2018年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列学案 苏教版选修5.docVIP

2.2第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P3539，思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么？ (2)等差数列的通项公式怎样表示？ (3)如何判定一个数列是等差数列？ 1等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示点睛(1)“从第二项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列2等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d.定义通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)点睛由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，等差数列为常数列1下列数列是等差数列的是_(填序号)5,5,5,5,5；3,7,11,15,19；2，1,0,2,4,6.解析：所给数列是首项为5，公差为0的等差数列所给数列是首项为3，公差为4的等差数列因为0(1)20，所以这个数列不是等差数列综上，为等差数列答案：2已知等差数列an中，首项a14，公差d2，则通项公式为_解析：a14，d2，an4(n1)(2)62n.答案：an62n3已知等差数列an的前三项依次为a1，a1,2a3，则实数a的值为_解析：由题意知：a1(a1)2a3(a1)，即2a2，a0.答案：04在1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为_解析：由已知a(1)ba8bd，8(1)3d，d3.答案：3等差数列的通项公式及应用典例在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解(1)a51，a82，解得(2)设数列an的公差为d.由已知得，解得an1(n1)22n1，a929117.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量活学活用1在等差数列an中，a22，a34，则a10_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意得由此解得所以a10a19d18.答案：182已知等差数列an中，a1533，a61217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则ana1(n1)d，由已知解得所以an23(n1)44n27，令an153，即4n27153，解得n45N*，所以153是所给数列的第45项.等差数列的判定与证明典例已知数列an满足a14，an4(n1)，记bn.求证：数列bn是等差数列；证明bn1bn，又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列要判定或证明一个数列an是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明an1and(常数)活学活用判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.解：(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列.等差数列通项公式的综合应用题点一：求通项公式中的未知项1在等差数列an中，首项a11，公差d0，若7aka1a2a7，则k_.解析：因为a1a2a77a121d721d，而ak1(k1)d，所以7ak77(k1)d，所以77(k1)d721d，即k4.答案：4题点二：求通项公式中公差的范围2在等差数列an中，首项a11，且从第10项起开始比2大，则公差d的取值范围为_解析：由an1(n1)d，所以即所以d.答案：题点三：求通项公式中共同项3等差数列an中，a11，公差d4，若存在另一等差数列bm，bm3m1，它们的项数均为100，则它们有多少对相同的项解：显然，通项分别为an4n3，bm3m1(m，nN*，且1n100,1m100)，令anbm，得4n33m1，即n.由m，nN*,1n100,1m100，即所以m2,6,10，98.所以共有25对相同项等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷 层级一学业水平达标1若等差数列an中，公差d，a28，则首项为_解析：a28a127，所以a16.答案：62若数列an满足条件：an1an，且a1，则a30_.解析：由已知得数列an是以a1为首项，d为公差的等差数列ana1(n1)nn1.a3030116.答案：163在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析：设等差数列an的公差为d，由题意，得解得ana1(n1)d3(n1)22n1.a626113.答案：134在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.解析：设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.答案：205已知等差数列an中，a26，a515，若bna2n，则b15等于_解析：设数列an的公差为d，由得an33(n1)3n，bna2n6n，b1561590.答案：906正项数列an满足：a11，a22,2aaa(nN*，n2)，则a7_.解析：因为2aaa(nN，n2)，所以aaaad，所以数列a是以a1为首项，以daa3为公差的等差数列，所以a13(n1)3n2，所以an，n1，所以a7.答案：7已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.解析：设等差数列的公差为d，则由a3a4，得12d(1d)24，d24，d2.由于该数列为递增数列，d2.an1(n1)22n1.答案：2n18如果有穷数列a1，a2，am(m为正整数)满足条件：a1am，a2am1，ama1，那么称其为“对称”数列例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列已知在21项的“对称”数列cn中，c11，c12，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2_.解析：因为c11，c12，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20c119d19219，又cn为21项的对称数列，所以c2c2019.