ahp权重计算.doc

土地利用规划课实验指导书尹君教授编河北农业大学城建学院2004年10月目录一、土地适宜性评价权重的计算二、人口与土地需求预测模型三、土地利用规划单目标规划优化四、土地利用规划多目标规划优化五、土地利用规划面积量算六、土地利用规划图编制一、土地适宜性评价权重的计算（一）AHP的基本步骤运用AHP解决问题，大体可以分为四个步骤，即1.建立问题的递阶层结构；2.构造两两比较法判断矩阵；3.由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4.计算各层元素的组合。现分述如下：1.建立递阶层次结构这是AHP是最重要的一步。首先，把复杂问题分解为由元素组成的各部分，把这些元素按属性不同分成若干组以形成不同层次。同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。处于最上面的层次只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，或理想结果。中间的层次一般是指标、分指标。最低一层包括各个方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层的所有元素。一个典型的层次可以用图表示出来。2.构造两两比较判断矩阵在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ch作为指标，对下一层次的元素A1，A2，An有支配关系，目的是在指标Ch之下按它们相对重要性赋予A1，A2，An相应的权重。对于大多数社会经济问题，特别是那些由人的判断起重要作用的问题中，直接得到这些元素权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重，AHP所用的是两两比较的方法。在这一步中，决策要反复回答问题，针对指标Ch两个元素Ai和Aj哪一个更重要些，重要多少。需要对重要多少赋予一定数值。这里使用19的比例标度，它们的意义见表标度的含义1.表示两个元素相比，具有同样重要性。3.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要。5.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要。7.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要。9.表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要。2、4、6、8为上述相邻判断中的中值。若因素i与j比较得aij，则因素j与i比较的判断为1/aij。例如，指标是社会经济效益，分指标可分经济、社会和环境效益。如果认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取5。而社会效益对于经济效益的比例标度则取1/5。对于n个元素来说，我们得到两两比较判断矩阵A：（1）判断矩阵具有如下性质：（1） （2）（3）（2）称A为正的互反矩阵。由于性质（2）、（3），事实上，对于n阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共个给出判断。A的元素不一定具有传递性，即未必成立等式（3）但式（3）成立时，则称A为一致性矩阵。在说明由判断矩阵导出元素排序权值时，一致性矩阵有重要意义。3.计算单一指标下元素的相对权重这一步厅解决在指标Ch下，n个元素A1，An排序权重的计算问题，并进行一致性检验，对于A1，An通过两两比较得到判断A，解特征根问题，AW=maxW（4）所得到的W经正规化后作为元素A1，An在指标Ch下排序权生，这种方法称排序权向量计算的特征根方法。max和W的计算一般采用幂法，其步骤为：（1）设初值向量W0，例如（2）对于k=1，2，3，计算（5）式中经规一化所得到的向量。（3）对于事先给定的计算精义，若（6）则计算停止，否则继续步骤（2），式中Whi表示Wh的第i个分量。（4）计算 （7）在精度要求不高的情况下，可以用简单的近似方法计算和W，这里介绍两种方法。（1）和法：第一步，A的元素按列规一化；第二步，将A的元素按行相加；第三步，所得到的行向量规一化得排序权向量W；第四步，按下列公式计算。（8）式中（AW）i表示AW的第i个元素。