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2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. xx把椅子排成一圈，有个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的个人中的一人坐在相邻的椅子上.则的最小值为.2. 在中，已知.设为的内心，且.则.3. 已知一个球与棱长为的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数.若对任何，均有，则的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为的圆完全落在区域内，则的最大值为.6. 已知数列满足，且.则与最接近的自然数为.7. 已知，且.则的最大值为.8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设.对所有不同的子集，有.证明：.10.（20分）已知函数与的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数的值.11.（20分）椭圆与双曲线有公共焦点，与的离心率之差不超过1，且有一条渐近线斜率不小于，与轴正半轴分别交于，且两曲线在第一象限的交点为.问：的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出的方程；若没有，请说明理由.一、（40分）将的边分别延长到点，使，与交于点，设分别是的垂心、外心.证明：直线过点.二、（40分）设是给定的自然数，对于个给定的实数，记的最小值为.若，求的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组：（1） ；（2） 对任意给定的正整数，恰有个正整数，使得.四、（50分）对给定自然数，求满足下列条件的最
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