答案：199已知等差数列an的前三项和为3，前三项的积为8，求等差数列an的通项公式解：设等差数列an的首项为a，公差为d，则a2a1d，a3a12d由题意得解得或所以an3n5或an3n7.10已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解：数列是等差数列，理由如下：因为a12，an1，所以，所以(常数)所以是以为首项，公差为的等差数列层级二应试能力达标1等差数列0，2，4，2 016的项数是_解析：根据题意，知等差数列0，2，4，2 016的首项为0，公差为2，所以an02(n1)22n.由22n2 016，解得n1 009.答案：1 0092已知an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d_.解析：根据题意得：a72a4a16d2(a13d)a11，a11.又a3a12d12d0，d.答案：3在数列an中，a13，且对于任意大于1的正整数n，点(， )都在直线xy0上，则an_.解析：由题意得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以n，an3n2.答案：3n24数列an是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn是首项为2，公差为4的等差数列若anbn，则n的值为_解析：an2(n1)33n1，bn2(n1)44n6，令anbn，得3n14n6，n5.答案：55设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第37项为_解析：设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列，公差为d1d2.又d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以数列anbn为常数列，所以a37b37a1b1100.答案：1006已知ABC内有2 016个点，其中任意三点不共线，把这2 016个点加上ABC的三个顶点，共2 019个点作为顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为_解析：设ABC内有n个点时，小三角形有an个现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即an1an2.因此，数列an是以a13为首项，2为公差的等差数列，于是a20163(2 0161)24 033.答案：4 0337甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了，并说明理由解：由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得a21.2.由b130，b610，得b226.c2a2b21.22631.2.(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了8已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且nN*)确定(1)求证：是等差数列；(2)当x1时，求x100.解：(1)证明：xnf(xn1)(n2且xN*)，(n2且xN*)是等差数列(2)由(1)知(n1)2，35.x100.第二课时等差数列的性质预习课本P41习题T11T15，思考并完成以下问题 (1)等差数列通项公式的推广形式是什么？该公式有哪些作用？ (2)等差中项的定义是什么？ (3)等差数列的运算性质是什么？应用此性质可以解决哪些问题？ 1等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广ana1(n1)d(揭示首末两项的关系)anam(nm)d(揭示任意两项之间的关系)2.等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A，把A叫做a与b的等差中项3等差数列的性质若an是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足mnpq，则：aman apaq.(1)特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列1在等差数列中，若a24，a42，则a6_.解析：为等差数列，2a4a2a6，a62a4a2，即a62240.答案：02x1与y1的等差中项为10，则xy_.解析：(x1)(y1)210，xy20.答案：203若a2a8180，求a3a4a5a6a7_.解析：因为a2a82a5180，所以a590.又因为a3a7a4a62a5，所以a3a4a5a6a75a5590450.答案：4504已知数列an是等差数列，若a1a5a9a13a17117，则a3a15_.解析：a3a15a1a17a5a13，所以a9117，所以a3a15a9a9234.答案：234等差中项公式的应用典例(1)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值(2)已知，成等差数列，并且ac，ac，ac2b均为正数，求证：lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)也成等差数列解(1)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4得，325p5q25p8q，由得，q1，p1.(2)证明：，成等差数列，即2acb(ac)(ac)(ac2b)(ac)22b(ac)(ac)222aca2c22ac4ac(ac)2.ac，ac2b，ac均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg(ac)(ac2b)lg(ac)2，即lg(ac)lg(ac2b)2lg(ac)，lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差数列(1)若三数a，b，c成等差数列，则ac2b，即b为a，c的等差中项，反之，也成立，这个结论在已知等差数列的题中经常用到(2)证明一个数列是等差数列，除利用定义证明an1and外，利用等差中项公式也是一种常用到的方法，即证：2an1anan2(nN*)活学活用1等差数列an的前三项依次为x,2x1,4x2，则它的第5项为_解析：由已知得2(2x1)x4x2，解得x0.故数列前三项依次为0,1,2.ann1.a5514.答案：42若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是_解析：由m和2n的等差中项为4，则m2n8.又由2m和n的等差中项为5，则2mn10.