2019年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元B卷 理.doc

第第十十六六单单元元 空空间间向向量量在在立立体体几几何何中中的的应应用用 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1已知1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，则平面ABC的一个法向量可以是（ ） A1 11，B1, 1,1C1,1,1D1, 1, 1 2已知正三棱柱 111 ABCA B C， 1 2ABAA，则异面直线 1 AB与 1 CA所成角的余弦值为（ ） A0B 1 4 C 1 4 D 1 2 3如图所示，在平行六面体 1111 ABCDA B C D 中，M为 11 AC与 11 B D的交点若AB a， AD b， 1 AA c ，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A 11 22 abcB 11 22 abc C 11 22 abcD 11 22 abc 4如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，2AB ，60BAD，侧面PAD为等 边三角形且垂直于底面ABCD，E，F分别为PD，CD的中点，则异面直线AE与BF所成角的余 弦值为（ ） A 1 3 B 3 4 C 1 4 D 7 10 5结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 2 的小正方体堆 积成的正方体） ，其中白点代表钠原子，黑点代表氯原子建立空间直角坐标系Oxyz后，图 中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ） A 1 1 ,1 2 2 B(0 01)，C 1 1,1 2 D 1 1 1, 2 2 6如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足2OMMA ，BNNC ，点 G是线段MN的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ） A 111 344 OGOAOBOC B 111 344 OGOAOBOC C 111 344 OGOAOBOC D 111 344 OGOAOBOC 7如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，0 0 2OC ，平面 的法向量为21 2，n，设二面角CABO的大小为，则cos（ ） A 4 3 B 5 3 C 2 3 D 2 3 8点P是棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B C D的底面ABCD上一点，则 1 PA PC 的取值范围是（ ） A 1 1, 4 B 11 , 24 C1,0D 1 ,0 2 9已知四边形ABCD，2ABBDDA，2BCCD，现将ABD沿BD折起，使二面角 ABDC的大小在 5 66 ，内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（ ） A 5 2 0 8 ，B 2 0 8 ，C 25 2 01 88 ，D 2 5 2 88 ， 10如图，平面平面，A，B，AB与平面，所成的角分别为 4 和 6 ，过A， B两点分别作两平面交线的垂线，垂足为 A， B，若12AB，则 B A的长为（ ） A4B6C8D9 11正四棱锥ABCDS 的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE与 SC所成的角是（ ） A30B45C60D90 12如图，在三棱柱 1 11 ABCA B C、中，侧棱垂直于底面，底面边长为2的正三角形，侧棱长为3， 则 1 BB与平面 11C AB所成的角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上） 13已知(2, 2,3)a，( 1,4, 2) b，(1,2, )c，若向量a，b，c共面，则实数 14PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角为60，那么直线PA与平面 PBC所成角的余弦值是_ 15已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，2CG，E、F分别是AB，AD的 中点，则点C到平面GEF的距离为_ 16如图所示，在正三棱柱 111 CBAABC 中，D是AC的中点， 1 21AA AB :：，则异面直线 1 AB与BD所成的角为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，ABBC，ADBC， 2ADBC （1）求证：ADPC； （2）若平面 PAD 平面ABCD，60ADC，求二面角APDC的余弦值 18 （12 分）如图，已知斜三棱柱 111 CBAABC 的底面是正三角形，侧面 11A ABB是菱形， 且 1 60A AB，M是 11B A的中点，ACMB （1）求证：MB平面ABC； （2）求二面角CBBA 11 的余弦值 19 （12 分）如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，E，F是平面ABCD同一侧的两点， BE平面ABCD，DF平面ABCD，DFBE2，ECAE （1）证明：平面AEC平面AFC； （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 20 （12 分）如图，在四棱锥ABCDP 中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形， ADAB ，ABCD，222ABADCDE是PB的中点 （1）求证：平面EAC平面PBC； （2）若二面角EACP的余弦值为 3 6 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值 21 （12 分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥ABCDP 中，60ABC， aACPA， aPDPB2，点E在PD上，且:2:1PE ED （1）证明：PA平面ABCD； （2）求二面角DACE的大小； （3）棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论 22 （12 分）如图 1，在RtABC中，90C，3BC，6AC，D，E分别是AC， AB上的点，且DEBC，2DE将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置， 使 1 ACCD，如图 2 （1）求证： 1 AC平面BCDE； （2）若M是DA1的中点，求CM与平面BEA1所成角的大小； （3）线段BC上是否存在点P，使平面DPA1与平面BEA1垂直?说明理由 单元训练金卷高三数学卷答案（B） 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1 【答案】D 【解析】1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，1B,1,0A ，1C,0,1A ， 设平面 ABC 的一个单位法向量为yznx ，则 AB0 AC0 n n ， 0 0 xy xz 易知：1, 1, 1 符合题意故选 D 2 【答案】C 【解析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以 1 AA为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 设正三棱柱 111 ABCA B C的各条棱长为 2， 则0 0 0A （，）， 1 312B （，）， 1 0 0 2A （，），0 2 0C （，）， 1 312AB ， 1 0 22AC ， 设异面直线 1 AB和 1 AC所成的角的余弦值为， 则 11 11 2 1 cos 488 ABAC ABAC 异面直线 1 AB 和 1 AC 所成的角的余弦值大小为 1 4 故选 C 3 【答案】A 【解析】平行六面体的性质可得： 111 11 22 A MAC ab， 则 11 111 222 BMBAAAA M acababc，故选 A 4 【答案】B 【解析】如图，取AD的中点O，连OP，OB，由题意可得PO 平面ABCD在AOB中， 1OA ，2AB ，60OAB，则由余弦定理得3OB ，所以OBAD，因此可建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz 则10 0A ， 13 0 22 E ， 030B， 33 0 22 F ， 33 0 22 AE ， 33 0 22 BF ， 9 3 4 cos 433 AE BF AE BF AE BF ， 异面直线AE与BF所成角的余弦值为 3 4 故选 B 5 【答案】A 【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体 ABCDOEFG，如图所示： 平面BFGD经过点B与x轴垂直， 点B在x轴上的射影为G点，结合 1 ,0,0 2 G 得B的横坐标为 1 2 ； 同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合 1 0,0 2 E 得B的纵坐标为 1 2 ； 点B在 z 轴上的射影为D点，结合0,0,1D得B的竖坐标为 1， 点B的坐标为 1 1 ,1 2 2 G ，故选 A 6 【答案】A 【解析】 111211 222322 OGOMONOAOBOC ， 化简得到 111 344 OGOAOBOC ，故选 A 7 【答案】C 【解析】由题意可知，平面ABO的一个法向量为：0 0 2OC ， 由空间向量的结论可得： 42 cos 2 33 OC OC n n 本题选择 C 选项 8 【答案】D 【解析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以 1 DD所在的直线 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 