北京市东城区2019届高三数学4月综合练习一模试题理.doc

北京市东城区 2018-2019 学年度第学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共 5页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合， 则（A） （B）（C） （D）R（2）在复平面内，若复数 对应的点在第二象限，则 可以为（A） （B）（C） （D）（3）在平面直角坐标系XOY 中，角 以OX为始边，终边经过点 ，则下列各式的值一定为负的是(A) (B) (C) (D) （4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）平行四边形（D）梯形（5）若满足，则的最大值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点 C.若点F是 的AC中点，则线段BC 的长为 (A) (B)3 (C) (D)6（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“相等”是“总相等”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列满足：，则下列关于的判断正确的是（A） 使得（B） 使得（C） 总有（D）总有 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9）在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）（ 10 ）在中，若，则 .（ 11）若曲线（为参数）关于直线 (为参数)对称，则 ； 此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .（ 12）已知向量a=，向量b为单位向量，且ab=1，则2 b- a与2 b夹角为 .（13）已知函数，若 都有 成立，则 满足条件的一个区间是 .（14）设A,B是R 中两个子集，对于，定义：若.则对任意， ；若对任意，则 A,B的关系为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知函数，且 . ( ) 求的值及的最小正周期； ( ) 若在区间上单调递增，求的最大值. （16）（本小题 13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（） （ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；（ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数，求X的分布列与数学期望；（ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题 14 分）如图，在棱长均为2的三棱柱 中，点C在平面内的射影O为与的 交点， E,F分别为的中点（ ）求证：四边形为正方形；（ ）求直线EF与平面 所成角的正弦值；（ ）在线段上存在一点D，使得直线 EF与平面没有 公共点，求的值. （18）（本小题 13 分）设函数的极小值点为 .（I）若，求 的值的单调区间；（II）若，在曲线上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个 点P坐标，若不存在，说明理由.（19）（本小题 13 分）已知椭圆 与x 轴交于两点，与y轴的一个交点为B，的面积 为 2.（ ）求椭圆的方程及离心率；（ ）在y轴右侧且平行于y轴的直线与椭圆 交于不同的两点，直线 与直线 交于点 P.以原点O为圆心，以 为半径的圆与 x轴交于 两点M,N（点M在点N的左侧），求 的值.（20）（本小题 14 分）已知，数列中的项均为不大于的正整数. 表示中的个数. 定义变换，将数列变成数列其中.（）若，对数列，写出的值；（）已知对任意的，存在中的项，使得. 求证： 的充分必要条件为（）若，对于数列，令，求证：北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）D （4）A（5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） （12） （13） (答案不唯一) （14） 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由已知，得，解得. 所以的最小正周期为. .7分（）由（）知当时，若在区间上单调递增，则有，即.所以的最大值为. .13分 （16）（共13分）解:（）设表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故 .4分（）由题意可知，的所有可能取值为,，3，且； ； . 所以的分布列为：0123故的期望 .10分（）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大 .13分（17）（共14分）解：（）连结 因为在平面内的射影为与的交点， 所以平面 由已知三棱柱各棱长均相等，所以，且为菱形.由勾股定理得，即. 所以四边形为正方形. .5分（）由（）知平面 在正方形中， 如图建立空间直角坐标系 由题意得， 所以设平面的法向量为则即 令则于是又因为，设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为. .10分（）直线与平面没有公共点，即平面设点坐标为，与重合时不合题意，所以 因为， 设为平面的法向量，则即 令，则，. 于是. 若平面，.又，所以，解得 此时平面，所以 ，.所以 .14分（18）（共13分）解：（）定义域为.由已知，得，解得.当时，当时，；当时，.所以的递减区间为，单调递增区间为所以时函数在处取得极小值.即的极小值点为时的值为. .6分（II） 当时，曲线上不存在点位于轴的下方，理由如下：由（I）知当时，所以在单调递减，不存在极小值点；当时，令，得.当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.所以是在上的最小值.由已知，若，则有，即.当时，且，. 所以 当时，曲线上所有的点均位于轴的上方.故当时，曲线上不存在点位于轴的下方. .13分（19）（共13分）解：（）因为由椭圆方程知：，所以所以椭圆的方程为. 由，得，所以椭圆的离心率为. .5分（）设点,不妨设 设，由得即又，得， 化简得 因为，所以，即 所以点的轨迹为双曲线的右支，两点恰为其焦点，为双曲线的顶点，且，所以. .13分（20）（共14分）解：（） .3分