上海各区初三数学一模、题.pdf

1 2016 年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析 目录 第一部分 第 24、25 题图文解析 2016 年上海市崇明县中考数学一模第 24、25 题 / 2 2016 年上海市奉贤区中考数学一模第 24、25 题 / 5 2016 年上海市虹口区中考数学一模第 24、25 题 / 8 2016 年上海市黄浦区中考数学一模第 24、25 题 / 11 2016 年上海市嘉定区中考数学一模第 24、25 题 / 14 2016 年上海市静安区青浦区中考数学一模第 24、25 题 / 17 2016 年上海市闵行区中考数学一模第 24、25 题 / 20 2016 年上海市浦东新区中考数学一模第 24、25 题 / 24 2016 年上海市普陀区中考数学一模第 24、25 题 / 28 2016 年上海市松江区中考数学一模第 24、25 题 / 31 2016 年上海市徐汇区中考数学一模第 24、25 题 / 34 2016 年上海市杨浦区中考数学一模第 24、25 题 / 38 2016 年上海市闸北区中考数学一模第 24、25 题 / 41 2016 年上海市长宁区金山区中考数学一模第 24、25 题 / 45 2016 年上海市宝山区中考数学一模第 25、26 题 / 48 2 例 2016 年上海市崇明县中考一模第 24 题 如图 1，在直角坐标系中，一条抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 B(3, 0)，C(0, 4)，点 A 在 x 轴的 负半轴上，OC4OA （1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标； （2）联结 AC、BC，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点， 过点 P 作 PM/BC 交射线 AC 于 M，联结 CP，若CPM 的面 积为 2，则请求出点 P 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 崇明一模 24” ，拖动点 P 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验 到，有两个时刻，CPM 的面积为 2 满分解答 （1）由C(0, 4)，OC4OA，得OA1，A(1, 0) 设抛物线的解析式为 ya(x1)(x3)，代入点 C(0, 4)，得 43a 解得 4 3 a 所以 2 44 (1)(3)(23) 33 yxxxx 2 416 (1) 33 x 顶点坐标为 16 (1) 3 ， （2）如图 2，设 P(m, 0)，那么 APm1 所以 SCPA 1 2 AP CO 1 (1) 4 2 m2m2 由 PM/BC，得 CMBP CABA 又因为 CPM CPA SCM SCA ，所以 SCPM (22) BP m BA 如图 2，当点 P 在 AB 上时，BP3m 解方程 3 (22) 4 m m 2，得 m1此时 P(1, 0) 如图 3，当点 P 在 AB 的延长线上时，BPm3 解方程 3 (22) 4 m m 2，得1 2 2m 此时 P(1 2 2,0) 图 2 图 3 3 例 2016 年上海市崇明县中考一模第 25 题 如图 1，已知矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合） ， 过点 E 作 EFAE 交 AC、CD 于点 M、F， 过点 B 作 BGAC， 垂足为 G， BG 交 AE 于点 H （1）求证：ABHECM； （2）设 BEx， EH EM y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE 为等腰三角形时，求 BE 的长 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“16 崇明一模 25” ，拖动点 E 在 BC 上运动，可以体验到，有三 个时刻，BHE 可以成为为等腰三角形 满分解答 （1）如图 2，因为1 和2 都是BAC 的余角，所以12 又因为BAH 和CEM 都是AEB 的余角，所以BAHCEM 所以ABHECM 图 2 图 3 （2）如图 3，延长 BG 交 AD 于 N 在 RtABC 中，AB6，BC8，所以 AC10 在 RtABN 中，AB6，所以 ANABtan1 3 