全国通用版2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十四8.6.1椭圆的概念及其性质理.docVIP

课时分层作业 五十四椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018承德模拟)椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=()A.B.C.D.4【解析】选A.a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m0),则+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=22-=.2.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(k-1)的左、右焦点,弦AB过点F1,若ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.由椭圆的定义可得4a=8a=2,又因为c2=a2-b2=1c=1,所以椭圆的离心率e=.3.(2018亳州模拟)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作一条直线(不与x轴垂直)与椭圆交于A,B两点,如果ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形,该直线的斜率为()A.1B.2C.D.【解析】选C.不妨设|AF1|=m,则|AF2|=2a-m,|BF2|=AB-|AF2|=m-(2a-m)=2m-2a,于是|BF1|=2a-|BF2|=2a-(2m-2a)=4a-2m,又F1AB=90,所以|BF1|=m,所以4a-2m=m,a=m,因此|AF2|=2a-m=m,tanAF2F1=,直线AB斜率为-,由对称性,知还有一条直线斜率为.【变式备选】椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|为()A.2B.4C.8D.【解析】选B.根据椭圆定义得|MF2|=8,N为MF1的中点,则ON为MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.4.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=43,则PF1F2的面积为()A.30B.25C.24D.40【解析】选C.因为|PF1|+|PF2|=14,又|PF1|PF2|=43,所以|PF1|=8,|PF2|=6.因为|F1F2|=10,所以PF1PF2.所以=|PF1|PF2|=86=24.5.方程+=10化简的结果是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.方程的几何意义为动点(x,y)到定点(-4,0)和(4,0)的距离和为10,并且108,所以定点的轨迹为以两个定点为焦点,以2a为长轴长的椭圆,所以a=5,c=4,根据b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为+=1.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P49A组T1“如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式+=10,点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程”【变式备选】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,由几何关系可知,点M的轨迹是以C1(4,0),C2(-4,0)为焦点,且2a=(13-r)+(3+r)=16的椭圆,据此可知:a=8,c=4,所以b2=48,椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.椭圆+4y2=1(a0)的焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为_.【解析】由题意可得:e2=1-=,所以a2=1,由椭圆的定义可得:题中三角形的周长为4a=4.答案:47.(2018呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_.【解析】如图所示,设椭圆右焦点为F1,则|PF1|+|PF|=6.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.利用-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立).所以|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.答案:6+6-8.已知ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=_.【解析】由题意知A,C为椭圆的两焦点,由正弦定理,得=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有+=8+c2,解得c2=3.所以,所求椭圆的方程为+=1.10.(2018开封模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得故椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2).又AOB为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入上式,化简整理得m22,即-mb0)的长轴AB=4,离心率e=,O为坐标原点,过B的直线l与x轴垂直,P是椭圆上异于A,B的任意一点,PHx轴,H为垂足,延长HP至Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线l于M,N为MB的中点.(1)求椭圆方程并证明Q点在以AB为直径的圆O上.(2)试判断直线QN与圆O的位置关系.【解析】(1)由已知得2a=4,=,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.设P(2cos ,sin ),则Q(2cos ,2sin ),kAQkBQ=-1,所以AQBQ,得证.(2)直线OQ的斜率为tan ,倾斜角QOH=,则Q(2cos ,2sin ),由OQ=OA得OAQ=OQA=,即直线AQ的倾斜角为,所以直线AQ的方程为y=tan(x+2),令x=2得y=4tan,所以M,N,所以直线QN的斜率为k=-,OQ的斜率为k=tan ,所以kk=-1,即OQQN,且Q点在以AB为直径的圆O上,所以QN与圆O相切于Q点.1.(5分)焦点在y轴上,焦距等于4,离心率等于的椭圆的标准方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设椭圆方程为+=1(ab0),由题意可得:解得则椭圆的标准方程为+=1.2.(5分)已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.【变式备选】已知椭圆C:+=1(ab0),F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,F1PF2的重心为G,内心为I,且有=(其中为实数),椭圆C的离心率e=()A.B.C.D.【解析】选A.设P(x0,y0),因为G为F1PF2的重心,所以G点坐标为G,因为=,所以IGx轴,所以I的纵坐标为,在F1PF2中,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以=|F1F2|y0|,又因为I为F1PF2的内心,所以I的纵坐标的绝对值即为内切圆半径,内心I把F1PF2分为三个底分别为F1PF2的三边,高为内切圆半径的小三角形,所以=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|),所以|F1F2|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|),即2c|y0|=(2a+2c),所以2c=a,所以椭圆C的离心率e=.3.(5分)椭圆+=1(a为定值,且a)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_.【解析】设椭圆的右焦点为F,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF|=|BF|+|BF|=2a.又FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF|+2a-|BF|+|AB|=4a-(|AF|+|BF|-|AB|)4a,当且仅当AB过右焦点F时等号成立.此时4a=12,则a=3.故椭圆方程为+=1,所以c=2,所以e=.答案:4.(12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率.(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.【解析】(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(0b0)的右焦点为F2(1,0),点H在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:PF2Q的周长是定值.【解析】(1)设椭圆的左焦点为F1,根据已知,椭圆的左、右焦点