2019年中考数学复习讲义：专题(四)有理数乘除法(同名23).doc

专题四 有理数乘除法要点归纳1. 有理数乘法：(1)两个数相乘，同号得正，异号得_，并把绝对值_；(2)任何数与0相乘，都是_.2. 倒数：乘积是1的两个数互为_，_没有倒数，可表示为：若ab1，则a与b互为倒数.3. 有理数乘法运算律：(1)乘法交换律：即_；(2)乘法结合律：即_；(3)分配律：即a(bc)_.4. 有理数除法：(1)除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_；(2)两数相除，同号得_，异号得_，并把绝对值_；(3)0除以任何一个不等于0的数，都得_.典例再现一、有理数乘法法则有理数乘法的步骤：先看是否有0因数，只要有一个因数为0，积就为0，在没有0因数的情况下，先确定积的符号，再把绝对值之积的绝对值.任何与1相乘都等于这个数本身，任何数与1相乘都等于它的相反数.例1 计算(1) (6)(5)； (2) ； (3) (4) 【思路点拨】(1)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，积为正；(3)异号得负；(4)有0因数的式子结果为0.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【方法规律】有理数乘法法规中“同号得正，异号得负”是针对“两数相乘”而言的，不能与加法法则相混淆；当因数中有负号时，必须用括号将负因数括起来，第一个因数有负号可省略括号，如可写成，但不能写成.例2 计算：(1) ； (2) 【思路点拨】非零因数相乘，首先根据负数的个数决定积的符号，把各因式相乘，0作因数连乘，积为0.解：(1) (2) .【方法规律】一般情况下，算乘法时带分数化成假分数.二、倒数若a是非零有理数，则a的倒数是 ，即 A. b互为倒数. A. b互为倒数.例3.求下列各数的倒数：5；2；1.5【思路点拨】根据定义，要求a(a为非零数)的倒数，只要求即可.解：因为，所以5的倒数是；因为，所以的倒数是；因为，所以2的倒数是；因为1.5，且，所以1.5的倒数是.【方法规律】求一个整数的倒数，直接写成a分之一即可；求一个真分数的倒数，把这个数的分子、分母交换位置即可；求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，然后再交换分子、分母的位置；求一个小数的倒数，先把小数化成分数后再求其倒数.三、有理数乘法的运算律运用乘法分配律时，若括号前面为“”号，去括号后，各项都要变号.例4.计算：(172)(0.25)()40(8)1(5)()(0.125)；24(1121).【思路点拨】、利用乘法的交换律的乘法的结合律计算；利用乘法的分配律可使计算简便.解：原式(1720.2540)(172)(0.2540)21020；原式(0.12585)(0.1258)()55；原式(24)1(24)(1)(24)2(24)(1)2836542620.【方法规律】运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起交换位置；多个有理数相乘时，通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的有理数先结合，使计算简便.四、有理数的除法法则有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即aba(b0)；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.即：()当ab0时，则ab；()当ab0时，ab；()0a0(a0).例5.计算：(48)(6)；(6)()；(1)(2)；0(3.14)；1(2.5)；(3.14)1.【思路点拨】运用法则，同号得正，先定符号，再算绝对值；运用法则，除号变乘号，除数变为它的倒数；带分数化为假分数再相除；0除以任何一个不为0的数都等于0；小数化为分数再相除；任何数除以1都等于它本身.解：(48)(6)8；(6)()6(4)24；(1)(2)()；0(3.14)0；1(2.5)1()1()；(3.14)13.14.【方法规律】有理数除法的法则有两个，应注意灵活运用，一般在不能整除的情况下用法则，在能整除的情况下用法则；0不能作除数，0作除数无意义.五、有理数乘除法的混合运算有理数的除法可以化为乘法，因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算，可以按如下步骤：将所有除法转化为其倒数，所有的除法转化为乘法；确定积的符号；运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果.例6.计算：(15)(3)()；(2)(1)；8()()；(1)()；1()(2)()0.【思路点拨】可以按从左向右的顺序计算；可将除法转化为乘法再计算；除法转化为乘法后，约分比较简便；可先算括号里的；在乘除的同级运算中，若算式中有0，则结果为0.解：(15)(3)()5()2；(2)(1)()24；8()()8()()4(1)()2；1()(2)()00【方法规律】同级运算，从左向右，除法变乘法，方便运算.拓展探究一、带分数乘整数的技巧有时带分数乘整数，可把被乘数拆成“整数分数”或“整数分数”，再用它们分别乘后面的整数，再把积相加或相减.例1计算：9(15).【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦，根据题目的特点，可以把“9”拆成两项，然后用乘法分配律计算.解：方法一：9(15)(9)15(91515)135149；方法二：9(15)(10)(15)10(15)(15)150149.【方法规律】相比较，方法二比方法一更简便，做这种乘法时，要注意：巧妙拆项，运用乘法分配律；不能漏乘；要注意各数的符号.二、乘法分配律的正用、逆用乘法分配律正用：a(bc)abac；逆用：abaca(bc).例2.计算：3.1435.26.28(23.3)1.5736.4；12()1317.(11)(5)(137)()(113).【思路点拨】可找每部分中的相同乘数3.14提取，二、三部分的6.28、1.57可构造出3.14；前面部分可正用分配律，后两部分可逆用分配律；可提取公因数，其余的因数相加减时，可用加法的交换律、结合律，使计算简便.解：原式3.1435.23.1446.63.1418.23.14(35.246.618.2)3.14100314；原式1212(1317)43158；原式(115(113)(137)6(4)(10)2.【方法规律】在去括号时，要注意：括号外面的因数是正数，去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反，添括号时与去括号的方法相同.