2019届高考数学二轮复习专题五解析几何1.5.3圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题课件文.pptVIP

第三讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题,热点题型1圆锥曲线中的定点、定值问题【感悟经典】【典例】已知椭圆C:(ab0)的离心率为e=,过点.,(1)求椭圆C的方程.(2)过A(-a,0)且互相垂直的两条直线l1,l2与椭圆C的另一个交点分别为P,Q.问:直线PQ是否经过定点?若是,求出该定点;否则,说明理由.,【联想解题】(1)利用椭圆的离心率公式求得a与c的关系,则b2=a2-c2=3c2,再结合椭圆过,即可求得a和b的值,求得椭圆方程.(2)由A点坐标,当直线PQ斜率不存在时,代入椭圆方程,求得交点坐标,当直线的斜率存在时,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量数量积的坐标运算,即可求得定点.,【规范解答】(1)由已知得解得所以椭圆C的方程为,(2)由(1)知A(-2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2).当PQx轴时,不妨设l1,l2的斜率分别为1,-1,则l1:y=x+2,与椭圆方程联立得x1=-,此时直线PQ与x轴交于点M,当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ方程为y=k(x-m)(k0),代入整理得(4k2+3)x2-8k2mx+4k2m2-12=0,所以,因为APAQ,=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,即(x1+2)(x2+2)+k2(x1-m)(x2-m)=0,所以(k2+1)x1x2+(2-k2m)(x1+x2)+k2m2+4=0,所以,化简得7m2+16m+4=0,解得m=或m=-2,当m=-2时,直线PQ与x轴交点与A重合,不合题意.综上,直线PQ经过定点,【规律方法】1.定点问题的求解策略(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点.(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.,2.定值问题的求解策略(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.,【对点训练】(2018宝鸡质检)已知椭圆C:(ab0)经过(1,1)与两点.,(1)求椭圆C的方程.(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证为定值.,【解析】(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得解得所以椭圆C的方程为,(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称.若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时,同理,若点A,B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时,若点A,B,M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0),则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),由消去y得,x2+2k2x2-3=0,解得,所以|OA|2=|OB|2=同理所以故为定值.,热点题型2圆锥曲线中的探索性问题【感悟经典】【典例】在直角坐标系xOy中,曲线C:与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.,【联想解题】(1)看到求曲线上某点的切线方程,想到利用导数求斜率,或者利用直线与曲线方程联立消元,由根的判别式为零,求斜率.(2)看到证明角相等,想到利用直线的斜率求解.,【规范解答】(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).因为y=x,故在x=2处的导数值为,C在(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.,在x=-2处的导数值为-,C在(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.所以所求切线方程为x-y-a=0或x+y+a=0.,(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0.所以x1+x2=4k,x1x2=-4a.,所以k1+k2=当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以P(0,-a)符合题意.,【规律方法】探索性问题的求解方法(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系,数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.,【对点训练】已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程.,(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.,【解析】方法一:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.,(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=,由y=x,得切线l的斜率k=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0 x-.由由又N(0,3),所以圆心C半径r=,|AB|=所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.,方法二:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)同方法一.,【提分备选】已知双曲线E:(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率.,(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.,【解析】方法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,有即c=a,于是双曲线的离心率e=,(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C,当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则又因为OAB的面积为8,所以即a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为,若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C记A(x1,y1),B(x2,y2),由得y1=,同理y2=,由SOAB=即m2=4=4(k2-4),由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,因为4-k20,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),所以=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为,方法二:(1)同方法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得-mb0).因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|构成等差数列,所以2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,a=2.又因为c=1,所以b2=3.所以椭圆C的方程为,(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得:m2=4k2+3.设,方法一:当k0时,设直线l的倾斜角为,则|d1-d2|=|MN|tan|,所以|MN|=,S=,因为m2=4k2+3,所以当k0时,|m|,|m|+=,S0),与椭圆交于M,N两点.若M,N的中点为H,且存在非零实数,使得求斜率k的值;,在x轴上是否存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形?若存在求出m的范围,若不存在,请说明理由.,【解析】(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆的焦点F1(-1,0),F2(1,0).设短半轴长b,长半轴长a,因为|cosB2F1F2=所以b=c=,a=2,所以椭圆的标准方程为=1.,(2)由题意设直线的方程为y=kx+2,k0,它与椭圆交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,由得(4k2+