4 AB 9 2 ，BN 15 2 如图 2，由 AD/BC，得 9 2 AHAN EHBEx 由ABHECM，得 6 8 AHAB EMECx 所以 y EH EM AHAH EMEH 69 82xx 12 729 x x 定义域是 0x8 4 （3）如图 2，由 AD/BC，得 9 2 NHAN BHBEx 所以 29 2 BNx BHx 所以 215 292 x BH x 15 29 x x 在BHE中，BEx，cosHBE 3 5 ， 15 29 x BH x 分三种情况讨论等腰三角形BHE： 如图4，当BEBH时，解方程 15 29 x x x ，得x3 如图5，当HBHE时， 1 cos 2 BEBHB解方程 1153 2295 x x x ，得 9 2 x 如图6，当EBEH时， 1 cos 2 BHBEB解方程 1153 2295 x x x ，得 7 4 x 图4 图5 图6 5 例 2016 年上海市奉贤区中考一模第 24 题 如图 1，二次函数 yx2bxc 的图像经过原点和点 A(2, 0)，直线 AB 与抛物线交于点 B，且BAO45 （1）求二次函数的解析式及顶点 C 的坐标； （2）在直线 AB 上是否存在点 D，使得BCD 为直角三 角形，若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 奉贤一模 24” ，可以体验到，以 BC 为直径的圆恰好经过点 A，直角三角形 BCD 存在两种情况 满分解答 （1）因为抛物线yx2bxc与x轴交于O、A(2, 0)两点， 所以yx(x2)(x1)21 顶点 C 的坐标为(1,1) （2）如图 2，作 BHx 轴于 H设 B(x, x22x) 由于BAH45，所以 BHAH 解方程 x22x2x，得 x1，或 x2 所以点 B 的坐标为(1, 3) 图 2 BDC90 如图 3，由 A(2, 0)、C(1,1)，可得CAO45因此BAC90 所以当点 D 与点 A(2, 0)重合时，BCD 是直角三角形 BCD90由 A(2, 0)、B(1, 3)，可得直线 AB 的解析式为 yx2 【解法一】如图 4，过点 C 作 BC 的垂线与直线 AB 交于点 D设 D(m,m2 ) 由 BD2BC2CD2，得(m1)2(m1)22242(m1)2(m3)2 解得 7 3 m 此时点 D 的坐标为 71 ( ,) 33 【解法二】构造BMCCND，由 BMCN MCND ，得 41 23 m m 解得 7 3 m 图2 图3 图4 6 例 2016 年上海市奉贤区中考一模第 25 题 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，点 D 是斜边 AB 上任意一点， 联结 DC，过点 C 作 CECD，联结 DE，使得EDCA，联结 BE （1）求证：ACBEBCAD； （2）设 ADx，四边形 BDCE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出定义 域； （3）当 SBDE 1 4 SABC时，求 tanBCE 的值 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名 “16 奉贤一模25” ， 拖动点E 在AD 边上运动， 可以体验到， ABC 与DEC 保持相似，ACD 与BCE 保持相似，BDE 是直角三角形 满分解答 （1）如图 2，在 RtBAC 和 RtEDC 中，由 tanAtanEDC，得 BCEC ACDC 如图 3，已知ACBDCE90，所以12 所以ACDBCE所以 ACBC ADBE 因此 ACBEBCAD 图 2 图 3 （2）在 RtABC 中，AB5，BC3，所以 AC4所以 SABC6 如图 3，由于ABC 与ADC 是同高三角形，所以 SADCSABCADABx5 所以 SADC 6 5 x所以 SBDC 6 6 5 x 由ADCBEC，得 SADCSBECAC2BC2169 所以 SBEC 9 16 SADC 96 165 x 27 40 x 所以 SS四边形BDCESBDCSBEC 627 6 540 xx 21 6 40 x 7 定义域是 0x5 （3）如图 3，由ACDBCE，得 ACBC ADBE ，ACBE 由 43 xBE ，得 BE 3 4 x 由ACBE，A 与ABC 互余，得ABE90（如图 4） 所以 SBDE 1133 (5)(5) 2248 BD BExxx x 当 SBDE 1 4 SABC 13 6 42 时，解方程 33 (5) 