东南大学几何与代数第五六章习题解析总复习.ppt

,几何与代数,主讲:王小六,东南大学线性代数课程,集体答疑通知,时间：1月11日，上午9:00-11:00；下午1:00-4:45.地点：教八400(西侧楼梯口附近),本班答疑,16周周一下午3-4节：教四教师休息室16周周三全天，周四中午和下午，周五上午：数学系525同时欢迎网上答疑：QQ群,课程中心,第五章习题解析,P203选择3:A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对角化的。二重特征值1对应着2个线性无关的特征向量，r(1E-A)=3-2=1,据此可排除(B,C,D),P204选择6:选择(D)tE-A可看成f(A),f(x)=tx或者(tx)k.若A和B相似，则(tE-A)k与(tE-B)k也是相似的.,P204T1(3):,|E-A|=,00-10-100-10-100,=,按照第一行或第一列展开,或者=,r1r4,r4+r1,-1000-100-1000-1,-,=,2.A=3,a=1,4.A*的特征值是0-1|A|,anxn+a1x+a0+b1x-1+bmx-m,(x)=,(A)=,anAn+a1A+a0E+b1A-1+bmA-m,A=,(A)=(),=,1.,如果对应着两个线性无关的特征向量,1,2,则需要对其进行组合k11+k22,其中k1,k2不全为零.(作业批注k1k20有误),5.,A111T=0111T,6.A23A+2E=O得23+2=0,从而=1或者2,举例：A=E或者2E,7.A2=E得不到A=E,A2=E=A2E=O,A=,=,21=0,=,=1,假设-1.,则|A+E|0.,则A+E可逆.,而A2E=O意味着(A+E)(AE)=O.,两边同乘(A+E)-1，则得结果.,10.,P1-1A1P1=B1,P2-1A2P2=B2,=,P1P2,A1A2,P1P2,=,B1B2,-1,P20514.,1,2线性无关！,15.,有k(k1)重特征值也有可能线性相关！,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可！,再次提醒：对角阵的对角元一定要与相似变换矩阵P的列向量对应！,18.,P-1AP=A=PP-1,19.,只是利用迹和行列式相同，得不到结果！,还需利用“特征值相同”！,15.,(5)若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式,P206T20:可联系T14,P206T22:,“T”类型问题(,为n维列向量),联系P207:T32，T33,复习1.A=T=A2010=(T)2009T,插曲：计算An还可用：相似对角化；另外，有时候A2或A3具有一些迭代性质也利于简化计算.,复习2.r(T)r(),r(T)1.又因为T不是零矩阵，所以r(T)=1特别的，对于非零，r(T)=1.所以，当n1时，det(T)=0.,例.对于非零n(n1)维列向量,计算A=T的特征值和特征向量.,因为A=T=(T)=(T),所以是一个对应于特征值1=T的特征向量.另外,Ax=的基础解系中共有n-r(A)=n-1个线性无关的解向量1,2,n-1.它们是对应特征值2=0的特征向量.,分析：可算得A2=TA，从而知道A的特征值只能为T或者0(或者直接计算).,当T0时，可得A有n个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化,其相似于,T,0,0,类似例题A=T，为实的非零列向量,注意，A为实对称矩阵，一定可以相似对角化，相似于对角阵,T,0,0,P207第32题,A=pT+qT,P207第33题,B=A1T,例若A=(1,2,n)是n阶正交矩阵,则B=11T+22T+rrT(1rn)的特征多项式是?,习题五(B),26注意(1)Q和是相伴相随的；(2)正交化时，只需对同一特征值的特征向量进行正交化；(3)不要忘记单位化.,27,此题仅利用迹和行列式相等得不到结果.,28,p1p3,p2p3,p3,P=(p1,p2,p3),A=PP-1,单位化,Q,A=QQT,29,类似28，行列式=0意味着一个特征值=0,30A=QQT=r(A)=r(),A2=QQTQQT=Q2QT=r(A2)=r(2),又因为r()=r(2)，所以r(A)=r(A2),第六章习题解析,P238填空4:A可逆=Ax=只有零解=当x时，Ax=xT(ATA)x=|Ax|20,P238填空5:,方法3配方,方法1写出实对称阵A,顺序主子式大于0,方法2求A的特征值；,例,假设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax32+4x1x2-2x2x3,1.求一可逆线性变换x=Cy将f化成标准形；,(配方法更适合这题),2.求f的矩阵A.问：当参数a取什么值时，A的特征值大于零？(方法很多),P238填空6:f(x,y)=(a+b2)x2-(bx-y)2+1.令可逆变换x=x,bx-y=y,则f(x,y)=(a+b2)x2y2+1.其在(0,0)达到极值a+b20,P238填空10:椭球面：特征值都大于零，正惯性指数=3，正定矩阵；柱面：(虚)椭圆柱面或者双曲柱面，有一个共性：秩为2(特征值两正一零或一正一负一零),P238选择(2):,类似例题：问下列哪些矩阵是等价的，相似的，合同的？,111,001,0002,00-1,000,(4),(5),(3),(2),(1),1101,(6),总结:假设A与B同阶,A与B等价,秩相等,A与B相似,秩相等,行列式相等,迹相等,特征值相等,A与对角阵相似,k重特征值有k个线性无关的特征向量,A与对角阵相似,A为实对称阵,A与对角阵相似,特征值互异,实对称矩阵A与B相似,特征值相同,正确答案:,等价:(1),(4),(5);以及(2),(3),(6),相似:(1)(5);,合同:(1)(4)(5);,实对称矩阵A与B合同,正负惯性指数相同,正负特征值个数相同,一个矩阵A若与对称阵B合同,则A必为对称阵;,特别地,一个矩阵A若与对角阵合同,则A必为对称阵;,据此,可排除(6)与其他矩阵合同的可能性,C选项如何排除？