可得点1,0,0A， 1 0,1,1C，设点P的坐标为, ,x y z ，则01x，01y，1z ， 1, 1PAxy ， 1 ,1,0PCxy ， 22 22 1 111 110 222 PA PCxxyyxxyyxy ， 由二次函数的性质可得，当 1 2 xy时， 1 PA PC 取得最大值为 1 2 ， 当0 x 或1时，且当0y 或1时， 1 PA PC 取得最大值为0， 由此 1 PA PC 的取值范围是 1 ,0 2 ，故选 D 9 【答案】A 【解析】2ABBDDA2BCCD，COBD，AOBD，且1CO ，3AO ， AOC是二面角ABDC的平面角， 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 0(0)1B，()10 0C ，()010D ， 设二面角ABDC的平面角为，则 5 66 ， 连AO、BO，则AOC，3cos03sinA， 3cos 13sinBA ，110CD ， 设AB、CD的夹角为，则 13cos cos 2 2 AB CD ABCD ， 5 66 ， 33 cos 22 ， 故 5 13cos0 2 ， 5 2 cos0 8 ，本题选择 A 选项 10 【答案】B 【解析】连接 AB和BA，设aAB ，AB与平面成的角 4 BAB ， 在 RtBAB中，aAB 2 2 ，AB与平面所成的角 6 AB A ，在 RtABA中， aAA 2 1 ，因此在 RtAAB中， 22 211 ()()6 222 ABaaa，故选 B 11 【答案】C 【解析】取AC的中点F，连接EF、BF，则EFSC，异面直线BE与SC所成的角为BEF， 因为 2 2 2 1 SCEF， 2 6 BF， 2 2 AE，又在SAB中，由余弦定理可得 4 6 cosSAB，则在ABE中，可得2BE，在BEF中，由余弦定理得 2 1 cosBEF， 所以60BEF，故选 C 12 【答案】A 【解析】记点B到平面 11C AB的距离为d， 1 BB与平面 11C AB所成的角为，连接 1 BC， 1111 CABBCBBA VV ，即 1111 32322 3 3232 d ， 3 2 d ， 则 1 sin d BB 2 1 ，所以 6 ，故选 A 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上） 13 【答案】1 【解析】a，b，c共面，存在实数x，y，使ya = xbc， 即2, 2,31,4, 21,2,xy， 2 242 32 xy xy xy ，解得1 14 【答案】 3 3 【解析】过点A向平面PBC作垂线AO，垂足为O，连接PO，易知PO为BPC的角平分线， 过点O向PB作垂线，垂足为B，连接AB，易知ABPB，设2APa， 在RtPAB中，60APB ，PBa， 在RtPBO中，30BPO， 2 3 3 POa， 在RtPAO中， 3 cos 3 PO APO AP 15 【答案】 6 11 11 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系xyzC ，则)2 , 0 , 0(OG，由题意得平面GEF的一个 法向量为(1,1,3)n，所以点C到平面GEF的距离为 6 11 d 11 CG n n 16 【答案】60 【解析】在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作AEBH 于H，连接HB1，则在 1 RtAHB中，AHB1为 1 AB与BD所成的角，设1AB，则2 1 AA， 3 1 AB， 2 3 BDAH， 1 1 1 cos 2 AH B AH AB ， 1 60B AH 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 【答案】 （1）见解析；（2） 5 5 【解析】 （1）取AD的中点O，连接PO，CO， PAD为等边三角形，POAD，ADBC，2ADBC，BCAO且BCAO 又ABBC，四边形ABCO为矩形，COAD， COPOO，AD 平面POC 又PC 平面POC，ADPC， （2）由（1）知POAD， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，PO 平面PAD，PO 平面ABCD， 以O为坐标原点，以OC ，OD ，OP 所在方向分别为x轴，y轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐 标系Oxyz， 设1OD ，则1OABC，60ADC，3OC ， 又2AD ，得3PO ，0 03P，010D，30 0C， 013PD ， 303PC ， 设平面PCD法向量 1 xyz，n， 由 1 1 0 0 PD PC n n ，得 30 330 yz xz ，取1z ，得 1 131，n， 又知OC 是平面PAD的一个法向量，设 2 30 0OC ，n， 12 12 12 13130 0 5 cos 51313 ， nn n ,n nn ， 二面角APDC的余弦值为 5 5 18 【答案】 （1）见解析；（2） 5 5 【解析】 （1）证明侧面 11A ABB是菱形，且 1 60A AB， 11 A BB为正三角形，点M为 11B A的中点， 11 