82 x x，得 x1，或 x4 图 4 图 5 图 6 作 DHAC 于 H 如图 5，当 xAD1 时，在 RtADH 中，DH 3 5 AD 3 5 ，AH 4 5 AD 4 5 在 RtCDH 中，CHACAH 416 4 55 ，所以 tanHCD DH CH 3 16 如图 6，当 xAD4 时，在 RtADH 中，DH 3 5 AD12 5 ，AH 4 5 AD16 5 在 RtCDH 中，CHACAH 164 4 55 ，所以 tanHCD DH CH 3 综合、，当SBDE 1 4 SABC时， tanBCE的值为 3 16 或3 8 例 2016 年上海市虹口区中考一模第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3 与 x 轴分别交于点 A(2, 0)、点 B （点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C，tanCBA 1 2 （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为 D，求四边形 ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点 E 在第一象限，BCE 是以 BC 为 一条直角边的直角三角形，请直接写出点 E 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 虹口一模 24” ，可以体验到，以 BC 为直角边的直角三角形 BCE 有 2 个 满分解答 （1）由 yax2bx3，得 C(0, 3)，OC3 由 tanCBA OC OB 1 2 ，得 OB6，B(6, 0) 将 A(2, 0)、B(6, 0)分别代入 yax2bx3，得 4230, 36630. ab ab 解得 1 4 a ，b2所以 22 11 23(4)1 44 yxxx （2）如图 2，顶点 D 的坐标为(4,1) S四边形ACBDSABCSABD 11 2 3+2 1 22 4 （3）如图 3，点 E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)思路如下：设 E 2 1 ( ,23) 4 xxx 当CBE90时，过点 E 作 EFx 轴于 F，那么2 EFBO BFCO 所以 EF2BF 解方程 2 1 232(4) 4 xxx，得 x10，或 x4此时 E(10, 8) 当BCE90时，EF2CF 解方程 2 1 22 4 xxx，得 x16，或 x0此时 E(16, 35) 图2 图3 9 例 2016 年上海市虹口区中考一模第 25 题 如图 1，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，联结 BF 并延 长交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H设 ADEF x ABAF （1）当 x1 时，求 AGAB 的值； （2）设 GDH EBA S S y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）当 DH3HC 时，求 x 的值 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“16 虹口一模 25” ，拖动点 B 可以改变平行四边形的邻边比， 可以体验到，当菱形 ABCD 时，G 是 AD 的中点，GDH 与EBA 保持相似还可以体验 到，DH3HC 存在两种情况 满分解答 （1）如图 2，当 x1 时，ADAB，F 是 AE 的中点 因为 AD/CB，所以 AGBE 1 2 BC 1 2 AD 1 2 AB 所以 AGAB12 （2）如图 3，已知 ADEF x ABAF ，设 ABm，那么 ADxm，BE 1 2 xm 由 AD/BC，得 BEEF x AGAF 所以 1 2 BE AGm x 所以 DG 1 2 xmm 图 2 图 3 图 4 如图 4，延长 AE 交 DC 的延长线于 M 因为 GH/AE，所以GDHADM 因为 DM/AB，所以EBAADM 所以GDHEBA 10 所以 y GDH EBA S S 2 () DG BE 22 11 ()() 22 xmmxm 2 2 (21)x x （3）如图 5，因为 GH/AM，所以 11 ()21 22 DHDG xmmmx HMGA 因为 DM/AB，E 是 BC 的中点，所以 MCABDC