*(或N*的有限子集1,2,3,，n),函数值,解析法,图象法,列表法,序号n,由数列前几项求数列通项,1.由所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.,2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整.3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决.,由递推公式求数列通项公式,【变式训练】2.已知下面数列an的递推关系和前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn3nb；（2）a11，an13an2，求an.,【解析】(1)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式.当b1时，a1不适合此等式.当b1时，an23n1；当b1时，an3b，n1，23n1，n2.,数列的性质研究,1.数列的概念及简单表示数列中的数是有序的,要注意辨析数列的项和数集中元素的异同;数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解.数列an可以看成是以正整数集N*（或N*的有限子集1,2,3，n）为定义域的函数an=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.,2.由数列的前几项归纳出其通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项符号特征和绝对值特征，并对此进行归纳、化归、联想.,通过对近三年高考试题的统计分析可以看出,本节主要考查数列的项、项数、求通项公式、an与Sn的关系.由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列或与函数的周期性等有关的问题.,(2013全国新课标卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为.,【规范解答】由题意及等差数列的性质，知a1a100，a1a15.两式相减，得a15a105d，所以d，a13.所以nSnnna1d.令f(x)，x0，则f(x)x(3x20)，由函数的单调性，可知函数f(x)在x时取得最小值，检验n6时，6S648，而n7时，7S749，故nSn的最小值为49.,【阅后报告】本题求出的nSn的表达式可以看作是一个定义在正整数集N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解.,3.(2014全国新课标卷)数列an满足an1，a82，则a1.【解析】由题易知a82，得a7；a7，得a61；a61，得a52，于是可知数列an具有周期性，且周期为3，所以a1a7.【答案】,课时作业,5.2等差数列及其前n项和,2,同一个常数,公差,A,2.在等差数列an中，已知a47，a3a616，an31，则n为()A.13B.14C.15D.16【解析】由已知可得a4a57a5a3a616，得a51679，故公差da5a4972，同时解得a11，由1(n1)231，解得n16.【答案】D,3.(2014荆州高三调研)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S1060，则S20()A.80B.160C.320D.640,4.(2014武汉高三联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是.【解析】a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.【答案】20,等差数列的判断与证明,等差数列的基本运算,等差数列的性质及应用,【变式训练】3.在数列an中，a11,3anan1anan10(n2).(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项；(3)若an对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围.,【解析】(1)证明:将3anan1anan10(n2)整理得3(n2).所以数列为以1为首项，3为公差的等差数列.(2)由(1)可得13(n1)3n2，所以an13n2.(3)若an对n2的整数恒成立，即3n23n1对n2的整数恒成立,整理得(3n1)(3n2)/3(n1).,【规范解答】(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40，解得d1或d4.所以ann11(nN*)或an4n6(nN*).(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11，,所以当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n；当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|n2n，n11，n2n110，n12.,【阅后报告】(1)不能盲目认为|a1|，|a2|，|an|是等差数列，要分段研究.(2)当n11时，是求Sn，而不是求S11.(3)讨论n11和n12后，要有总结结论.,1.(2014辽宁卷)设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则()A.d0B.d0C.a1d0D.a1d0【解析】令bn=2a1an，因为数列为递减数列，所以1，所以a1d0，a7a100，a7a10a8a90，a960n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.,【解析】(1)设数列an的公差为d，依题意得，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2.从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.,课时作业,5.3等比数列及其前n项和,第2项,前一项,同一个,公比,q,等比数列,ab,等比,3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3=()A.12B.23C.34D.13【解析】由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S61/2S3代入得S9/S33/4.【答案】C,等比数列的判定与证明,(3)假设存在，则mn2s，(am1)(an1)(as1)2，因为an，所以化简，得3m3n23s.因为3m3n23s，当且仅当mn时等号成立.又m，s，n互不相等，所以3m3n23s不成立，所以不存在满足条件的m，n，s.,等比数列的基本运算,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用.在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.,【变式训练】2.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2a5a3.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn11，n为奇数，1，n为偶数.,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.,(2013湖北卷)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.,【规范解答】(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得a31q3125，解得a1，|a1qa1q2|10，q3或a15，q1.故an3n1或an5(1)n1.(2)若an3n1，则，则是首项为，公比为的等比数列.,从而1.若an5(1)n1，则(1)n1，故1an是首项为15，公比为1的等比数列，从而，n2k1(kN*)，0，n2k(kN*)，故1.综上，对任何正整数m，总有1.故不存在正整数m，使得1成立.,【阅后报告】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.,3.(2014全国新课标卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.,【解析】(1)由an13an1得an13(an).又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列，所以an，因此数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以，即.于是113n0，解得232，得n6，该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32500万元.,递推数列模型的应用,某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n1年销售收入an与an1(单位：万元)满足关系式：anan1100.(1)设今年为第1年，求第n年的销售收入an；(2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大.,【解析】(1)由题意可知anan1100(n2)，an1an2100，a3a2100，a2a1100，a1250.以上各式相加得，an500100(n1)500100(n1)500100(n1).,(2)要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和.an500100(n1)，要使an0，即500100(n1)0，也就是1.令bn，则bnbn1，显然，当n3时，bnbn1，而b51，a50，a60.该企业前5年的销售收入总和最大.,(2012湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.,(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【阅后报告】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.,课时作业,5.6数列综合性问题,1.(2014济南模拟)数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A.76B.78C.80D.82,【解析】由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，得an2an(1)n(2n1)(2n1).取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.【答案】B,2.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为()A1B2C3D4,等差、等比数列的综合,1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对于两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解.,数列与解析几何、不等式的综合应用,【解析】(1)由题意得(1a2)2a1(a31)，即(1a1)2a1(a11)，解得a1，an.设bn的公差为d，又T1b2，即8(8d)，T22b3，16d2(82d)，解得，或1，d8d0(舍去)，.,(2)由(1)知Sn1，Sn，又Tn4n24n，(1)()(1)，由可知Sn.,递推数列,已知数列an，bn满足：a10，b12013，且对任意的正整数n，an，an1，bn和an1，bn1，bn均成等差数列.(1)求a2，b2的值；(2)证明：anbn和an2bn均成等比数列；(3)是否存在唯一的正整数c，使得ancbn恒成立？证明你的结论.,【解析】(1)a2，b2.