2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题47 待定系数法——求曲线的方程.doc

专题47 待定系数法-求曲线的方程【热点聚焦与扩展】 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.待定系数法中方程的形式： 直线：， 圆：；. 椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：(1)方程与有相同的离心率(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便 双曲线：(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：抛物线：标准方程：等抛物线方程通式：，【经典例题】例1. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D例2.设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A. 若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（ ）Ay24xBy28xCy24xDy28x【答案】【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，故选. x/k/w例3.中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且与直线相切的椭圆的方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为椭圆的离心率，所以，所以，则可设椭圆的方程为，与联立，并化简得，因为直线与椭圆相切，所以，即，解得，则，所以椭圆的方程为例4.【2018届华大新高考联盟高三1月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A例5.【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：，本题选择D选项.例6.【2018届天津市部分区高三上学期期末】以点为圆心的圆与直线相切于点，则该圆的方程为_【答案】答案： 例7.求经过点两点的椭圆标准方程.【答案】【解析】设椭圆方程为 ，点在椭圆上，解得故为所求椭圆标准方程例8.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点（1）若的周长为16，求直线的方程；（2）若，求椭圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）的周长为可得的值，由离心率为得的值，得坐标，代入直线的点斜式方程可得直线的方程；（2）由离心率及关系化简椭圆方程，联立椭圆及直线方程，整理关于的一元二次方程，由根与系数的关系得的值，代入弦长公式，建立等式，可得的值，从而得椭圆的方程则 且，解得，从而得所求椭圆C的方程为 例9.椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且 （1）求椭圆的离心率 x/k*w （2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，求直线的方程及椭圆的方程【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程可得： 联立方程：，消去可得：，即： ，解得： 经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件椭圆方程为 例10.已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形（1）求椭圆的离心率（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程【答案】（1）；（2）.（2）由（1）可得椭圆的方程为：，设与椭圆的交点为若斜率不存在，可得弦长若斜率存在，设，联立方程：，整理可得： 椭圆方程为：【精选精练】1.【2018届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线过点且圆相切，则直线的的方程为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，而圆心为，半径为，所以，解得；当直线的斜率不存在，即直线为时，直线与圆相切，所以直线的方程为或，故选：C2.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可知：圆的标准方程为，所以当时圆的面积最小，此时圆的圆心为，半径为1，又因为直线与圆相切，所以. x.k.w 3.已知抛物线的焦点为，点为上一动点， ，且的最小值为，则等于（ ）A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B4.如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令椭圆的右端点为点，根据对称性可知，那么，又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，设点的横坐标是，代入椭圆方程，解得，即 ，因为，所以 ，即 ，可得 ，即 ，即，故选C.5.【2018届江西省南昌市高三第一次模拟】已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C联立方程：可得：，则：，此时.本题选择C选项.6.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为_【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为可化简为故答案为7.【2018届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线与椭圆的焦点相同,如果是双曲线的一条渐近线,那么双曲线的方程为_.【答案】【解析】椭圆方程为，双曲线与椭圆的焦点相同双曲线的焦点坐标为设双曲线方程为，则c=5是双曲线的一条渐近线,， 双曲线的方程为.故答案为8.在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）。（I）求直线的方程；（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。【答案】（1）.（2）.【解析】（I）由于直线经过点和F（2，0），则根据两点式得，所求直线的方程为9.【2018届全国名校大联考高三第四次联考】（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为，据此可得圆心，半径，则所求圆的方程为.(2)圆的标准方程为，得该圆圆心为，半径为，两圆连心线斜率.设所求圆心为，结合弦长公式可得， .则圆的方程为.试题解析：（1）过点且与直线垂直的直线为，.x.k+*w10.【2018届广东省汕头市高三上学期期末】已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.(1) 求圆的方程；(2) 已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）先求出曲线与轴的交点为，再根据圆心在直线，由待定系数法可求得圆的方解得或，所以曲线与轴的交点坐标为设圆的方程为，依题意得，解得，所以圆的方程为(2)解法一：由题意知直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为由消去整理得，因为直线与圆交两点，所以设，则因为，所以，所以解得或，经检验得或满足，所以直线的方程为或.解法二：解得所以圆心到直线的距离等于2，设直线的方程为，即 所以，解得或，所以直线的方程为或.11.【2018届山西省晋中市高三1月高考适应性调研】已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) (2) 点在定直线上 有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.试题解析：（1）将代入抛物线得抛物线的焦点为，则椭圆中，又点在椭圆上， 解得，椭圆的方程为（2）方法一当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点， ，则直线和直线，联立，解得， 设，则， 则直线与直线联立两直线方程得（其中为点横坐标）将代入上述方程中可得，即，即证将代入上式可得，此式成立点在定直线上.方法二，由， ， 三点共线，有： 由， ， 三点共线，有： 上两式相比得，解得点在定直线上12.【2018届广东省深圳市高三第一次调研】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.(1)求椭圆的方程和点的坐标；(2) 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点， ，求的面积最大时直线的方程.【答案】（1）椭圆的方程为，点的坐标为；（2）或.【解析】试题分析：(1) 根据椭圆的离心率为，直线与椭圆有且试题解析：(1)由，得，故.则椭圆的方程为.由，消去，得.由，得.故椭圆的方程为.由，得，.设