2019年高考数学一轮总复习 专题15 导数在函数中的应用检测 文.docVIP

专题15导数在函数中的应用本专题特别注意：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造方法总结：1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如yx3在x0处导数值为零，但x0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是a，b上的最大值，极小值即是a，b上的最小值.考点训练：一、单选题1己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A. B. C. D. 【答案】C所以函数的最大值为，又方程，解得或，结合图象，可知只有一个实数解，要使得方程恰有三个不同的实数解，则，解得，故选C.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.2已知函数，则（ ）A. 当时，在单调递减 B. 当时，在单调递减C. 当时，在单调递增 D. 当时，在单调递增【答案】D【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论详解：，当令则，所以 h（x）在（0,2）递减， （2，）递增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以则 在单调递增，选D点睛：考查导函数的应用，本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.3已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（ ）A. 有极大值，没有最大值 B. 没有极大值，没有最大值 C. 有极大值，有最大值 D. 没有极大值，有最大值【答案】A【解析】分析：根据导函数点图象，得出当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，即可得到结论.详解：由题意，函数的图象可知，当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，所以函数有极大值，没有最大值，故选A.点睛：本题主要考查了函数的单调性与极值与导数的关系，其中导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由，可得，利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，利用数形结合列不等式可得结果.详解：由题意可知，即，由可以知道，在上递减，在上递增，有极小值，且时，结合图象，要使关于的不等式的解集中恰有两个整数，则，即，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.5已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出函数单调递减时的范围，由几何概型概率公式可得详解：由题意，在时，恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，从而，所求概率为故选点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得6设函数为自然常数)，有下列命题：有极小值；，使得不等式（为的导函数）成立；若关于的方程无解，则的取值范围为；记，若在上有三个不同的极值点，则的取值范围为.其中真命题的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C所以正确；对于，不等式，即，构造函数，则，所以递增，当x0时，所以当x0时，恒成立，错误；对于，.由条件可知y=F(x)在区间上有三个不同的极值点，即在区间上有两个不同解，且均不为1，记，则，则h(x)在区间上单调递减，在区间（1，2）上单调递增，所以，又，所以.所以正确.综上可得，真命题的个数是3个.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据给出不等式关系，并变形得到，进而构造，根据所给条件判断出的单调性；通过分离参数法，确定 在恒成立条件下的取值范围。详解：由已知可得 令 ，则有因为 所以又因为所以在上为单调递增函数在上恒成立即 恒成立，令 在上为单调递增函数，所以所以 ，即 的取值范围为所以选D点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，通过构造函数法建立联系。通过分离参数求参数取值范围，进而转化为求函数的取值范围。综合性强，属于难题。8已知函数 （），对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，则实数的取值范围(其中为自然对数的底数)为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意分别考查函数和函数的性质，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.，则，x(,1),g(x)0,g(x)单调递增，x(1,+)时,g(x)0，则函数g(x)f(x)的零点个数为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2【答案】A【解析】分析：由题意可得，x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的当x0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+）上是递增函数，xg（x）1恒成立，可得xg（x）在（0，+）上无零点同理可得xg（x）在（-，0）上也无零点，从而得出结论详解：点睛：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题19若函数在上可导，且满足，则一定有()A. 函数在上为增函数B. 函数在上为减函数C. 函数在上为增函数D. 函数在上为减函数【答案】A【解析】分析：构造线函数，求得导数，根据导数可知函数在上单调递增，即可得到结论详解：因为，构造新函数，其导数为，所以函数在上单调递增，故选A点睛：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，属于基础题，解答的关键是现得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性，本题的难点在于构造合适的函数，着重考查了分析问题和解答问题的能力20定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集详解：设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A点睛：本题主要考查了导数的应用和不等式的求解，其中解答中根据所求不等式，构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用单调性求解不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力21设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（）（）【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.（）方法一：由（）得.若a1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0a1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a0时，若有恒成立，则实数取值范围是_.【答案】.【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.详解：f(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)，f(x)在(0，a)上递增，在(a，3a)上递减，在(3a，+)上递增(1)当a3时，函数f(x)在0，3上递增，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(3)，若对x0，3有f(x)4恒成立，需要有，解得(2)当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在0，a上递增，在a，3上递减，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(a)，若对x0，3有f(x)4恒成立，需要有，解得a=1(3)当a3a，此时函数f(x)在0，a上递增，在a，3a上递减，在3a，3上递增，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(a)或者是f(3)由f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3)：时，f(a)f(3)，若对x0，3有f(x)4恒成立，需要有，解得时，f(a)f(3)，若对x0，3有f(x)4恒成立，需要有，解得综上所述，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得26若存在两个正实数，使等式成立（其中），则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：首先求得m的表达式，然后通过换元将原问题转化为研究函数最值的问题，最后结合题意求解不等式即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则，令，构造函数，则，恒成立，则单调递减，当时，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则当时，取得最大值，据此有：或.