（福建专用）2019年中考数学复习 第六章 空间与图形 6.2 图形的相似（试卷部分）课件.ppt

第五章空间与图形6.2图形的相似,中考数学(福建专用),A组2014-2018年福建中考题组,五年中考,1.(2015宁德,8,4分)如图,已知直线abc,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是()A.4B.4.5C.5D.5.5,答案B直线abc,AC=4,CE=6,BD=3,=,即=,解得DF=4.5.故选B.,2.(2016三明,13,4分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC与DEF位似,原点O是位似中心.若AB=1.5,则DE=.,答案4.5,解析ABC与DEF是位似图形,它们的位似中心恰好为原点,已知A点坐标为(1,0),D点坐标为(3,0),AO=1,DO=3,=,DE=3AB=4.5.,思路分析根据点的坐标得出AO,DO的长,进而得出=,求出DE的长即可.,点评此题主要考查了位似图形的性质,根据已知点的坐标得出=是解题关键.,3.(2016厦门,13,4分)如图,在ABC中,DEBC,且AD=2,DB=3,则=.,答案,解析DEBC,ADEABC,=,又AD=2,DB=3,AB=5,=.,4.(2015漳州,14,4分)如图,ADBECF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,=,DE=6,则EF=.,答案9,解析ADBECF,=,即=,EF=9.,思路分析根据平行线分线段成比例定理得到=,即=,然后根据比例性质求EF.,5.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:根据给出的ABC及线段AB,A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺规作出ABC,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹;在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.,解析如图,ABC即为所求作的三角形.已知:如图,ABCABC,=k,AD=DB,AD=DB.求证:=k.证明:AD=DB,AD=DB,AD=AB,AD=AB,=,又=,=,ABCABC,A=A,CADCAD,=k.,解后反思本题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、化归与转化思想.,6.(2016南平,21,8分)如图,RtABC中,C=90,AB=14,AC=7,D是BC上一点,BD=8,DEAB,垂足为E,求线段DE的长.,解析DEAB,BED=90,BED=C,又B=B,BEDBCA,=,DE=4.,7.(2016福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与ACCD的大小关系;(2)求ABD的度数.,解析(1)AD=BC=,AD2=.AC=1,CD=1-=,AD2=ACCD.(2)AD2=ACCD,AD=BC,BC2=ACCD,即=.又C=C,ABCBDC.=.又AB=AC,BD=BC=AD.A=ABD,ABC=C=BDC.,设A=ABD=x,则BDC=A+ABD=2x,ABC=C=BDC=2x,A+ABC+C=x+2x+2x=180.解得x=36.ABD=36.,思路分析(1)直接计算即可得结论;(2)由AD2=ACCD,得到BC2=ACCD,即=,从而得到ABCBDC,故有=,从而得到BD=BC=AD,故A=ABD,ABC=C=BDC.设A=ABD=x,则BDC=2x,ABC=C=BDC=2x,由三角形内角和等于180可求得x,从而得出结论.,评析本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得ABCBDC是解题的关键.,8.(2016莆田,25,12分)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc.(1)模拟探究:如图,正方形EFGH为ABC的BC边上的内接正方形,求证:+=;(2)特殊应用:若BAC=90,xb=xc=2,求+的值;(3)拓展延伸:若ABC为锐角三角形,bxc.理由如下:由(1)得+=,+=,xb=,xc=,SABC=bhb=chc,2SABC=bhb=chc,又hb=csinBAC,hc=bsinBAC,-=,bxc.,9.(2015龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,M,N分别是AD,CD的中点,连接MN,设点D运动的时间为t(秒).(1)判断MN与AC的位置关系;(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积;(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ABC中,M是AD的中点,N是DC的中点,MNAC.(2)如图1,分别取ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,图1根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是四边形AFGE的面积,AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,S四边形AFGE=AEGC=34=12,线段MN所扫过区域的面积为12.,(3)由题意可知MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.当MD=DN时,AD=DC,如图2,过点D作DHAC交AC于H,则AH=AC=3,图2cosA=,=,解得AD=5,t=5.如图3,当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAD,图3cosA=,即=,AM=,AD=t=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.,思路分析(1)利用三角形中位线的性质解答即可;(2)分别取ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是四边形AFGE的面积,求解即可;(3)分三种情况:MD=MN,MD=DN,DN=MN,分别求t的值即可.,10.(2014南平,21,8分)如图,已知ABC中,点D在AC上且ABD=C,求证:AB2=ADAC.,证明ABD=C,A是公共角,ABDACB,=,AB2=ADAC.,思路分析利用两个角对应相等的两个三角形相似证得ABDACB,进一步得出=,整理得出答案即可.,点评此题考查相似三角形的判定与性质:如果两个三角形的三组边的比对应相等,那么这两个三角形相似;如果两个三角形的两条边的比对应相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似;相似三角形的对应边成比例,对应角相等.,B组20142018年全国中考题组考点一相似的性质与判定,1.(2018重庆,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm,答案C设所求最长边为xcm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等式=,解得x=4.5,故选C.,2.