2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题59 二项式的展开项.doc

专题59 二项式的展开项【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、二项式展开式，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）完全展开后的项数为 （2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，的指数呈此消彼长的特点。指数和为（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“”左边的项视为，右边的项为，比如：与虽然恒等，但是展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按的指数降幂排列。如果是，则视为进行展开（4）二项展开式的通项公式 （注意是第项）2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为 二项式系数的多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于可看作是个相乘，对于 意味着在这个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而化简后的结果为该项的系数（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如 展开式的第三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如就是有理项，而就不是有理项。4、与的联系：首先观察他们的通项公式： ： 两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题 5、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置。若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为证明：在中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为，则有 所以解得： 即 所以当为奇数时（），不等式变为，即或为中间项当为偶数时（），不等式变为，即为中间项6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要构建不等式组计算求解.【经典例题】例1.【2018年全国卷理】的展开式中的系数为A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.例2.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为A B C40D80【答案】C【解析】例3.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B例4.【2017课标1，理6】展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.例5. 【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是_【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为例6.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为_.【答案】例7.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得点睛：这几个题都是二项式定理的应用, 解题的关键是一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，一般都需先转化为方程(组)求出，然后代入通项公式求解例8.【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为_【答案】-132点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解例9.已知的展开式中项的系数为，则实数的值为_【答案】-2【解析】思路：先利用通项公式求出的项，在利用系数的条件求出的值即可解： 答案：例10设，是大于1的自然数，的展开式为.若点，的位置如图所示，则 . 12341 【答案】3 【解析】根据题意知，结合二项式定理得，即，解得.【精选精练】1在的展开式中，常数项为（ ）A. 135 B. 105 C. 30 D. 152【2018届湖北省5月冲刺】二项式展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先看作的二项式，再根据二项展开式的通项确定常数项.详解：因为=,所以，因此常数项为展开式中常数项：，选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.3的展开式中不含有项的各项系数之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D据此可得：的展开式中不含有项的各项系数之和为.本题选择D选项.4在二项式的展开式中，偶数项二项式系数为32，则展开式的中间项为A. B. C. D.【答案】C 【解析】偶数项二项式系数和为，即，中间项=，故选C5【2018届河北省衡水中学三轮复习】展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B故选B点睛：对于三项式的问题，解题时可转化为二项式求解；若无法转化，则要根据组合的方法求解6【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.7【2018届河南省最后一次模拟】在的展开式中，含项的系数是_【答案】-44【解析】分析：,求出展开式中的系数，从而可得结果.详解：,分别求出展开式中的项，所以含项为，含项的系数是，故答案为.8【2018届湖北省黄冈中学5月三模】已知展开式的常数项是第7项，则正整数的值是_.【答案】109【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】在 的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_【答案】 【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10【腾远2018年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则_，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为_【答案】 -2 -3211【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知的展开式中，的系数为，则实数_【答案】【解析】分析：先求中的系数，再根据的系数为求出a的值.详解：令的通项为当x=3时，的系数为当x=2时，的系数为，所以1（-80）+a40=40a-80