MBA B 11 ABA B，ABMB ，由已知ACMB ，MB平面ABC （2）如图建立空间直角坐标系，设菱形 11A ABB边长为2， 得)3, 1, 0( 1 B，)0 , 2 , 0(A，)0 , 1 , 3(C，)3, 1 , 0( 1 A 则)3, 1 , 0( 1 BA，)0 , 2 , 0(BA，)3, 1, 0( 1 BB，)0 , 1 , 3(BC 设平面 11A ABB的法向量 1111 (,)x y zn，由 1 BA n， 11 BA n得 1 11 20 30 y yz ， 令 1 1x 得 1 (1,0,0)n 设面CCBB 11 的法向量 2222 (,)xyzn， 由 21 BB n， 2 BC n得 22 22 30 30 yz xy ， 令3 2 y，得 2 ( 1, 3,1) n 所以 12 12 12 15 cos 515 nn n ,n nn 又二面角CBBA 11 的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 5 5 19 【答案】 （1）见解析；（2） 3 3 【解析】 （1）证明：连结BD，和AC交于O点，连结OE，OF， BE平面ABCD，ABBE ，BCBE ， BCAB ，RtRtABECBE，CEAE ， ECAE ，ACE是等腰直角三角形，且ACOE 2 1 ， 22 2cos1203ACABACAB ACAB ， ABOE 2 3 ，ABODOB 2 1 ，ABBE 2 2 ABBEDF 4 2 2 1 OBBE FDDO ，RtRtOBEFDO:，FODOEB， 90BOEFODBOEOEB ，OFOE 又ACOE ，OE平面AFC，平面AEC平面AFC （2）分别以OB，OC所在射线为x轴，y轴，以过点O平行于BE的直线为z轴，建立建立空间 直角坐标系，如图所示设20ABa a， 则) 0 , 3, 0(aA，)2, 0 ,(aaE，) 0 , 3, 0(aC，) 2 2 , 0 ,(aaF ， ( , 3 , 2 )AEaaa ， 2 (,3 ,) 2 CFaaa ， 222 33 cos, 33 2 6 2 AE CFaaa AE CF AECF aa 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 3 3 20 【答案】 （1）见解析；（2） 2 3 【解析】 （1）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD， PCAC ，2AB，1 CDAD，2 BCAC， 222 ABBCAC，BCAC 又CPCBC，AC平面PBC， AC平面EAC，平面EAC平面PBC （2）如图，以C为原点，DA、CD、CP分别为x轴、y轴、z轴正向， 建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C，)0 , 1 , 1 (A，)0 , 1, 1 ( B 设(0,0, )(0)Pa a ，则 11 , 22 2 a E ，1,1,0CA ，0,0,CPa ， 11 , 22 2 a CE 设平面PAC的法向量为 1111 ( ,)x y zn，则由 11 0CACP nn得 11 2 0 0 xy az ， 令1 1 x，则1 1 y，0 1 z，所以平面PAC的法向量为 1 (1, 1,0)n 设平面EAC的法向量为 2222 (,)xyzn，则由 22 0CACE nn， 得 , 0 22 1 2 1 , 0 222 22 z a yx yx 令ax ，则ay，2z 所以平面EAC的法向量为 2 ( , 2)aan 依题意， 12 2 26 cos, 3 224 a a n n， 解得2a于是 2 (2, 2, 2)n，(1,1, 2)PA ， 设直线PA与平面EAC所成角为 则 2 2 2 2 sincos, 3 PA PA PA n n n 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 3 2 21 【答案】 （1）见解析；（2） 6 ；（3）当点F为PC中点时，有BF平面AEC 【解析】 （1）证明：四边形ABCD是菱形，60ABC，且aACPA aADAB，又aPDPB2， 222 PBABPA， 222 PDADPA， ABPA ，且ADPA PA平面ABCD （2）连接BD，底面ABCD是菱形，BDAC ，设OBDAC 以O为原点，OB ，OC 分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点坐标分别为： 0,0 2 a A ， 3 ,0,0 2 a B ，0,0 2 a C ， 3 ,0,0 2 a D ，0, 2 a Pa 点E在PD上，且:2:1PE ED 3DPDE ，即3DPOEOD 3 , 36 3 aa a OE ，即点E的坐标为 3 , 36 3 aa a 又平面DAC的一个法向量为 1 (0,0,1)n， 设平面EAC的一个法向量为 2 ( , , )x y zn，0,0 2 a OC ， 3 , 36 3 aa a OE ， 由 2 2 0 0 OC OE n n ，得 0 3 0 363 y aaa xyz ，可令1x，得 2 (1,0, 3)n， 12 12 1