中考数学复习第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系（讲解部分）素材.pdf

第五章 圆 . 圆的性质及与圆有关的位置关系 考点清单 考点一 圆的有关概念及性质 .圆的有关概念 ()三角形的外接圆:三角形的三个顶点确定一个圆这个 圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心是三角形 三边 垂直平分线 的交点叫做三角形的 外 心. ()三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆.内切圆的圆心是三角形 三条角平分线 的交点 叫做三角形的 内 心. .圆的有关性质 ()圆是轴对称图形 经过圆心 的直线都是它的对称轴圆 有无数条对称轴.圆既是中心对称图形又是旋转对称图形即旋转 任意角度都和自身重合. 圆心 是对称中心. ()垂径定理(推论):.垂直于弦的直径 平分 这条弦 且平分弦所对的两条弧. .平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦并且平分弦所对 的两条弧.如图: 是直径 ( ( ( ( 是直径 ( ( ( ( . ()圆心角、弧、弦之间的关系 .在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦 相等 . .在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一 组 量 对 应 相 等 那 么 它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 都 分 别 相等 . ()圆周角定理及其推论 在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的 一半 直径所对的圆周角是 直角 的圆周角 所对的弦是 直径 . 考点二 与圆有关的位置关系 .点与圆的位置关系 如图. ()点在圆外 如点 . ()点在圆上如点 . ()点在圆内 如点 . ( 为点到圆心的距离 为 的半径) .直线与圆的位置关系 ()直线和圆相交(没有公共点). ( 为圆心到直线的距离 为圆的半径) .切线的判定和性质 ()切线的判定:到圆心的距离 等于 半径的直线是圆的 切线.经过直径外端并且 垂直 于这条直径的直线是圆的 切线. ()切线的性质:圆的切线 垂直 于经过切点的直径. 易混清单 .弧、圆心角、圆周角 弧、圆心角、圆周角的关系前提 同弧或等弧所对的圆心角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等 无 相等的圆心角(或圆周角)所对的弧相等在同圆或等圆中 .位置关系考虑不全面导致错误 例 已知 的半径为 弦 且 则 、 之间的距离为 . 解析 圆是一个轴对称图形弦 与 的位置有两种 如图 图 . 第五章 圆 图 图 在图 中连接 、作 交 于 因为 所以 则 由勾股 定理得 () ()所以 ()同理在图 中 ().故 、 之间的距离为 或 . 答案 或 方法一 利用垂径定理及其推论进行计算 例 ( 山东威海 分)如图正方形 内接 于其边长为 则 的内接正三角形 的边长为 . 解析 连接 、作 于 四边形 是正方形 是 的直径 是等边三角形 . 在 中 . 的内接正三角形 的边长为 . 答案 变式训练 ( 北京 分)如图 的直径 垂直 于弦 垂足是 . 的长为( ) . . . 答案 解析 . . .故选 . 方法二 判定直线与圆相切的方法 .证直线和圆有唯一公共点(即运用定义). .证直线过半径外端点且垂直于这条半径(即运用判定 定理). .证圆心到直线的距离等于圆的半径(即证 ). 当题目已知直线与圆的公共点时一般用方法 当题目未 知直线与圆的公共点时一般用方法 方法 运用较少. 例 ( 福建 分) 如图四边形 内接于 是 的直径点 在 的延长线上. ()若 求 ( 的长 ()若 ( ( 求证: 是 的切线. 解析 () 连接 . . . ( 的长 . ()证明: ( ( . . . . . . . 又 是半径 是 的切线. 思路分析 ()连接 由圆周角定理可得 年中考 年模拟 然后利用弧长公式求解. ()由 ( ( 得 .由 得.由 得.所以 即证得 是 的切线. 变式训练 ( 甘肃兰州 分)如图 内接 于 是 的直径弦 交 于点 延长 到点 连接 使得. ()求证: 是 的切线 ()若 的半径为 求 的长. 解析 ()证