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精品文档 工程数学概率统计练习题 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?两次出现的面相同； 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?一分钟内呼叫次数不超过3次； 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?寿命在2000到2500小时之间。 解 ?,， A?,. 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则 ?X?k|k?0,1,2,?， A?X?k|k?0,1,2,3. 记X为抽到的灯泡的寿命，则 ?X?， A?X?. B?取2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A?取得球的号码是偶数， 得球的号码是奇数，C?取得球的号码小于5，问下列运算表示什么事件： A?B；AB；AC；AC；B?C；A?C. 解 A?B?是必然事件； AB?是不可能事件； AC?取得球的号码是2，4； AC?取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10； ?取得球的号码为奇数，且不小于5?取得球的号码为5，7，9； B?C?取得球的号码是不小于5的偶数?取得球的号码为6，8，10； A?C?A?取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6，8，10 ?1?13? 3. 在区间0,2上任取一数，记A?x?x?1?，B?x?x?，求下列事件的表达式： 2?2?4A?B；B；A；A?. ?13? 解 A?B?x?x?; 2?4 ?11 B?x0?x?或1?x?2?B?x?x? 2?4 因为A?B，所以A?； 1? ?x?x?2?3?;? ?13113 A?A?x0?x?或?x?2?x0?x?或?x?1或?x?2?. 用事件A,B,C 42422? 的运算关系式表示下列事件： A出现，B,C都不出现； A,B都出现，C不出现； 所有三个事件都出现； 三个事件中至少有一个出现； 三个事件都不出现； 不多于一个事件出现； 不多于两个事件出现； 三个事件中至少有两个出现。 解 E1?A； E2?AB；E3?ABC； E4?A?B?C； E5?； E6?A?B?C； E7?ABC?；E8?AB?AC?BC. 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次 抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件： 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； 只有第一次抽到废品； 三次都抽到废品； 至少有一次抽到合格品； 只有两次抽到废品。 解 A1?A2；A1A2A3；A1A2A3； A1?A2?A3； A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3. 6. 接连进行三次射击，设Ai=第i次射击命中，i?1,2,3，B?三次射击恰好命中二次，C?三次射击至少命中二次；试用Ai表示B和C。 解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A C?A1A2?A1A3?A2A3 习题二解答 1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 ?50? 解 这是不放回抽取，样本点总数n?3?，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数 ? ?45?5?k?2?1?. 于是 ? ?45?5?k?2?1?45?44?5?3!?9P?n50?49?48?2!392?50? ?3? 2一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 第一次、第二次都取到红球的概率； 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； 二次取得的球为红、白各一的概率； 第二次取到红球的概率。 解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n?72. 记题求概率的事件分别为A,B,C,D. 25?5? 有利于A的样本点数kA?52，故 P? 749? 5?210 有利于B的样本点数kB?5?2，故 P?2? 49720 有利于C的样本点数kC?2?5?2，故 P? 49 7?5355 ?. 有利于D的样本点数kD?7?5，故 P?2? 4977 3一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求： 最小号码是3的概率； 最大号码是3的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数n?6?5. 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 2?31 ?. 样本点数为2?3，所求概率为 6?55 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2?2， 2 2?22 ?.?515 4一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率： 只都合格； 1只合格，1只不合格； 至少有1只合格。 解 分别记题、涉及的事件为A,B,C，则 ?4?2?4?3?22?P? ?6?6?5?25?2?4?2?1?1?4?2?28?P? 6?515?6? ?2? 注意到C?A?B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知 2814 P?P?P? 51515 5掷两颗骰子，求下列事件的概率： 点数之和为7； 点数之和不超过5； 点数之和为偶数。 解 分别记题、的事件为A,B,C,样本点总数n?6A含样本点, 61 ?P?2? 66 B含样本点, 105 ?P?2? 186 C含样本点,;, ,;,;, 一共18个样本点。 181? ?P? 362 6把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。 解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为5?4?3，所以?4?312 P?. 255 7总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： 事件A：“其中恰有一位精通英语”； 事件B：“其中恰有二位精通英语”； 事件C：“其中有人精通英语”。 ?5? 解 样本点总数为?3? ? 所求概率为 ?2?3?1?2?2?3?3!63? P?； 5?4?3105?5? ?3? ?2?3?2?1?3?3!?3； P? 5?4?310?5? ?3? 因C?A?B，且A与B互斥，因而 339 ?. P?P?P? 51010 8设一质点一定落在xOy平面内由x 解 记求概率的事件为A，则SA 为图中阴影部分，而|?|?1/2， 11?2?155|SA|? 22?3?2918 最后由几何概型的概率计算公式可得 |S|5/185P?A?. |?|1/29 图2.9 10已知A?B，P?0.4，P?0.6，求 P,P；P；P；P,P；P. 解 P?1?P?1?0.4?0.6，P?1?P?1?0.6?0.4； P?P?P?P?P?P?P?P?0.6； P?P?0.4； P?P?P?0, P?P?1?P?1?0.6?0.4; P?P?0.6?0.4?0.2. 11设A,B是两个事件，已知P?0.5，P?0.7，P?0.8，试求P及P. 解 注意到 P?P?P?P，因而P?P?P ?P?0.5?0.7?0.8?0.4. 于是，P?P?P?P ?0.5?0.4?0.1；P?P?P?P?0.7?0.4?0.3. 2 习题三解答 1已知随机事件A的概率P?0.5，随机事件B的概率P?0.6，条件概率P?0.8，试求P及P. 解 P?PP?0.5?0.8?0.4 P?P?1?P?1?P?P?P ?1?0.5?0.6?0.4?0.3 2一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次，求第三次才取得正品的概率。 10?9?90819 ?解 p?. 100?99?9899?981078 3某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解 记A?基金，B?股票，则P?0.58,P?0.28,P?0.19 P0.19 ?0.327. P0.58P0.19 P?0.678. P0.28 4给定P?0.5，P?0.3，P?0.15，验证下面四个等式： P? P?P,P?P, P?P，P?P. P0.151 ?P 解 P? P0.32 PP?P0.5?0.150.35 P?0.5?P P1?P0.70.7P0.15 P?0.3?P P0.5 PP?P0.3?0.150.15 ?P P1?P0.50.5 5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 P? 