综上可得：实数的取值范围是.点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27对于函数,若其定义域内存在两个不同的实数， 使得 成立，则称函数具有性质,若函数具有性质，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】分析：通过分离参数法，确定；构造函数，求出函数的导函数和极值点；画出函数图像研究 的取值范围。详解：若函数具有性质，则 有两个不等实数根代入得 即在R上有个两个不等实数根令 则，令得 ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：-10+单调递减极小值 单调递增根据表格，画出如下图所示的函数图像 由图像可知， 在R上有个两个不等实数根即 与的图像有两个不同交点，由极小值 可知当有两个交点时， 的取值范围为.点睛：本题考查了函数与导数的综合应用，分离参数、构造函数、利用单调性与极值画出函数图像，进而分析取值范围，涉及知识点多、综合性强，是函数的常考点。28函数的极大值点为_【答案】【解析】分析：求出f（x）的导函数，得出单调区间，即能求出极大值点详解：f（x）=3x29；f（x）=0得，x=-，或；x（，）时，f（x）0，x（，）时，f（x）0，x（，+）时，f（x）0；x=是f（x）的极大值点故答案为：x=点睛：求函数的极值时要根据函数的单调性去解，注意导函数的零点与函数极值点之间的关系，不要将导函数的零点与极值点混为一谈.29对于函数（其中是自然对数的底数），若存在实数使得在（0，+）上恒成立，则称函数具有性质“”.给出下列函数：；.其中具有性质“”的所有函数的序号为_【答案】.【解析】分析：本题就是求函数在上的最小值详解：若，则，当且仅当，即时取等号，具有性质“”；设，则，易知当时，当时，即，当时，因此具有性质“”故答案为点睛：本题考查“新定义”，解题关键是正确理解“新定义”，并用“新定义”解决问题，主要是能“新问题”转化为“老问题”、用“老方法”解决问题，本题函数具有性质“”，实质应是函数在上具有最小值，因此问题转化为求在上的最小值，这样我们就可以用不等式的性质、用导数知识求解30已知函数若存在实数，满足，则的最大值是_【答案】.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：存在实数abc，满足f（a）=f（b）=f（c），a+b=6，af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c6）lnc，由函数图象可知：ce2，设g（c）=（c6）lnc，则=lnc+1，显然在（，e2上单调递增，=20，=30，在（，e2上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2上单调递增，又g（）=（6）0，g（e2）=2（e26）0，g（c）的最大值为g（e2）=2e212故答案为：2e212点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ce2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.31若是函数的极值点，则实数_【答案】【解析】因为，且是函数的极值点，所以，解得.三、解答题32已知函数， ，其中a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1： .l2： .则原问题等价于当时，存在， ，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x00，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知， ，有.令，解得x=0.由a1，可知当x变化时， ， 的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线l1： .曲线在点处的切线l2： .要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在， ，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时， ；时， 单调递减，又， ，故存在唯一的x0，且x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用33设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若 求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】()x+y=0；()极大值为6；极小值为6；() 【解析】分析：（）由题意可得f(x)=x3x， =3x21，结合f(0)=0， =1，可得切线方程为x+y=0.（）由已知可得：f(x)=x33t2x2+(3t229)x t23+9t2.则= 3x26t2x+3t229.令=0，解得x= t2，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2)=6；函数极小值为f(t2+)=6.（III）原问题等价于关于x的方程(xt2+d) (xt2) (xt2d)+ (xt2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= xt2，可得u3+(1d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是 详解：（）由已知，可得f(x)=x(x1)(x+1)=x3x，故=3x21，因此f(0)=0， =1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)= (x0)，故所求切线方程为x+y=0（）由已知可得f(x)=(xt2+3)(xt2)(xt23)=(xt2)39(xt2)=x33t2x2+(3t229)xt23+9t2故=3x26t2x+3t229令=0，解得x=t2，或x=t2+当x变化时， ，f(x)的变化如下表：x(，t2)t2(t2，t2+)t2+(t2+，+)+00+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2)=()39()=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()39()=6（）曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(xt2+d)(xt2)(xt2d)+(xt2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=xt2，可得u3+(1d2)u+6=0设函数g(x)=x3+(1d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点=3x3+(1d2)当d21时， 0，这时在R上单调递增，不合题意当d21时， =0，解得x1=，x2=易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=0g(x)的极小值g(x2)=g()=若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时， 且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以， 的取值范围是点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用34已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点【答案】（）见解析（）见解析详解：（）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.35设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围【答案】(1) a的值为1(2) a的取值范围是（，+）【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围详解：解：（）因为=，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.36已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。（2）当时，,令，只需证明即可。详解：（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以 因此点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，,令，将问题转化为证明很关键，本题难度较大。37已知函数（1）设是的极值点求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增(2)证明见解析.详解：（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex由题设知，f （2）=0，所以a=从而f（x）=，f （x）=当0x2时，f （x）2时，f （x）0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当a时，f（x）设g（x）=，则 当0x1时，g（x）1时，g（x）0所以x=1是g（x）的最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.38已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）当时，在单调递减.，当时， 在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得