DH3HC 存在两种情况： 如图 5，当 H 在 DC 上时， 3 5 DH HM 解方程 3 21 5 x ，得 4 5 x 如图 6，当 H 在 DC 的延长线上时，3 DH HM 解方程213x ，得 4 5 x 图5 图6 11 例 2016 年上海市黄浦区中考一模第 24 题 如图 1， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yax23axc 与 x 轴交于 A(1, 0)、 B 两点 （点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C(0, 2) （1）求抛物线的对称轴及点 B 的坐标； （2）求证：CAOBCO； （3） 点 D 是射线 BC 上一点（不与 B、 C 重合） ， 联结 OD，过点 B 作 BEOD，垂足为BOD 外一点 E，若BDE 与ABC 相似，求点 D 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 黄浦一模 24” ，拖动点 D 在射线 BC 上运动，可以体验到， 当点 E 在BOD 外时，有两个时刻，RtBDE 的两条直角边的比为 12 满分解答 （1）由 yax23axc，得抛物线的对称轴为直线 3 2 x 因此点 A(1, 0)关于直线 3 2 x 的对称点 B 的坐标为(4, 0) （2）如图 2，因为 tanCAO2 CO AO ，tanBCO2 BO CO ，所以CAOBCO （3）由 B(4, 0)、C(0, 2)，得直线 BC 的解析式为 1 2 2 yx 设 D 1 ( ,2) 2 xx 以ABC（OBC）为分类标准，分两种情况讨论： 如图 3，当OBCDBE 时，由于OBC 与OCB 互余，DBE 与ODC 互余， 所以OCBODC此时 ODOC2 根据 OD24，列方程 22 1 +(2)4 2 xx解得 x0，或 8 5 x 此时 D 8 6 ( , ) 5 5 如图 4，当OBCEDB 时，ODOB4 根据 OD216， 列方程 22 1 +(2)16 2 xx 解得 x4， 或 12 5 x 此时 D 12 16 (,) 55 图2 图3 图4 12 例 2016 年上海市黄浦区中考一模第 25 题 如图 1，已知直线 l1/l2，点 A 是 l1上的点，B、C 是 l2上的点，ACBC，ABC60， AB4，O 是 AB 的中点，D 是 CB 的延长线上的点，将DOC 沿直线 CO 翻折，点 D 与点 D重合 （1）如图 1，当点 D 落在直线 l1上时，求 DB 的长； （2）延长 DO 交直线 l1于点 E，直线 OD分别交直线 l1、l2于点 M、N 如图 2，当点 E 在线段 AM 上时，设 AEx，DNy，求 y 关于 x 的解析式及定义域； 若DON 的面积为 3 3 2 ，求 AE 的长 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“16 黄浦一模 25” ，拖动点 D 在 CB 的延长线上运动，可以体验 到，CD与 AB 保持平行，BON 与BDO 保持相似还可以体验到，有两个时刻 DN3 满分解答 （1）如图 3，在 RtABC 中，ABC60，AB4，O 是 AB 的中点，所以OBC 是边长为 2 的等边三角形 又因为DOC 与DOC 关于 CO 对称， 所以BCD120，CDCD 所以 AB/DC 当点 D 落在直线 l1上时， AD/BC 所以四边形 ABCD是平行四边形 所以 CDBA4 此时 BDCDCBCDCB422 图 3 （2）如图 4，由于 AE/BD，O 是 AB 的中点，所以 AEBDx 因为 AB/DC，所以AOM2 又因为AOMBON，21，所以BON1 又因为OBNDBO，所以BONBDO 所以 BOBD BNBO 因此 2 2 x xy 于是得到 2 4x y x 定义域是 0x2 在DON 中，DN 边上的高为3 当 SDON 3 3 2 时，DN3有两种情形： 13 情形1，如图4，当D在BN上时，DN 2 4x y x 3，解得x1，或x4 此时AE1 情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由 BOBD BNBO ，得 2 2 x xy 于是得到 2 4x y x 当DN 2 4x y x 3时，解得x4，或x1此时AE4 图4 图5 14 例 2016 年上海市嘉定区中考一模第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 