解 B?迟到，A1?坐火车，A2?坐船，A3?坐汽车，A4?乘飞机，则 B?BAi， i?14 且按题意 P?0.25，P?0.3，P?0.1，P?0. 由全概率公式有： P?PP?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145 i?14 6已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 记B?该球是红球，A1?取自甲袋，A2?取自乙袋，已知P?6/10，P?8/14，所以 161841 P?PP?PP? 21021470 147? P? 2412 7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。 解 0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45% 8发报台分别以概率0.6，0.4发出”?”和”?”，由于通信受到干扰，当发出”?”时，分别以概率0.8和0.2收到”?”和”?”，同样，当发出信号”?”时，分别以0.9和0.1的概率收到”?”和”?”。求 收到信号”?”的概率； 当收到”?”时，发出”?”的概率。 解 记 B?收到信号”?”，A?发出信号”?” P?PP?PP ?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52 PP0.6?0.812 ?. P? P0.5213 9设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次 工程数学期末复习要点 邹斌 现在主要讨论工程数学这门课程的考核要求，08秋工程数学考试形式为半开卷，行考比例占30%，我们将分章节复习。 本课程分线性代数和概率统计两部分共7章内容。分别是行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。 第一部分 线性代数 一、行列式复习要求 知道n阶行列式的递归定义； 掌握利用性质计算行列式的方法； 知道克莱姆法则。 考核要求：行列式性质的计算 二、矩阵复习要求 理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义； 熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算； 掌握方阵乘积行列式定理； 理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件； 熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法； 理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 会分块矩阵的运算。 考核要求：矩阵乘法 求逆矩阵初等行变换法 求矩阵的秩 三、线性方程组复习要求 掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性； 会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法； 理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性； 熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法； 了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 考核要求：线性相关性 会求向量组的极大线性无关组 线性方程组的判定定理 熟练掌握齐次和非齐次方程组的基础解系和通解的求法 四、矩阵的特征值及二次型复习要求 理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法； 了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质； 知道正交矩阵的定义和性质； 理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法； 了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。 考核要求：掌握特征值与特征向量的求法 熟练掌握用配方法化二次型为标准形的方法 第二部分概率论与数理统计 一、随机事件与概率复习要求 了解随机事件、概率等概念； 掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质； 了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题； 熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式； 理解事件独立性概念； 掌握贝努里概型。 考核要求：随机事件的运算和性质 会求解较简单的古典概型问题 熟练掌握概率的加法公式和乘法公式及条件概率 熟练掌握全概率公式 二、随机变量的分布和数字特征复习要求 理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念； 理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法； 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差； 知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念； 知道大数定律和中心极限定理。 考核要求：随机变量的概率分布、概率密度的概念和性质 会求连续型随机变量概率密度和概率，以及期望和方差 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的期望与方差 熟练掌握用线性替代化正态分布为标准正态分布的方法 三、数理统计基础复习要求 理解总体、样本、统计量的概念，知道t分布，2分布，F分布，会查t，2，F分布表； 会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法； 了解估计量的无偏性、有效性的概念； 了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法； 知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验； 了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和检验。 考核要求：判断是否是统计量 估计量的无偏性、有效性的概念 熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法 熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验 注：复习以行考册和期末复习指导为主 “概率论与数理统计”测试题参考答案 1设A, B是两个随机事件，已知P = 0.6，P = 0.8，P=0.2，求：P；P. 解： P=1?P= 0.4 P= PP=0.?0.= 0.0P=1-P = 1 - P0.08 =1-= 0.9 P0.8 2罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：取到3颗棋 子中至少有一颗黑子的概率；取到3颗棋子颜色相同的概率 解：设A1=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是白子”，A3=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则P?1?P?1?P C83 ?1?3?1?0.255?0.745 C12 P?P?P?P 3C4 0.255?3?0.255?0.018?0.273 C12 3两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1，第二台废品率是2，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率 解：设Ai：“是第i台车床加工的零件”，B：“零件是合格品”.由全概公式有 P?PP?PP 31 ，P?，P?0.99，P?0.98，故4 31 P?0.99?0.98?0.9875 44 显然P? 4一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽 取出的是白球的概率. 解：设如下事件： Ai：“第i次抽取出的是白球” 显然有P? 3 ，由全概公式得 P?PP?PP ? 12231?8383 5设XN，试求P；P 解：P?P?P222 ?0.9987?0.8413?0.1574 X?37?3?)2X?3X?3 ?P?1?P 22 P?P?1?0.9772?0.0226设随机变量X的概率密度函数为 ?Ax2f? ?0 求A；E；D. ? 1 0?x?1其它 解： 由1? ? ? fdx? ? 1 Axdx?Ax3 3 2 1 1 ? A ?1，得出A?3 1 342 E?xfdx?3x?xdx?x ?0435222 E?3x?xdx?x 05 1 1 ? 3 4 ? 5 D?E?)2? 393 ? 51680 7设随机变量X N求：P；使P=0.9成立的常数a ?0.8413，?