两式相加，得mn6.所以m与n的等差中项为3.答案：33已知正数a，b，c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能成等差数列证明：假设，成等差数列，则.2acb(ac)a，b，c成等差数列2bac.2ac，(ac)20.ac.又2bac，abc.这与a，b，c成等差数列且公差d0矛盾故，不可能成等差数列.等差数列性质的应用典例(1)等差数列an中，已知a2a3a10a1136，求a5a8.(2)数列an中，a3，a10是方程x23x50的两根，若an是等差数列，求a5a8.解(1)法一通项公式法根据题意，有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d36，即2a111d18.而a5a8(a14d)(a17d)2a111d，因此a5a818.法二性质法根据等差数列性质，可得a5a8a3a10a2a1136218.(2)由根与系数的关系知a3a103，故a5a8a3a103.本例求解主要用到了等差数列的性质：若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.活学活用已知等差数列an，(1)若a2a3a25a2648，求a14；(2)若a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解：(1)a2a26a3a252a14，a2a3a25a264a1448.解得a1412.(2)a2a5a3a4，a2a3a4a52(a2a5)34.解得a2a517.又已知a2a552，联立解得a24，a513，或a213，a54.当a24，a513时，d3；当a213，a54时，d3.灵活设元求解等差数列典例(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d. 活学活用已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)由题设知解得或这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.层级一学业水平达标1在等差数列an中，a1a910，则a5_.解析：因为a1a92a510，所以a55.答案：52在等差数列an中，a7a916，a41，则a12_.解析：数列an为等差数列，a7a9a4a12，a1216115.答案：153已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m_.解析：a3a13a6a102a8，且a3a6a10a1332，4a832，a88.d0，m8.答案：84若an是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9_.解析：a1a4a73a445，a415.又a2a5a83a539，a513，da5a42.a3a6a93a63(132)33.答案：335在等差数列an中，a3a1260，a6a7a875，则其通项公式an_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，a6a7a875，3a775.a725.a3a12a7a8，a8602535.da8a710.ana7(n7)d25(n7)1010n45.答案：10n456若等差数列的前三项依次是，那么这个数列的第101项是_解析：由已知得2，解得x2.a1，d.a101100.答案：7在等差数列an中，a18，a52，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是_解析：设新的等差数列的公差为d.由a18，a52，得a35，a2，所以d.答案：8在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为_解析：a4a12a6a102a8，由a4a6a8a10a12120得5a8120，a824，于是2a10a122(a82d)(a84d)a824.答案：249已知等差数列an满足a2a5a89，a3a5a721，求an.解：a2a5a89，a2a82a5，3a59，a53，a3a72a56.又a3a5a721，a3a77.由解得a31，a77或a37，a71，a31，d2或a37，d2.由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.10有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列设该数列为anan780(n1)(20)80020n，解不等式an440，即80020n440，得n18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(80020n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元到乙商场购买，每台售价为80075%600元作差：(80020n)n600n20n(10n)，当n10时，600n(80020n)n，当n10时，600n(80020n)n，当10n18时，(80020n)n18时，440n600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少层级二应试能力达标1(陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.答案：52若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为_解析：a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或23在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为_解析：a2a10a4a82a6，a2a4a6a8a105a680，a616.a7a8(a6d)(a62d)a6168.答案：84在等差数列an中，若a2a34，a4a56，则a9a10_.解析：设等差数列an的公差为d，则有(a4a5)(a2a3)4d2，所以d，又(a9a10)(a4a5)10d5，所以a9a10(a4a5)511.答案：115已知等差数列an中，a3和a15是方程x26x10的两个根，则a7a8a9a10a11_.解析：a3和a15是方程x26x10的两根，a3a152a96，a93，a7a8a9a10a11(a7a11)(a8a10)a95a915.答案：156若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为d，则2a13d2，a1，d，a2，a31，a4，|mn|a1a4a2a3|.