（2）根法：第一步，A的元素按行相乘；第二步，所得到的辫积分别开n次方；第三步，将方根向量归一化即得排序权向量W；第四步，按式（8）计算。特征根方法是AHP中最早提出的排序权向量计算方法，也是被广泛使用的一种方法。近年来，不少学者提出了排序向量计算的其它一些方法，如最小二乘法，对数最小二乘法，等等，这些方法在不同场合下运用各有其优点。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有完全的一致性。即不要求式（3）成立，这是被客观事物的复杂性与人的认识多样性所决定的。但要求判断有大体的一致性，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端一重要，而丙比甲极端重要的情况一般是违反常识的。而且，当判断偏离一致性过大时，排序权向量计算的特征值方法将出现甘些问题。因此在得到后，需要进行一致性检验，其步骤如下：（1）计算一致性指标CI（9）（2）从平均随机一致性指标当中查找RI。平均随机一致性是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征值的计算这后取算术平均数得到的。阶数1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12RI 0 0 0.5 0.891.12 1.261.36 1.411.46 1.49 1.521.54阶数13 14 15RI 1.56 1.581.59（3）计算一致性比例CR（10）当CR0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。4.计算各层元素的组合权重为了得到递阶层次结构中每一个层次中的所有元素相对于总目标的相对权重，需要把第三步的计算结果进行适当的组膈，并进行总的判断一致性检验。这一步骤是由上而下逐层 进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即方案优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判断一致性检验。假定已经计算出第层元素相对总目标的组合排序权重向量，第层在第层第j个元素作为准则下元素的排序权向量为，其中不受支配（即与层第j个元素无关的）元素权重为零。令，则第层的元素相对于总目标的组合排序权重向量由下式给出（11）对于递阶层次组合判断的一致性检验，需要类似地逐层计算CI。若分别得到了第层次的计算结晶，和则第层的相应指标为（12）（13）（14）和分别在层第i个指标下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致必指标。当，认为递阶层次在层水平上整个判断有满意的一致性。例在土地适宜性评价中，评价指标权重确定有：因素两两比较法；特尔菲法；层次分析法等，其中层次分析法被认为在因素较多时确定权重的一种较好的方法。本题采用了此方法，分三个层次，且已给定各层次指标相对分值，判定给定分值是否合理？若合理，请计算各指标的权重及总排序指标权重。 评价目标第一层次第二层次 自然因素 生态因素 社会经济因素第三层 土层厚度 土壤养分 水源 质地 水土流失 覆盖率 土壤污染层次结构比较判断矩阵为： 自然因素 生态因素 社会经济因素自然因素 1 4 2生态因素 1/4 1 1/2社会经济因素 1/2 2 1 水土流失 覆盖率 土壤污染水土流失 1 2 5覆盖率 1/2 1 3土壤污染 1/5 1/3 1土层厚度 土壤养分 水源 质地土层厚度 1 4 3 7土壤养分 1/4 1 1 2水 源 1/3 1 1 3质 地 1/7 1/2 1/3 1表 各阶矩阵的RI值阶数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10R10 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49计算题答案：自 然生 态社会经济自 然1420.5714max=3.000生 态1/411/20.1429CI=0.00社会经济1/2210.2857RI=0.58CR=00.1土厚土养分水源质地土厚14370.5739max=4.0206土养分1/41120.1600CI=0.0069水源1/31130.1913RI=0. 