yxbxc经过点 A(4, 0)、点 C(0,4)，点 B 与点 A 关于这条抛物线的对称轴对称 （1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结 AC、BC，求ACB 的正弦值； （3）点 P 是这条抛物线上的一个动点，设点 P 的横 坐标为 m（m0） ，过点 P 作 y 轴的垂线 PQ，垂足为 Q， 如果QPOBCO，求 m 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 嘉定一模 24” ，可以体验到，QOQPOBOC 满分解答 （1）将A(4, 0)、C(0,4)分别代入 2 1 2 yxbxc，得 840, 4. bc c 解得b1，c4所以 2 1 4 2 yxx 1 (2)(4) 2 xx 2 19 (1) 22 x 点 B 的坐标是(2, 0)，顶点坐标是 9 (1,) 2 （2）由 A(4, 0)、B(2, 0)、C(0,4)，得 AC4 2，BC2 5，AB6，CO4 作 BHAC 于 H 由 SABC 1 2 AB CO 1 2 AC BH得 AB CO BH AC 24 4 2 3 2 因此 sinACB BH BC 3 2 2 5 3 10 10 （3）点 P 的坐标可以表示为 2 1 ( ,4) 2 mmm 由tanQPOtanBCO，得 1 2 QOOB QPOC 所以QP2QO 解方程 2 1 2(4) 2 mmm，得 341 2 m 图2 所以点P的横坐标m 341 2 15 例 2016 年上海市嘉定区中考一模第 25 题 如图 1，已知ABC 中，ABC90，tanBAC 1 2 点 D 在 AC 边的延长线上，且 DB2DCDA （1）求 DC CA 的值； （2）如果点 E 在线段 BC 的延长线上，联结 AE，过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 F， 交 AE 于点 G 如图 2，当 CE3BC 时，求 BF FG 的值； 如图 3，当 CEBC 时，求 BCD BEG S S 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 嘉定一模 25” ，拖动点 E 运动，可以体验到，当 CE3BC 时，BD/AE，BG 是直角三角形 ABE 斜边上的中线当 CEBC 时，ABFBEH，AF 2EH4CF 满分解答 （1）如图 1，由 DB2DCDA，得 DBDA DCDB 又因为D 是公共角，所以DBCDAB所以 DBBCCD DAABBD 又因为 tanBAC BC AB 1 2 ，所以 1 2 CDBD， 1 2 BDDA 所以 1 4 CDDA所以 1 3 DC CA （2）如图 4，由DBCDAB，得12 当 BFCA 时，13，所以23 因为 1 3 DC CA ，当 CE3BC 时，得 DCBC CACE 所以 BD/AE 所以 1 3 BD EA ，2E所以3E所以 GBGE 于是可得 GB 是 RtABE 斜边上的中线所以 2 3 BD GA 所以 2 3 BFBD FGGA 16 如图 5，作 EHBG，垂足为 H 当CEBC时，CF是BEH的中位线，BFFH 设CFm由tan1tan3 1 2 ，得BF2m，AF4m 所以FH2m，EH2m，DC 15 33 CAm 因此 4 2 2 FGAFm HGEHm 所以 24 33 FGFHm所以 10 3 BGm 于是 51 2 1 32 110 2 3 23 BCD BEG mmDC BF S S BG EHmm 图4 图5 17 例 2016 年上海市静安区青浦区中考一模第 24 题 如图 1，直线1 2 1 xy与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，二次函数的图像与 y 轴相交 于点 C，与直线1 2 1 xy相交于点 A、D，CD/x 轴，CDAOCA （1）求点 C 的坐标； （2）求这个二次函数的解析式 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 静安青浦一模 24” ，可以体验到，AOB 与COA 相似 满分解答 （1）由1 2 1 xy，得A(2, 0)，B(0, 1)所以OA2，OB1 由于CD/x轴，所以CDA1 又已知CDAOCA，所以1OCA 由tan1tanOCA，得 OBOA OAOC 所以 12 2OC 解得OC4所以C(0, 4) （2）因为 CD/x 