数学建模课程设计.doc

数学建模课程设计 计算机科学与技术学院信息与计算科学11012014年6月25日第一题：解答：根据已知条件，我们可以设五种生产方式各自生产三种产品的批数x1,x2,x3,x4,x5,现在在既生产又消耗的条件下如何安排要使得利润最大化，则该题为优化问题，根据表格所给数据，我们可以得到如下模型：目标函数为：Z=20*x1+30*x2+40*x3+5*x4+45*x5约束条件为：3*x1+2*x2 + 4*x3+4*x4 =110x1 + x2 + 2*x3+ x4 + x5 =504*x2+ 6*x3+ x4 +2*x5 1.666667，所以会减少最大利润。(2)会影响最优解。把B的单位售价变为6元（增加1元）时，则带入原始模型目标函数中，可以知到新的目标函数中x1,x2,x3,x4,x5的系数分别增加了6,1,2,1,4元。根据上面的灵敏度被分析，在最优解不变的条件下x1的系数的变化范围为（20-7.5,20+2.5），而62.5，因此会改变,只要有一个系数的变化范围超出了灵敏度分析的结果，整个最优解的结果都会发生改变。(3)不会增加。支付工资也就相当于改变x1,x2,x3,x4,x5的系数，当不超过80小时的工时时减少3，超过80时减少4.5，根据灵敏度分析，在最优解不变的条件下工时的可变范围为（80-53.333,80+80）,同前两问结果的分析，因为其超过了80小时的工时时各系数的变化变化范围，所以最优解减小.(4) 加班不应超过80小时.因为支付0.3元的工资也就相当于使得x1,x2,x3,x4,x5的系数均减少0.3元，在最优解不变的时都没有超过各个系数的变化范围，所以工时可以控制在(80-53.333,80+80)内，所以只要加班不应超过80小时即可。(5)因为利润为8*44*250*5-300000=1400000，所以有利。(6)因为利润为8*44*250*5*3-300000*3=4200000，所以有利。(7)当减少量不超过20时，公司利润不变，当减少量超过20时，公司利润将以每单位8元减少，所以对其不利。第二题：解答：根据已知条件，需要对五种方案进行优劣性评价，我们利用层次分析法对其进行评价，这里使用和法判断，和法主要步骤如下：1）将A的每一列向量归一化得：，2）对按行求和得，3）将归一化4）计算，作为最大特征根的近似值。随机一致性检验表：n12345678910R.I.000.580.901.121.241.321.411.451.49通过各因素的重要性比较构造判断矩阵并进行计算，所得判断矩阵及相应计算结果如下： （1）A-Ceigenvalue=3.0387，CR=0.03340.10,显然满足一致性检验。(2)C1-P检验过程及其结果：eigenvalue=5.128,CR0.02860.10 , 显然满足一致性检验。（3）C2-P检验过程及其结果：eigenvalue=4.1185 ,CR0.04390.10，显然满足一致性检验。（4）C3-P检验过程及其结果：eigenvalue=4,CR=00.10,显然满足一致性检验。通过以上检验，我们现在进行总体检验：层次总排序计算结果如表所示 ：层次C层次PC1C2C3层次P总排序权值方案排序0.10620.63330.2605P10.487100.37500.154P20.23100.05690.37500.163P30.09600.55790.12500.401P40.13820.12190.12500.125P50.04770.263300.172其结果：CI0.028，RI0.9231，CR0.0305=60； x1+x2=70； x2+x3=60；x3+x4=50；x4+x5=20；x5+x6=30通过lingo软件可对该模型进行求解，求结过程及其结果如下：由求解结果可知医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用150名护士。第四题：某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？解答：根据已知条件可知该问题为一个单目标的优化问题，即使得满足绝大多数人的需求条件下的服务中心与居民点的最小距离问题。在这里，假设服务中心的坐标点为（x0,y0）,将每个点的人数所占总人口数的比例作为权重因子w(i)，每个点与服务中心的距离记为，当在权重因子的作用下每个点与服务中心的距离和最小，我们就可以断定该点比较否和满足最大多数人的条件，从而可以作为建立服务中心的点。则我们可以得到如下目标函数：将该问题通过lingo可以进行求解，其求解过程及结果如下：通过lingo软件求解结果可知：服务站适合建立的坐标点为（3.60,6.51）。第五题：某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。彩漆与预期销售量售价（元）预期销售量（桶）售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的公告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期量的1.95倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。广告与销售增长因子广告费（元）销售增长因子广告费（元）销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销策略（每桶彩漆的售价和投入广告费）使得预期利润最大？解答：根据已知条件及其表格数据，我们可以用通过matlab软件对每桶彩漆的售价与预期销售量，投入广告费与销售增长因子的关系分别进行多项式拟合，将用不同的多项式对其进行拟合，发现如下的最高次数拟合为较合适的。1.对每桶彩漆的售价与预期销售量关系进行拟合，其代码及其结果如下：由以上结果显示我们可以得到其拟合函数为：2.投入广告费与销售增长因子的关系进行拟合，其代码及其结果如下：由以上结果显示我们可以得到其拟合函数为：3.题目要求计算在销售价格和广告费用在怎样取值时才能将利润最大化，则该问题为优化问题，根据已知可知利润为：，为了计算简便，将其转化为求最小值问题，即求时与前面结果一致，将其表达式用表示出来为：此时，利用matlab对其进行求最优解，求解过程及其结果如下：结果如下：由结果可知，当时，可以取到最小值，即当销售价格和广告费用分别为5.9113元和33116元时，利润可以达到最大化。第六题：山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 1200=x=4000,1200=y=3600)试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。 X Y12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980解答：根据题目要求，通过已知点的坐标，可以通过不同插值方法插值显示其等高线，插值过程