三、倒数的整体应用例3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求a5cdb的值.【思路点拨】相反数之和等于0，即ab0；倒数之积为1，即cd1.解：由题意可知ab0，cd1，所以a5cdb(ab)5cd055.【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便.四、有理数除法与绝对值形如求式子值时，可按下面两种方法分类：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0；a、b中两个正，一个正、0个正(即两个负).其中，方法更简单.例4若三个有理数x，y，z，满足xyz0，求式子的值.已知ab0，试求的值.【思路点拨】由xyz0，根据所求式子的特点，不妨设x、y、z中有“一正两负”和“全正”两种情形；由ab0和所求式子的特点，不妨设a0，b0即可求解.解：因为xyz0，所以x、y、z中负数有0个或2个.当x、y、z三个数全正时，原式3；当x、y、z三个数中“一正两负”时，不妨设x0，y0，z0，原式1；所以，3或1.因为ab0，不妨设a0，b0，原式1.【方法规律】本题的分数讨论中若对x、y、z的性质分别考虑，分的情形特别多而很多的答案又是重复的，因此，全面考虑负数或正数的个数比较简便，当一个式子的值与a0、b0与a0、b0无区别时，通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.例5若0，则下列结论成立的是( )A.x0或y0B.x、y同号C.x、y异号D.x、y为任意有理数【思路点拨】因为两数之和为0，所以与互为相反数.当x0时，1，此时1，则y0；当x0时，1，此时1，则y0，因为x与y作分母，所以x、y均不能为0，所以x、y异号.解：C【方法规律】若a0，则1；若a0，则1，反过来也是成立的.五、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先算乘除，再算加减，若有括号，按照先算括号里的，再算乘除，然后算加减的顺序计算.例6.计算：3.5(0.5)()；()(10.2)(6).【思路点拨】先算括号里的，再把除法转化成乘法，作连乘计算；先算括号里的，再算乘、除法，然后算加法.解：原式()()()(4)()(4)42.原式(4)(1)(6)2(6)6.【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算.六、正确使用运算律，简化计算在加减乘除混合运算中，合理运用运算律可简化运算.例7.计算：()()；()；()()().【思路点拨】、不能用乘法分配律，但是，我们可以先算()()、()()，再把结果倒过来；也可直接计算；把除法转化为乘法，再用乘法分配律可使计算简化.解：原式()(此种解法不够简便)；先算()()(108)(108)(108)912.所以，原式.原式105105(105)21351529.【方法规律】利用倒数法，先交换除数和被除数的位置，再用分配律计算，然后求其倒数，这种方法可以解决不能直接用分配律计算的问题.七、新定义运算题例8.a、b均为有理数，如果规定一种新的运算“”；aba2aba1，求(13)(3)的值.【思路点拨】先算出13，再用它的结果与(3)作新运算.解：(13)(3)(121311)(3)(2)(3)(2)2(2)(3)(2)14635.【方法规律】理解新定义是解题的关键.实战演练A链接中考1.若ab0，则的值是( )A.大于0B.小于0C.大于或等于0D.小于或等于02.下列说法正确的是( )A.两个有理数的和为正数，则这两个数中必有一个为正数B.两个有理数的差为负数，则被减数为负数C.两个有理数的积一定大于其中一个因数D.两个有理数相除的商大于1，则被除数大于除数3.下列各式，表示a，b互为倒数的是( )A.ab1B.ab0C.ab1D.ab04.如果a1，那么a与b( )A.互为相反数B.abC.互为倒数D.互为负倒数5.(0.125)15(8)()(0.125)(8)15()，运算中没有运用的运算律是( )A.乘法交换律B.乘法结合律C.分配律D.乘法交换律和结合律6.下列运算过程有错误的个数是( )(34)2342；4(7)(125)(41257)；915(10)15150；3(25)(2)3(25)(2)350.A.1B.2C.3D.47.下列运算中，正确的是( )A.2()()2()() B.(1)(5)()(1)1C.(5)(1)(5)5(1)D.625(4)625(4)8在算式31中的里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是（ ）A B C D9在算式每一步后面填上该步运用的运算律: .10若两个数的商是2,被除数是4，则除数是 11化简：12被除数是，除数比被除数小，则商为 13按下面程序计算，如果输入的数是-2，那么输出的数是 14判断下列各式乘积的符号:;,其中积为正数的有 ，积为负数的有 （填序号）；的计算结果为 15按下面的程序计算.，若输出的数y=3，则输入的数x= .16若a、b互为相反数,c、d互为倒数，x的绝对值为2,则B 冲刺中考17计算的结果是（ ）A-24 B-12 C-9 D618一个数值转换器如右图所示，根据要求回答问题:要使输出值y小于-100,输入的最大负整数x为 . 19已知xy0 ,则的值为( )A0 B-1 C1 D220若,则( )A B与a互为相反数 Ca 0 Da的倒数为21观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2015坐标在( ) A.第504个正方形的左下角 B.第504个正方形的右下角 C.第504个正方形的左上角 D.第505个正方形的右下角22已知a,b,c都是负数，且，则xyz是（ ） A.负数 B.非负效 C.正数 D.非正数23下列说法不正确的是( )A一个数与它的倒数之积是1 B一个数与它的相反数的商为-1C两个数的商为-1，则这两个数互为相反数 D两个数的积为1，则这两个数互为倒数24a,b互为相反数，下列结论中不一定正确的是( )A B C D25已知，且xy0，则的值为 26对于有理数a,b(a十b0)，定义运算“”如下:ab=，则23= ，-3(-4) = ， 27已知a,b,c是非零有理数，那么可能的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个28计算:; ; . 29用简便方法计算 .C 决战中考30对于任何有理数a、b定义运算“”如下：如求4的值.31