轴，所以 yDyC4 图 2 解方程 1 14 2 x ，得x6所以D(6, 4) 所以抛物线的对称轴为直线x3因此点A(2, 0)关于直线x3的对称点为(8, 0) 设抛物线的解析式为ya(x2)(x8)代入点C(0, 4)，得416a 解得 1 4 a 所以 2 113 (2)(8)4 442 yxxxx 18 例 2016 年上海市静安区青浦区中考一模第 25 题 如图 1，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ACBC10，cosACB 4 5 ，点 E 在对角线 AC 上，且 CEAD，BE 的延长线与射线 AD、射线 CD 分别相交于点 F、G设 ADx，AEF 的面积为 y （1）求证：DCAEBC； （2）当点 G 在线段 CD 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果DFG 是直角三角形，求AEF 的面积 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 静安青浦一模 25” ，拖动点 D 运动，可以体验到，直角三 角形 DFG 存在两种情况 满分解答 （1）如图 2，因为 AD/BC，所以DACECB 又因为 ACCB，ADCE，所以ADCCEB所以DCAEBC （2）如图 3，作 EHBC 于 H 在 RtEHC 中，CEx，cosECB 4 5 ，所以 CH 4 5 x，EH 3 5 x 所以 SCEB 1 2 BC EH 13 10 25 x3x 因为 AD/BC，所以AEFCEB所以 2 () AEF CEB SAE SCE 所以 2 2 103(10) ()3 AEF xx ySx xx 定义域是 0x5 55 定义域中 x5 55的几何意义如图 4，D、F 重合，根据 ADAE CBCE ，列方程 10 10 xx x 图 2 图 3 图 4 19 （3）如图 5，如果FGD90，那么在 RtBCG 和 RtBEH 中， tanGBC 3 3 5 104504 x GCHEx GBHBxx 由（1）得ACDCBE 由cosACDcosCBE，得 GCGB CEBC 所以 10 GCCEx GBBC 因此 3 50410 xx x 解得x5此时SAEF 2 3(10) 15 x y x 如图6，如果FDG90，那么在RtADC中，ADACcosCAD 4 10 5 8 此时SAEF 2 3(10)3 2 x y x 图5 图6 20 例 2016 年上海市闵行区中考一模第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2bxc 的图像与 x 轴交于 A、B 两点， 点 B 的坐标为(3, 0)，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上的任意一点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）联结 PO，PC，并将POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POPC，如果四边形 POPC 为菱形，求点 P 的坐标； （3）如果点 P 在运动过程中，使得以 P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，请求 出此时点 P 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闵行一模 24” ，拖动点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动， 可以体验到，当四边形 POPC 为菱形时，PP垂直平分 OC还可以体验到，当点 P 与抛物 线的顶点重合时，或者点 P 落在以 BC 为直径的圆上时，PCB 是直角三角形 满分解答 （1）将B(3, 0)、C(0,3)分别代入yx2bxc，得 930, 3. bc c 解得b2，c3 所以二次函数的解析式为yx22x3 （2）如图 2，如果四边形 POPC 为菱形，那么 PP垂直平分 OC，所以 yP 3 2 解方程 2 3 23 2 xx ，得 210 2 x 所以点 P 的坐标为 2103 (,) 22 图 2 图 3 图 4 （3）由 yx22x3(x1)(x3)(x1)24，得 A(1, 0)，顶点 M(1,4) 在 RtAOC 中，OAOC13分两种情况讨论PCB 与AOC 相似： 21 如图 3，作 