高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七节 空间角与距离的求解课件 理.ppt

第七节空间角与距离的求解,1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量把直线l上的向量a以及与a共线的向量叫做直线l的方向向量.(2)平面的法向量直线l,取直线l的方向向量a,则向量a垂直于平面,记为a,称向量a叫做平面的法向量.,2.空间线线、线面、面面平行与垂直的向量语言表示设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为a,b,两个平面1,2的法向量分别为u,v,则有下表:,典例1(1)(2015江西师大附中期中考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA底面ABCD,ADBC,ABC=90,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.求证:AM面SCD.,【解题思路】建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,证明直线的方向向量和平面的法向量垂直.,(2)(2015银川一中四模)在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.求证:BDEG.,【解题思路】先找到三条两两垂直的直线,建立空间直线坐标系,利用两直线方向向量的数量积为0证明直线垂直.,典例2(2015新课标全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.,(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【解题思路】(1)连接BD,与菱形对角线AC相交于点G,通过证明GE与平面ACF内的两条相交直线垂直即可证明;(2)根据(1),利用向量法求解即可.,【参考答案】(1)交线围成的正方形EHGF如图:,命题角度1:求二面角的大小典例4(2015北京高考)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.,【解题思路】(1)利用面面垂直的性质定理证明;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角;(3)根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,利用数量积的坐标运算求解.,【变式训练】如图,在四棱锥C-ABDE中,F为CD的中点,DB平面ABC,AEBD,AB=BC=CA=BD=2AE.(1)求证:EF平面BCD;(2)求平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.,【解题思路】建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题.,【参考答案】由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.,【变式训练】(2013上海高考)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.,模板攻略:用向量法求二面角典例(2014新课标全国卷)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.,【解题思路】连接A与菱形对角线的交点O,利用菱形的对角线互相垂直以及ABB1C证明B1C垂直于平面ABO,得到AOCB1即可证明线段相等;利用空间向量法求二面角的余弦值.,【参考答案】(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO.因为侧面BB1C1