答案：7已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数解：设这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.则解得a1，d4.当a1，d4时，这5个数分别为：7，3,1,5,9；当a1，d4时，这5个数分别为：9,5,1，3，7.8下表是一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数先看第1行，由题意4,7，a15，成等差数列，公差d743，则a154(51)316.再看第2行，同理可得a2527.最后看第5列，由题意a15，a25，a45成等差数列，所以a45a153d163(2716)49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j43(j1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j75(j1)；第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j1)j 2 017，j.又jN*，当i1时，得j672.2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列(答案不唯一)第三课时等差数列的前n项和预习课本P4246，思考并完成以下问题 (1)等差数列前n项和的公式是什么？ (2)如何推导等差数列的前n项和？ 等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d1等差数列an中，a11，d1，则Sn_.解析：a11，d1，Snn1.答案：2等差数列an中，a1110，则S21_.解析：S2121a11210.答案：2103已知数列an的通项公式为an23n(nN*)，则an的前n项和Sn_.解析：由an23n，得a11，则Snn2.答案：n24在等差数列an中，a410，a102.若Sn60，则n_.解析：设an的公差为d，则Snn16(2)60，整理得n217n600，n5或n12.答案：5或12等差数列的前n项和的有关计算典例已知等差数列an(1)a1，a15，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d.解(1)a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15或n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用(3)一些常见数列的前n项和公式：1234n.13572n1n2.24682nn2n.活学活用等差数列an中，a1030，S20620.(1)求an；(2)若Sn242，求n.解：(1)设an的公差为d，则由已知得解得ana1(n1)d2n10.(2)由(1)知，Snnn211n.由n211n242，得n11或n22(舍)故n11.等差数列的前n项和性质典例(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为_(2)等差数列an共有2n1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于_(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则_.解析(1)利用等差数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列所以Sn(S3nS2n)2(S2nSn)，即30(S3n100)2(10030)，解得S3n210.(2)因为等差数列共有2n1项，所以S奇S偶an1，即132120，解得n10.(3)由等差数列的性质，知.答案(1)210(2)10(3)等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为k2d的等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.活学活用1一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为_解析：数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100成等差数列，设其公差为D，前10项和为10S10DS10010D22，S110S100S10(111)D10010(22)120.S110120S100110.答案：1102一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：53等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为_解析：因为an2n1，所以a13，所以Snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为310175.答案：75与等差数列前n项和有关的问题题点一：求等差数列前n项和的最值1在等差数列an中，a125，S9S17，求Sn的最大值解：法一：(利用求和公式法)由题意知：S99a1d，S1717a1d.a125，S9S17，即9a136d17a1817d，解得d2，Sn25n(2)n226n，即Sn(n13)2169，当n13时，Sn最大，最大值为S13169.法二：(正负项分界法)因为a1250，S9S17，所以数列an是递减等差数列，若使前n项和最大，只需解即可得出n.a125，S9S17，925d1725d，解得d2.an25(n1)(2)2n27，又nN*，n13.即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13169.题点二：求等差数列前n项绝对值的和2在等差数列an中，a160，a1712，求数列|an|的前n项和解：等差数列an的公差为：d3，所以ana1(n1)d603(n1)3n63.又因为an0时，3n630，n21，所以等差数列an的前20项是负数，第20项以后的项是非负数设Sn和Sn分别表示数列an和|an|的前n项和当020时，SnS20(SnS20)Sn2S2060n2n2n1 260.所以数列|an|的前n项和为：Sn题点三：利用Sn与an关系求an3已知数列an的前n项和公式为Snn223n(nN*)试判断数列an是否是等差 数列解：当n1时，a1S122；当n2时，anSnSn12n24.此时a122适合an2n24，所以an2n24.又an1an2(n1)242n242(常数)，所以数列an是首项为22，公差为2的等差数列1等差数列前n项和的最值问题的三种解法(1)利用an：当a10，d0时，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值；当a10，d0，前n