MNy 轴于 N 由B(3, 0)、C(0,3)，M(1,4)，可得BOCMCN45，所以BCM90 又因为CMCB13，所以当点P与点M(1,4)重合时，PCBAOC 如图4，当BPC90时，构造AEPPFB，那么 CEPF EPFB 设P(x, x22x3)，那么 2 2 ( 3)(23)3 (23) xxx xxx 化简，得 1 (2) 1 x x 解得 15 2 x 此时点P的横坐标为 15 2 x 而 2 (23)3 2 CBNBxx x CPMPxx 是个无理数， 所以当BPC90时， PCB 与AOC不相似 22 例 2016 年上海市闵行区中考一模第 25 题 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD，ABC90，对角线 AC、BD 交于点 G，已 知 ABBC3，tanBDC 1 2 ，点 E 是射线 BC 上任意一点，过点 B 作 BFDE，垂足为 F，交射线 AC 于点 M，交射线 DC 于点 H （1）当点 F 是线段 BH 的中点时，求线段 CH 的长； （2）当点 E 在线段 BC 上时（点 E 不与 B、C 重合） ，设 BEx，CMy，求 y 关于 x 的函数解析式，并指出 x 的取值范围； （3）联结 GF，如果线段 GF 与直角梯形 ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求 x 的值 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闵行一模 25” ，拖动点 E 在射线 BC 上运动，可以体验到， 点 G 是 BD 的一个三等分点， CH 始终都有 CE 的一半 还可以体验到， GF 可以与 BC 垂直， 也可以与 DC 垂直 满分解答 （1）在 RtBCD 中，BC3，tanBDC BC DC 1 2 ，所以 DC6，DB3 5 如图 2，当点 F 是线段 BH 的中点时，DF 垂直平分 BH，所以 DHDB3 5 此时 CHDBDC3 56 图 2 图 3 23 （2）如图 3，因为CBH 与CDE 都是BHD 的余角，所以CBHCDE 由 tanCBHtanCDE，得 CHCE CBCD ，即 3 36 CHx 又因为 CH/AB，所以 CHMC ABMA ，即 33 2 CHy y 因此 3 63 2 xy y 整理，得 3 2(3) 3 x y x x 的取值范围是 0x3 （3）如图 4，不论点 E 在 BC 上，还是在 BC 的延长线上，都有 1 2 BGAB GDDC ， 1 2 CHCE 如图 5，如果 GFBC 于 P，那么 AB/GF/DH 所以 1 3 BPPFBG BCCHBD 所以 BP1， 111 (3) 366 PFCHCEx 由 PF/DC，得 PFPE DCCE ，即 12(3) (3) 363 x x x 整理，得 2 42450 xx解得21 6 11x 此时21 6 11BE 如图 6，如果 GFDC 于 Q，那么 GF/BE 所以 2 3 QFDQDG CEDCDB 所以 DQ4， 2 (3) 3 QFx 由 QF/BC，得 QFQH BCCH ，即 21 (3)2(3) 32 1 3 (3) 2 xx x 整理，得 2 23450 xx解得 33 41 4 x 此时 33 41 4 BE 图4 图5 图6 24 例 2016 年上海市浦东新区中考一模第 24 题 如图 1，抛物线 yax22axc（a0）与 x 轴交于 A(3,0)、B 两点（A 在 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C(0,3)，抛物线的顶点为 M （1）求 a、c 的值； （2）求 tanMAC 的值； （3）若点 P 是线段 AC 上的一个动点，联结 OP问： 是否存在点 P， 使得以点 O、 C、 P 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 浦东一模 24” ，拖动点 P 在线段 AC 上运动，可以体验到， COP 与ABC 相似存在两种情况 满分解答 （1）将 A(3,0)、C(0,3)分别代入 yax22axc，得 960, 3. aac c 解得 a1，c3 （2）由 yx22x3(x1)24，得顶点 M 的坐标为(1,4) 如图 2，作 MNy 轴于 N 由 A(3,0)、C(0,3)、M(1,4)，可得 OAOC3，NCNM1 所以ACOMCN45，AC3 2，MC2 所以ACM90因此 tanMAC