90质地1/71/21/310.0748CR=0.00760.1水土流失覆盖率土壤污染水土流失1250.5813max=3.0037覆盖率1/2130.3092CI=0.0018土壤污染1/51/310.1096RI=0.58CR=0.00320.1总排序： 权重为0.328，0.091，0.109，0.043，0.083，0.044，0.016，0.286ZCI=0.57140.0069+0.14290.0018+0.28570=0.0042ZRI=0.57140.9+0.14290.58+0.28570=0.5971ZCR=ZCI/ZRI=0.0070.707(6)检验合格,直线为Y=30.1964+1.0519*X四、土地利用规划多目标规划优化例 某生产单位可提供6000小时劳力，75000个饲料单位，今欲饲养奶牛和肉牛。已知饲养1奶牛需240小时劳力，1500个饲料单位，饲养1头肉牛需60小时劳力，1000个饲料单位，且已知1头奶牛可获产值1500元，1头肉牛可获产值750元，问各饲养多少头，才能使产值最高，最高产值是我少？如果养牛场场长考虑饲养奶牛20头，肉牛45头，如果劳时数不足可以增加劳力时数，但饲料不能超过限额，并且场长有以下四个目标：1.保持正常开工生产，不要有剩余劳力时间；2.饲料不超过75000单位限额；3.努力达到饲养头数，多了不限并首先满足饲养的奶牛头数要求；4.尽可能减少增加劳力时数。目标规划的单纯形解法与线性规划的单纯形解法基本相似，解法步骤也基本相同，但也有一些不同之处，例如目标规划的目标函数总是使达不到目标的偏差总和为最小，目标函数中不出现最大利润或最小成本问题。目标规划中的不同优先等级和不同的优先权因子代替了线性规划中的cj，不同的优先级是不可比较的，因此判别系数cj-zj不能写成一行，且判别系数是一个mn矩阵，m为优先等级的数目，n是变量数目，变量包括决策变量和偏差变量。目标规划要严格按照首先使最高优先及目标得到满足，然后再转到第二优先级，在第二优先级目标得到最大可能满足后再转入第三优先级，如此等等，这样就保证不会出现为满足较低级目标的要求而牺牲较高级目标的要求。下面举例说明目标规划的单纯形解法。例1 应用单纯形法解，即解minz=P1d1+P2d2+P3（2d3-+d4-）+P4d1+240x1+60x2+d1-d1+=60001500x1+1000x2+d2-d2+=75000x1+d3-d3+=20x2+d4-d4+=20x1，x3，di-，di+0 i=1，2，3，4解 第一步：列出初始单纯形表。由于目标规划中的目标函数都是求极小，且所给目标约束中的负偏差变量d1-，d2-，d3-，及d4-可作为基变量，于是可列出初始单纯形表1。表1Cj00P102P3P3P4P200CBXBbx1X2P102P3P3600075000204524015001*0601000011111-1-1-1-1cj-zj-P1-P2-P3-P4-60000-850-2400-20-600-1011121由于目标规划中目标函数里的偏差变量的系数表示不同的优先级和不同的优先权因子，因此在目标规划的单纯形表中判别系数cj-zj按优先级顺序列成四行，以便按不同优先级计算cj-zj。由于表1中基变量d1-=6000，d2-=75000，d3-=20，d4-=45，非基变量x1=x2=d1+=d2+=d3+=d4+=0，这表示由于尚未饲养奶牛及肉牛（x1=x2=0），所以劳力6000小时未用，饲料75000单位未用。由于目标规划中变量个数较多，为便于书写和阅读，单纯形表中的空格位置数值为0，不再写出，这一点请注意。表1中第一行为目标函数中各变量的系数，基变量所对应的系数CB列于第一列。关于cj-zj的计算，以x1列为例，z1=240P1+2P3，而c1=0，故x1列的c1-z1= -240P1-2P3，因为P1与P3是不同的优先级不可比较，故分别列于判别系数cj-zj栏的-P1行和-P3行，而-P2行和-P4行为0，其它各例完全类似可以得到。表1中目标函数值P1=6000，P2=0，P3=85，P4=0，说明第一目标未用劳力时数为6000，第二、第四目标已完成，第三目标值为85未完成。第二步：确定进入基的变量，在初始单纯形表1中，按优先级顺序依次检查检验数cj-zj的-P1，-P2，-P3，-P4行的值是否有负值。首先检查第一优先级-P1行，其中有两个负值-240及-60，说明目标函数中第一优先级可进一步优化。因此先对第一优先级进行优化，-240的绝对值最大，于是确定-240所在列为主元列，x1应进入基。