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.2,答案C在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,3.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是()A.=B.=C.=D.=,答案C根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.,4.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于点F,则BF的长为()A.B.C.D.,答案B由题意得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE,ADEBFA,则=,即=3,设AF=x(x0),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=(负值舍去),所以3x=,即BF=.故选B.,思路分析先通过证明ADEBFA得到AF与BF的数量关系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程求解.,5.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形与原三角形的是(),答案C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.,6.(2015江苏南京,3,2分)如图,在ABC中,DEBC,=,则下列结论中正确的是()A.=B.=C.=D.=E2,答案C=,=,DEBC,ADEABC,=,故选项A、B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,选项D错误.故选C.,答案B设等边ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知C=EDF=60,EDA+FDB=120,在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF,=,又CE=DE,CF=DF,=,=,可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF,2CE-3CF=CF-3CE,=.故选B.,8.(2018吉林,12,3分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=m.,答案100,解析易知ABDECD,=,又BD=120m,DC=60m,EC=50m,AB=100m.,9.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.,答案,解析四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE,CDFAEF,=.E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5.=,CF=.,10.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为.,答案,解析EF是ODB的中位线,OE=OD=,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF,=,=,AC=.,11.(2014黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在ABC中,4AB=5AC,AD为ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EFAD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则的值为.,答案,解析EFAD,FG=FD,EF垂直平分GD,EG=ED,EGD=EDG,AGH=ADB,又BAD=HAG,ABDAHG,=.4AB=5AC,AH=AC,=,=,=.=.,评析本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识,属中等偏难题.,12.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知:CBAD,EDAD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.,解析CBAD,EDAD,ABC=ADE=90.BAC=DAE,ABCADE,(3分)=.(5分)BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.=,AB=17m.河宽AB为17m.(7分),思路分析首先根据ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根据相似三角形的性质得出=,进而可求得AB的值.,方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.审题:结合图形通读题干,第一时间锁定采用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数解题.如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关键.构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添加辅助线;若未给出图形,则需要通过中获取的信息构造几何图形进行解题.,13.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值.,解析(1)证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB.=tanPAC=,设PN=2t,则AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.,(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.,思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论;(2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,14.(2016四川南充,24,10分)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足PBCPAM,延长BP交AD于点N,连接CM.(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:APBN,AM=AN;(2)如图二,在点P运动过程中,满足PBCPAM的点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN是否成立(不需说明理由)?是否存在满足条件的点P,使得PC=?请说明理由.,解析(1)证明:PBCPAM,PBC=PAM.(1分)四边形ABCD是正方形,ADBC,PBC=ANP.PAM=ANP.(2分)PAM+PAN=90,ANP+PAN=90.APN=90,即APBN.(3分)BAN=90,APBN,BPA=BAN=90.ABP=NBA,ABPNBA,=.(4分)又PBCPAM,=.(5分)故=.,又AB=BC,AM=AN.(6分)(2)点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN仍然成立.