MC AC 1 3 （3）由 yx22x3(x3)(x1)，得 B(1, 0)所以 AB4 如图 3，在COP 与ABC 中，OCPBAC45，分两种情况讨论它们相似： 当 CPAB COAC 时， 4 33 2 CP 解得2 2CP 此时点P的坐标为(2,1) 当 CPAC COAB 时， 3 2 34 CP 解得 9 2 4 CP 此时点P的坐标为 93 (,) 44 图2 图3 25 例 2016 年上海市浦东新区中考一模第 25 题 如图 1， 在边长为 6 的正方形 ABCD 中， 点 E 为 AD 边上的一个动点 （与 A、 D 不重合） ， EBM45，BE 交对角线 AC 于点 F，BM 交对角线于点 G，交 CD 于点 M （1）如图 1，联结 BD，求证：DEBCGB，并写出 DE CG 的值； （2）如图 2，联结 EG，设 AEx，EGy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的 定义域； （3）当 M 为边 DC 的三等分点时，求 SEGF的面积 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“16 浦东一模 25” ，拖动点 E 在 AD 边上运动，可以体验到， EBD 与GBC 保持相似，EBG 保持等腰直角三角形 满分解答 （1）如图3，因为EBMDBC45，所以12 又因为EDBGCB45，所以DEBCGB 因此2 DEDB CGCB 图3 图4 （2）如图3，由DEBCGB，得 EBDB GBCB 又因为EBMDBC45，所以EBGDBC（如图4） 所以EBG是等腰直角三角形 如图4，在RtABE中，AB6，AEx，所以BE 2 36x 所以yEG 2 2 BE 2 2 36 2 x 2 272 2 x 定义域是0x6 26 （3）如图5，由于SEGB 1 2 EG2 2 36 4 x ， EGF EGB SEF SEB ， 所以 2 36 4 EGF EFx S EB 由（1）知，DE2CG，所以 xAEADDE62CG 如图6，当 1 3 CM CD 时， 1 3 CGCM AGAB 所以 113 6 22 442 CGCA 此时xAE62CG3所以 31 62 EFAE BFCB 所以 1 3 EF EB 所以 2 36 4 EGF EFx S EB 2 1336 34 15 4 如图7，当 2 3 CM CD 时， 2 3 CGCM AGAB 所以 2212 6 22 555 CGCA 此时xAE62CG 6 5 所以 61 6 55 EFAE BFCB 所以 1 6 EF EB 所以 2 36 4 EGF EFx S EB 2 6 ( )36 1 5 64 39 25 图5 图6 图7 第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG： 如图8，作GHEB于H，那么GBH是等腰直角三角形 一方面 2 2 GBCB EBDB ，另一方面 2 cos45 2 HB GB ，所以 GBHB EBGB 于是可得EBGGBH所以EBG是等腰直角三角形 如图9，第（2）题也可以构造RtEGN来求斜边EGy： 在RtAEN中，AEx，所以ANEN 2 2 x 又因为CG 2 2 DE 2 (6) 2 x，所以GNACANCG3 2 27 所以yEG 22 ENGN 22 2 ()(3 2) 2 x 2 272 2 x 如图10，第（2）题如果构造RtEGQ和RtCGP，也可以求斜边EGy： 由于CG 2 2 DE 2 (6) 2 x，所以CPGP 2 2 CG 1 (6) 2 x 1 3 2 x 所以GQPD 1 6(3) 2 x 1 3 2 x，EQ 1 6(3) 2 xx 1 3 2 x 所以yEG 22 GQEQ 22 11 (3)(3) 22 xx 2 272 2 x 图8 图9 图10 28 例 2016 年上海市普陀区中考一模第 24 题 如图 1，已知二次函数 2 7 3 yaxxc的图像经过 A(0, 8)、B(6, 2)、C(9, m)三点，延长 AC 交 x 轴于点 D （1）求这个二次函数的解析式及 m 的值； （2）求ADO 的余切值； （3）过点 B 的直线分别与 y 轴的正半轴、x 轴、 线段 AD 交于点 P （点 A 的上方） 、M、Q，使以点 P、 A、Q 为顶点的三角形与MDQ 相似，求此时点 P 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 普陀一模 24” ，拖动点 Q 在