第三步：确定退出基的变量作法完全与线性规划类似，将b列中的值与x1列的对应的正数的比值中的最小者（包含0）对应的基变量作为退出基的变量，由于三个比值，中=20最小，即1为主元素，所以d3-退出基，并将主元素1的右上角注以*号。第四步：换基迭代。作法完全类似线性规划单纯形法，得表2。表2c100P102P3P3P4P200CBXBbx1X2P100P3x1120045000204516010000111-240-1500101-1-1240*1500-10-1cj-zj-P1-P2-P3-P4-12000-450-600-10240020111-2400001由于第一优先及的cj-zj值仍有负值，且以-240的绝对值最大，所以d3+列为主元列，且偏差变量d3+应进入基，又由比值及知最小，所以240为主元素，于是d1-应退出基。继续换基迭代得表3。表3c100P102P3P3P4P200CBXBbx1x2000P3x153750025451625101-110-11-1cj-zj-P1-P2-P3-P400-450-112111由表3知第一优先级与第二优先级的判别系数已均无负值，故转入下一优先级。第五步：因为第一、第二优先级均已达到最优，而第三优称级的判别系数c1-z1有负值-1，所以对第三优先级继续实行第二至第四步的运算，于是得表4及表5。表4C100P102P3P3P4P200CBXBbx1x2000P3x2x1202500020251101-4250014*10-14-2500-1-4-1cj-zj-P1-P2-P3-P400-250100-20011410002P3x2x1459375110111-6250-1-1-1625cj-zj-P1-P2-P3-P400010000112表5c100P102P3P3P4P200CBXBbx1x20P402P3x2x145150020011-1011-10010-1-1100cj-zj-P1-P2-P3-P4000-15001100100012-100表5给出了问题的最优解。由目标函数值P1=0，P2=0，P3=0，P4=1500知第一、第二、第三三个目标完全达到，第四个目标没有达到。d1+=1500，表示劳力需增加1500小时，最优解为x1=20，x2=45，d1+=1500，即饲养奶牛20头，肉牛45头，此时需饲料75000单位，劳力为7500小时，即比6000小时需增加劳力1500小时，产值为150020+75045=63750元，因为cj-zj栏内的-P3行仍有负值，是否表5析计算仍可改进呢？如果继续换基迭代变换单纯形表则行表6，由表6看出，这一结果并未得到改进，继续换基迭代得表7，这一迭代结果破坏了高一级目标（第二优行级P2）的优化，这说明表5对应的解已是最优解，不需继续迭代。第六步：最优解的判别。用单纯形法解目标规划时，检验是否已达到最优有以下判别准则：（1）如果cj-zj栏中的所有判别系数均为非负值，则比单纯形表中的解即为最优解；（2）如果判别系数cj-zj栏内-P1，-P2，-Pi行中所有判别系数均为非负，而第-Pi+1行内存在负的判别系数，且该负的判别系数同列的较高优先级的判别系数有正值时，这时对应的单纯形表所得的解亦为最优解；（3）在判别系数cj-zj栏，如果-P1行内有负值，则应进行换基迭代；如果-P1行内所有值已非负，则应从-P2行开始顺次检查；如果某一行存在负值，且与该负值的同列的较高优先级的行中不存在正值时，则应继续进行换基迭代，否则，如果存在正值，则该单纯形表对应的解即为最优解，这时即为（2）的情形。显然例1中从表1到表2中的单纯形表都要继续换基迭代，而表5则应停止迭代，因为表5中cj-zj栏内-P3行虽然仍有负值，但与同列的第一优先级的-P2行中有正数1，且同列的-P2行中值亦为非负，因此表5中的解即为最优解。表6c100P102P3P3P4P200CBXBbx1x20P40P3x2x145150020011-101501110*-150-1-1cj-zj-P1-P2-P3-P4000-1500117c100P102P3P3P4P200CBXBbx1x20P40P2x2x145150020011-1-102401150016001000110-240-1-1500-1-600-1000cj-zj-P1-P2-P3-P4000-15001110-15002-2400-10001-6001500024001000060五、土地利用规划面积量算通过辛普森公式计算多边形面积，或通过计算机绘制一图形。使学生了解计算机图形学，对计算机绘图有一个基