(7分)不存在.理由如下:如图,以AB为直径,作半圆O,连接OC,OP.BC=1,OB=,OC=.(8分)APBN,点P一定在以点O为圆心、为半径的半圆上(A,B两点除外).如果存在点P,那么OP+PCOC,则PC.(9分),故不存在满足条件的点P,使得PC=.(10分),评析本题是以考查相似三角形为主的综合题,涉及正方形的性质、圆的性质等知识,有一定难度.,考点二图形的位似1.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,2.(2015江苏镇江,17,3分)如图,坐标原点O为矩形ABCD的对称中心,顶点A的坐标为(1,t),ABx轴,矩形ABCD与矩形ABCD是位似图形,点O为位似中心,点A、B分别是点A、B的对应点,=k.已知关于x,y的二元一次方程组(m,n是实数)无解.在以m,n为坐标(记为(m,n)的所有的点中,若有且只有一个点落在矩形ABCD的边上,则kt的值等于()A.B.1C.D.,答案D因为方程组无解,所以mn=3,且n,那么以实数m,n为坐标的点在反比例函数y=的图象上,且y.矩形ABCD与矩形ABCD的位似比为k,因为A(1,t),所以A点的坐标为(k,kt),C点的坐标为(-k,-kt),当矩形ABCD与函数y=的图象有交点时,则交点至少有两个,分别是A(k,kt),C(-k,-kt),当kt=时,A,C,又n,所以A不在函数y=的图象上,有且只有C在函数y=的图象上,即当kt=时,有且只有一个点在矩形ABCD的边上.,评析本题以平面直角坐标系中的位似和方程组的解的存在性为背景,考查了反比例函数的图象与性质,解题关键是运用中心对称的性质.本题属难题.,3.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则=.,答案,解析四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,=.,4.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.,解析(1)线段A1B1如图所示.(3分)(2)线段A2B1如图所示.(6分)(3)20.(8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2)2=20(个平方单位).,5.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A2C2B2的正弦值.,解析(1)A1B1C1为所求作三角形.(2)A2B2C2为所求作三角形.根据勾股定理得A2C2=,sinA2C2B2=.,C组教师专用题组考点一相似的性质与判定,1.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为()A.B.C.D.,答案D如图,连接DE.BD平分ABC,CBD=30,1=2=30.在RtBCD中,BD=BCcos30=2.在RtABD中,AB=BDcos30=3.E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1.DEAB,AFBEFD,=,即=,DF=.故选D.,思路分析根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2,进而求得AB=3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长.,解题关键本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出RtBCD斜边上的中线.,2.(2016重庆,8,4分)ABC与DEF的相似比为14,则ABC与DEF的周长比为()A.12B.13C.14D.116,答案C因为ABC与DEF的相似比为14,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得ABC与DEF的周长比为14,故选C.,3.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为()A.4B.4C.6D.4,答案B由AD是中线可得DC=BC=4.B=DAC,C=C,ADCBAC,=,AC2=BCDC=84=32,AC=4,故选B.,评析本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中线,属容易题.,4.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是()A.=B.=C.=D.=,答案ADEBC,ADEABC,=,故选项A正确,故选A.,5.(2017重庆A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为()A.32B.35C.94D.49,答案A相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.,6.(2014辽宁沈阳,8,3分)如图,在ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DEBC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20,答案C由题意可得ADEABC,相似比为,所以BC=3DE=15,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定与性质,属容易题.,7.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则=.,答案,解析ABCD,A=C,B=D,AOBCOD.=.,8.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或.,思路分析根据AB0),则BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍负),BM=2x=.,11.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=.,答案2,解析连接DE,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.,12.(2018陕西,17,5分)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图法,在AM上求作一点P,使DPAABM.(不写作法,保留作图痕迹),解析如图所示,点P即为所求.(5分),思路分析过D点作DPAM于点P,进而可利用APD=B,DAP=AMB判断DPAABM.,13.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.,解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.,思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法总结证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.,14.(2018呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与O的交点,点D是MB与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.