取特殊x=(0,0,1)T,如果一个方程的形式为,x2+ay+bz+c=0,其中a,b不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面.,P239选择(10):,P238选择(5):,P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵,xTAx也是一个二次型，其对应的二次型矩阵为(A+AT).,xTAx,xT(A+AT)/2x,xTAx+,直接分析,xTAx,=,xTAx+,(xTAx)T,例题：设A=，若xTAx=0对任意的n维列向量x成立,则参数a,b,c,d需要满足什么条件？,abcd,xTAx=xTx=0,a(b+c)/2(b+c)/2d,注:填空题中可直接使用上面的结论,证明题中视情况是否需要证明.,1(4),24035006,12135/225/26,4,P1TAP1=B,P2TCP2=D,=,P1P2,AC,P1P2,=,BD,T,P239,4,反之不成立.需举反例.,7,注意要求是正交变换.,第(2)题特征值互异，特征向量自然正交.,000010004,x=Q1y,y22+4y32,400010000,x=Q2y,4y12+y22,8,(1)x3=y3不能丢；,(2)代换两次后，需复合，最后应写成x=Pz的形式,10,=,00020005,与二次型对应,A=QQT=Q1/21/2QT(最好交代1/2)=Q1/2QTQ1/2QT=(Q1/2QT)(Q1/2QT),P240第11题:xT(ATA)x正定x,xT(ATA)x0x,(Ax)TAx0x,|Ax|20x,AxAx=没有非零解r(A)=未知元的个数=A的列数,P240第12题:方法1:aii=eiAeiT0,ei=0,.,0,1,0,0,第i个分量,方法2:A=PTP.记P=(pij)nn.则aii=p1ip1i+p2ip2i+pnipni,A=PTP的另一个应用：,例题.设B为一个n阶实对称阵，A是n阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的个数分别等于B的正负惯性指数.,AB=PTPB,(PT)-1ABPT=PBPT,AB与PBPT相似，所以它们具有相同的特征值。,PBPT与B合同，因此它们的正负惯性指数相同。从而结论得证。,P240第14题:此题可直接用定义来证明.请注意在用定义说明一个矩阵C是正定时，需要强调x是非零的向量.因为x=时，xTCx=0!,下面对矩阵ATA做些讨论.,P240第13题:“负定”,P240第14题:注意矩阵ATA不是正定阵：xTATAx=|Ax|20(非负定),设mn矩阵A的秩为r,则由一已知结论可得r(ATA)=r(A)=r.则ATA一定有r个正的特征值,剩余n-r个特征值均为0.,1100,r个1,另外，ATA与下列矩阵合同,1100,r个1,事实上，设实对称矩阵B的秩为r.若xTBx0,n维列向量x，则B一定有r个正的特征值,剩余n-r个特征值均为0.,另外，B与下列矩阵合同,P240第15题:可先从特征值的角度说明A*和A-1是正定的，然后利用下面例题的证明思路，或利用P239习六(B)第4题的结论.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例题.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),M正定,x,y,0,0,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例题.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),设P1AP=,M正定1,s,1,t0,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例题.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),设A为s阶的,则当is时,M正定M的顺序主子式0,A,B的顺序主子式0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,=A的i阶顺序主子式,当is时,M的i阶顺序主子式,=|A|B的is阶顺序主子式,A,B都正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例题.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),因为A,B都正定,PTAP=E,QTBQ=E,所以存在可逆阵P,Q使,因而M正定.,6.1二次型,第六章二次型与二次曲面,例题.设A,B都是实对称矩阵,M=,AOOB,证明:M正定A,B都正定.,证明:(),因为A,B都正定,A=PTP,B=QTQ,所以存在可逆阵P,Q使,因而M正定.,P24017题假设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可逆阵P使得PTAP,PTBP都为对角阵.,A正定,=存在可逆P使PTAP=E,对于PTBP,其是对称的,所以存在正交阵Q使得QT(PTBP)Q=，是对角阵,而QT(PTAP)Q=QTEQ=E,=可取M=PQ,例题(06-07试题).若,都是可逆的,都是正定,也是正定矩阵,实对称矩阵，且,矩阵，证明：,分析：可以利用“化成对角阵”的方法，用的其实是“化归思想”.,P240第20题：注意不必求出正交变换矩阵Q.,设实对称阵A的特征值为1,2,n.