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第十五章正交曲面坐标系,数学物理方法,定解问题分离变量法直角坐标系：一维线性矩形长方体,圆柱球形正交曲面坐标系,15.1正交曲面坐标系,直角坐标系下任意一点(x,y,z),球坐标,柱坐标,定义,曲面坐标系q1,q2,q3与直角坐标系的关系为,雅可比行列式不为零,其坐标面为三组曲面：q1=常数，q2=常数，q3=常数。,正交曲面坐标系,由通过该点的三个坐标面决定，,q1，q2，q3相互独立,若q1，q2，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。,点a0与其邻点的弧长：,其中，是坐标轴的度规因子，,若gij=giidij，则(q1,q2,q3)为正交曲面坐标系。,令其中,判定,即或,判断柱坐标系为正交曲面坐标系。,可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。,判断球坐标系为正交曲面坐标系。,可知，球坐标系是正交曲面坐标系。,直角坐标系：,正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符：,柱坐标系：,球坐标系：,极坐标系：,补充原点处的有界条件：有界,15.2圆形区域,可采用分离变量法,采用平面极坐标系,圆形区域中的稳定问题,补充周期性条件：,直角坐标下无法分离变量,令，分离变量,定解问题为：,两边同乘以得,若l=0可知：,周期性条件,由周期性条件知：,本征函数,若l0可知：,由周期性条件知：,本征函数,对方程（1）作变换：令，则,因此，当时，本征函数为,本征值l0=0，本征函数：,方程（1）化为：,定解问题的全部特解为：,一般解：,本征值lm=m2，本征函数：,在r=0处，有界，lnr和项的系数为零，即,将一般解代入周期性条件：,利用本征函数的正交性及,可知：,再代入边界条件：,三维空间的稳恒振动问题：,15.3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量,通常要求解的形式为：,这样方程就化为了：,亥姆霍兹方程,T(t)为随时间衰减的因子,柱坐标系下，亥姆霍兹方程的具体形式为：,逐次分离变量，令,代入方程,两边同除以wZ得：,再次分离变量，令,代入方程,得,两边同乘以得,17章柱函数,两边同乘以得,15.4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量,球坐标系下，亥姆霍兹方程的具体形式为：,逐次分离变量，令,代入方程,再次分离变量，令,代入方程（2）,得,即,两边同乘以得,16章球函数,连带勒让德方程,当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即u=u(r,q)
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