动力学专题(单自由度系统的振动).ppt

1,第20章动力学专题：单自由度系统的振动,大学物理下册（天大李金锷编）第一章详细阐述了单自由度系统的振动，包括振动方程的建立、各种基本概念、有阻尼与无阻尼自由振动和强迫振动解的性质（运动规律及其各种现象）。这些内容与本章大部分内容相同，故不再详细介绍。,本课主要讲解以下内容：,振动的二重性；,振动的分类。,2.用理论力学各种动力学理论建立振动微分方程，而不仅是用牛顿第二定律。主要是刚体及刚体系统的振动问题。,3.固有频率的求法；,4.振动在工程中的应用。简介弹性体的振动，固有频率、固有振型、模态的概念。,1.概述：,振动是一大类特殊的动力学问题，是动力学与控制（一般力学）专业研究的主要内容之一。,2,20-1概述,1.振动（机械振动）特殊的运动形式，特殊的动力学现象。,一个振动系统必须伴随保守力场的存在。常见有弹性力场、重力场。,描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程（组）。,2.振动的二重性：,缺点：振动过大引起系统动态特性不良、噪音过大，大多数问题中应避免振动过大。解决办法：改变结构；振动控制（如隔振）。,优点：利用振动。如振动机械；一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平稳等。,3.振动的分类：,按自由度分类：,a.单自由度振动系统：常微分方程,如：,物理形式,数学形式,或,同学举例,动静法,3,b.多自由度振动系统：常微分方程（组）,c.弹性体振动（无穷多自由度）：偏微分方程（组）,如：,均为n阶,均为nn阶,如等直杆的无阻尼纵向强迫振动方程：,按振动微分方程分类：,b.非线性振动：,a.线性振动：,如,两种方程（系统）在解法上和解的性质上存在本质的差异：大部分非线性方程不存在封闭解，只能得到近似解或作定性分析；非线性系统的解不再具有迭加性；非线性振动（非线性动力学）是目前数学、力学、物理学、生物学、社会科学等多个领域研究的热点和前沿。,4,按受力分类：,b.强迫振动（受迫振动）：,按解的周期性分类：,a.自由振动：,b.非周期振动：,a.周期振动：解是周期的。,有阻尼自由振动（衰减振动）：,如,如,如,如简谐振动（线性系统），倍周期运动（非线性系统）,如自由衰减振动（线性系统），概周期运动、混沌运动（非线性系统）,了解上述概念对今后的学习和工作是有益的！,5,如：非线性转子（有非线性油膜力和汽流力）在不平衡激励（周期的）下的响应（辛晓辉2005）：,周期1,周期2,周期4,混沌,分岔图,相图,Poincar映射图,混沌吸引子,6,20-2振动微分方程的建立,除牛顿第二定律外，可以试用各种动力学方法建立振动微分方程。只是将列出的动力学方程写成位移坐标的导数形式事实上是含（角）加速度的动力学方程。,例1（例12-1改）在重物下加弹簧，设初始静止，弹簧为原长，弹簧系数为k。可用多种方法建立振动微分方程。,对本题，你会用什么方法？哪种方法有效？,动能定理；,动量定理；,动量矩定理；,达朗贝尔原理（动静法）；,动力学普遍方程；,拉格朗日方程。,机械能守恒定律；,对本题，共6大类方法有效。,7,解：（动能定理）研究整体。,设重物自初始上升s，各物体速度如图。,代入(1)式，整理得,对t求导，得,代入(2)式，整理得标准振动方程：,(1),(2),含常数项，非标准形式,你可以试一下其它方法。,事实上，x为重物从平衡位置开始的位移（坐标）,8,20-3固有频率的求法,一、通过建立振动微分方程求,二、能量法,两种方法：,对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，你已经会用各种动力学方法建立振动微分方程，写成标准形式：,固有频率指无阻尼线性系统的固有频率。,0即系统的固有频率（圆频率）。,对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，其解一定为：,9,例2求例1中系统振动的固有频率。,解2：（能量法）,设重物自初始上升s，各物体速度如图。系统在任一位置的动能：,设系统在静平衡位置时，弹簧伸长量为s0。,解1：（通过建振动方程求）,例1已求得标准振动方程：,则系统振动的固有频率为：,则,则系统振动时最大动能：,而速度振幅：,10,设系统静平衡位置为0势能点，此时弹簧伸长量为s0，系统在任一位置的势能为,在静平衡位置，给系统虚位移，由虚位移原理：,则系统势能：,而位移振幅：,则系统最大势能：,11,在静平衡位置，考虑滚子、滑轮、重物的平衡：,系统为单自由度自由振动，由能量法：,即,注：也可由静力学平衡方程求出关系式：,考虑如何求？,作业：20-5，20-7（试用两种方法求）,12,20-4（无阻尼）自由振动,一、模型,两种最简模型如图。,二、振动方程,式中：,（无阻尼）固有（圆）频率,固有周期,固有频率,三、方程的解,由常微分方程理论知方程(1)的解：,扭转振动,对扭转振动：,式中A和为由初始条件确定的两个常数。,13,20-5衰减振动（有阻尼自由振动）,一、模型,二、振动方程,式中：,衰减指数,三、方程的解,由常微分方程理论知方程(2)的解：,式中A和为由初始条件确定的两个常数。,最简模型如图。,（粘性）阻尼系数c,无量纲阻尼比,阻尼大小决定振动形态：,0）过阻尼不振动。,通常讲的衰减振动即此种情形，如图。,14,20-6强迫振动（受迫振动）,一、模型,二、振动方程,三、方程的解,由常微分方程理论知方程(3)的解：,当t足够大时，第一项趋于0。,最简模型如图。,设简谐激励。,非齐次方程,强迫振动通解,通常总关心稳态解,可见，对线性系统，周期激励下的稳态解一定是周期的，且与激励频率相同，但相位滞后。而非线性系统则不一定如此。,15,四、稳态解的幅频特性和相频特性,将稳态解(4)代入方程(3)，可求得稳态解的两个常数：,当系统一定时，d、为常数。我们特别关心当激励幅值f一定时，外激励频率的变化对振动的影响。因此B和为的函数，故称之为幅频特性和相频特性。其关于的曲线分别称为幅频(特性)曲线和相频(特性)曲线。如图。,静力偏移,16,对非线性振动，幅频特性曲线有明显的区别：,如：单质体振动筛，如图1。其幅频特性曲线如图2。,17,又如：在考虑压电材料非线性时，压电超声电机（USM）定子主共振响应（高健2005），如图3。,振幅/a,激励频率失调参数/,图3阴影部分：不稳定,18,20-7多自由度系统振动简介,多自由度系统（均指线性）的振动与单自由度系统最本质的区别是：多自由度系统具有振型的概念。,一般地，n自由度系统具有n个固有频率和n个振型（固有振型、模态）。,如：2自由度系统具有2个固有频率和振型。,对连续体，可通过离散，化为有限多自由度系统。有限元分析是最常用的一种方法。常用软件有ALGOR、ANSYS、ADINA等。,还可以通过模态分析实验得到结构的各阶固有频率和振型。,19,如：电吉他模态通过实验模态分