则二次型f=xTAx在条件x12+x22+xn2=1下的最大值一定是max1,2,n,最小值一定是min1,2,n.,事实上，一定存在正交矩阵Q使得在可逆线性变换x=Qy下，二次型化为,我们可以总结：,f=1y12+2y22+nyn2,且条件x12+x22+xn2=1在正交变换下不变，即仍然成立y12+y22+yn2=1.,从而有，fmax1,2,n(y12+y22+yn2)=max1,2,n,以及，fmin1,2,n(y12+y22+yn2)=min1,2,n,且容易验证上述最大最小值可以取到.（注意条件：x12+x22+xn2=1）,联想,例题.设n阶实对称阵A的特征值为1,2,n.证明：minxTAx/|x|2:x=min1,2,n,maxxTAx/|x|2:x=max1,2,n,其中x为n维列向量.,P241第23题(6)令y=y+1,P241第29题投影曲线方程需联立z=0,P242第35题可逆线性变换也可化为标准形，看出曲面类型.,P242第37题可以求出二次型部分的矩阵特征值2,k,2-k,据其正负讨论曲面类型；或者用配方法化为标准形讨论.,P242第33题不要忘记“正交化”,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章矩阵矩阵的定义和运算；可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称阵),特征值,惯性指数,矩阵世界，纷繁复杂，如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基,就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个应用,刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间),刻画Ax=的解空间，即寻找基础解系等,第三章几何空间(R3):可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。,第一章行列式和方程组:它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求解方程组的问题。,期末不作要求的内容,3.5空间直角坐标变换4.6线性方程组的最小二乘解5.4矩阵的Jordan标准形Matlab,总复习(难题，典型题),1.化归的思想,把一般的矩阵对角阵(相似，合同),把一般的矩阵等价标准型,例题.证明：给定一个nn矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得A=PC,且C2=C.,提示：可联系习题二(B)29，28,分析：设M,N为可逆阵使得A=MBN,其中B为A的等价标准形.不难验证B2=B.令C=N-1BN,P=MN,命题得证.,2“T”类型问题(,为n维列向量),参见P206第22题,例.设A与EA都可逆,G=(EA)1E,求证G也可逆,并求G1.,证明:G=(EA)1(EA)1(EA),=(EA)1(E(EA)=(EA)1A,G1=A1(EA)=A1E.,3.会求逆矩阵,注：您是如何算函数(1-x)-1-1的倒数？,方法很多！,(3)(A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E,(A+kE)A+(1-k)E=E,(2+k-k2),P8715题.已知A2+A-2E=O,当2+k-k2=0时如何？,此时k=2(k要求是自然数)，则A+2E可逆吗,由A2+A-2E=O得(A+2E)(A-E)=O,若A+2E可逆，则A=E，从而A+2E=3E,所以(A+kE)-1=E,4熟悉矩阵运算(1)如矩阵A的各行元素之和等于零，能得到什么？如矩阵A的各列元素之和等于零，能得到什么？,(2)联系A与A*：AA*=|A|E,A与B相似，A可逆，则A*与B*相似.,A*的秩与A的秩之间的关系(习题二(B)31题).,(3)设A,B是n阶正交矩阵，并且|AB|=-1，证明|A+B|=0.,证：不妨设|A|=1，|B|=-1.则|BT|=-1.|A+B|BT|=|ABT+BBT|=|ABT+E|=|ABT+AAT|=|A(BT+AT)|=|A|BT+AT|=|BT+AT|=|A+B|,(4)设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则有,tr(AB)=tr(BA),特别地，tr(T)=tr(T),(5)一般来说矩阵乘法不可交换，但当AB=E时，则自然有AB=BA.,例题(09-10-2几代最后一题),假设A,B都是nn矩阵，若存在不为零的数x,y使得AB=xA+yB,证明：AB=BA.,分析：AB-xA-yB=O,(A-yE)(B-xE)=xyE,(6)熟悉一些分块矩阵的运算,(a)若AB=O,则A(b1,b2,bn)=(,).,从而Abi=,i=1,2,.,n;也就是说B的列向量是Ax=的解.若bi不为零向量，还可以作为A的特征向量(前提是A为方阵).,(b)若A=(A1,A2,A3,A4),-2A1+A3-5A4=,则A(-2,0,1,-5)T=.也就是说(-2,0,1,-5)T是Ax=的解.,5.此类题需掌握,例.当参数k取什么值时，直线,相交？,例.讨论下列三个平面的相对位置.,1:x+y+6z=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)x+(2b-1)z=0.,其中，a,b是参数.,课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.,Ax=和Ax=b解之间的联系及线性相关性,(1)熟练掌握P170-171:32,35,36,40,(2)根据参数讨论方程组解的情形也是常考的点,(3)例题已知44矩阵