(1)求证:PD是O的切线;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)证明:连接OD、OP,=,A=A,ADMAPO,ADM=APO,MDPO,1=4,2=3,OD=OM,3=4,1=2,又OP=OP,OD=OC,ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90,ODP=90,ODAP,又OD为半径,PD是O的切线.(2)由(1)知PC=PD,连接CD,AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径).在RtAOD中,OD2+AD2=OA2,R2+122=9R2,R=3.OD=3,MC=6,=,AP=18,DP=6.又MDPO,O是MC的中点,=,点P是BC的中点,BP=CP=DP=6,又MC是O的直径,BDC=CDM=90,在RtBCM中,BC=2DP=12,MC=6,BM=6.易知BCMCDM,=,即=.MD=2,=.,思路分析第(1)问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形,进而得到角相等;第(2)问需要先求出半径,进而借助相似三角形的性质和判定解决.,解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形,并综合运用相关几何知识解决问题.,15.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF;求证:BE2=BCCE;(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF的值.图1图2,解析(1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=BC,ABC=BCF=90.又AGB=90,BAE+ABG=90.又ABG+CBF=90,BAE=CBF.ABEBCF(ASA),BE=CF.(4分)证明:AGB=90,点M为AB的中点,MG=MA=MB,GAM=AGM.又CGE=AGM,从而CGE=CBG.又ECG=GCB,CGECBG.=,即CG2=BCCE.由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG.由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE.(9分)(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1).,图1四边形ABCD是正方形,ABCD.N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA.故=,即BECN=ABCE.AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE.由ABDN知,=.又AM=MB,FC=CN=BE.不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去).,=.于是tanCBF=.(14分)解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去),即BE=.作GNBC交AB于N(如图2),图2则MNGMBC.=.设MN=y,则GN=2y,GM=y.=,即=,解得y=.GM=.从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.AGB是直角三角形,且AGB=90.由(1)知BE=CF,于是tanCBF=.(14分),16.(2015连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DHAB,交BC的延长线于点H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的长.,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,ACB=DCH,ABCDHC,=.AC=3CD,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.(6分)=.ABCDHC,=,AB=3DH.=,DH=2,AB=6.(10分)解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分)CDBBDA,=,=,AB=6.(10分),考点二图形的位似1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为()A.49B.25C.23D.,答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.,2.(2015天津,16,3分)如图,在ABC中,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.,答案,解析DEBC,ADEABC,=,=,=,DE=.,3.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21.E2,解析(1)如图所示.(3分)(2)如图所示.(6分),A组20162018年模拟基础题组(时间:10分钟分值:15分)一、选择题(共3分)1.(2017三明二检,8)如图,大三角形与小三角形是位似图形.若小三角形一个顶点的坐标为(m,n),则大三角形中与之对应的顶点坐标为()A.(-2m,-2n)B.(2m,2n)C.(-2n,-2m)D.(2n,2m),三年模拟,答案A由题图知两三角形的位似中心为原点,且位似比为12,所以大三角形中与之对应的点的坐标为(-2m,-2n),故选A.,方法归纳如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称位似比,位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,二、填空题(共3分)2.(2017宁德质检,14)如图,已知ABC,点D,E分别是AB,AC的中点,若ABC的面积等于24,则ADE的面积等于.,答案6,解析点D,E分别是AB,AC的中点,DEBC,BC=2DE,ADEABC,=,ABC的面积等于24,ADE的面积等于6.,解题关键掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.,三、解答题(共9分)3.(2016南平质检,22)已知O的弦CD与直径AB垂直于F,点E在CD上,且AE=CE.(1)求证:CA2=CECD;(2)已知CA=5,EA=3,求sinEAF.E2,解析(1)证明:弦CD垂直于直径AB,=,D=C,又AE=EC,CAE=C.CEACAD.=,即CA2=CECD.(2)CA2=CECD,CA=5,CE=EA=3,52=3CD,CD=.又CF=FD,CF=CD=,EF=CF-CE=-3=.在RtAFE中,sinEAF=.,思路分析(1)利用两组角对应相等证明CEACAD,即可得解;(2)利用(1)的结论求出CD的长,进而求出CF和EF的长,即可得解.,命题立意本题考查了垂径定理,三角形相似的判定及性质,三角函数的应用,难度中等.,B组20162018年模拟提升题组(时间:40分钟分值:50分)解答题(共50分)1.(2018福州二检,24)已知菱形ABCD,E是BC边上一点,连接AE交BD于点F.(1)如图1,当E是BC中点时,求证:AF=2EF;(2)如图2,连接CF,AB=5,BD=8,当CEF为直角三角形时,