2019年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元A卷 理.doc

第第十十六六单单元元 空空间间向向量量在在立立体体几几何何中中的的应应用用 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1已知向量2,4,5a，)3(xy，b分别是直线 1 l、 2 l的方向向量，若 12 ll，则（ ） A6x，1yB6x， 15 2 yC3x，15yD3x， 15 2 y 2若1, 2,1A，4,2,3B，6, 9,4C，则ABC的形状是（ ） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 3如图，空间四边形CA中，A a， b，C c，点在A上， 2 3 A ，点 为C中点，则 等于（ ） A 121 232 abcB 211 322 abcC 111 222 abcD 221 332 abc 4在空间直角坐标系Oxyz中，点2,2,1A关于xOy平面对称的点的坐标为（ ） A1,2,2B2, 2,1C2,2, 1D2, 2, 1 5已知空间上的两点121A ，2 0 3B ，以AB为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体 积为（ ） A3B2 3C9D3 3 6把边长为 2 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD 平面CBD，则异面直线AD， BC所成的角为（ ） A120B30C90D60 7如图所示，在正方体 1111 ABCDA B C D中，已知M，N分别是BD和AD的中点， 则 1 B M与 1 D N所成角的余弦值为（ ） A 30 10 B 30 15 C 30 30 D 15 15 8设321，a是直线l的方向向量，121，n是平面a的法向量，则（ ） AlaBlaCla或laDla或la 9在正方体 1111 ABCDA B C D中，直线 1 BC与平面 1 A BD所成角的余弦值为（ ） A 2 4 B 2 3 C 3 3 D 3 2 10在正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面的射影，P为侧棱SD的中点， 且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是（ ） A75B60C45D30 11如图，四棱锥PABCD中，PB 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC， ABBC，3ABADPB，点E在棱PA上，且2PEEA，则平面ABE与平面BED的夹角的 余弦值为（ ） A 2 3 B 6 6 C 3 3 D 6 3 12如图，已知正方体ABCDEFGR的上底面中心为H，点O为AH上的动点，P为FG的三等 分点（靠近点F） ，Q为EF的中点，分别记二面角POQR，QORP，ROPQ的平面 角为，则（ ） ABCD 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上） 13设平面的法向量为12 2，平面的法向量为24，若，则的值 为_ 14已知1, 2,1A，2,2,2B，点P在 z 轴上，且PAPB，则点P的坐标 为_ 15如图，直三棱柱 111 ABCA B C的所有棱长都是 2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则顶点 1 B的坐标是_ 16正四棱锥SABCD的八条棱长都相等，SB的中点是E，则异面直线AE，SD所成角的余弦 为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，2AB，E是PB的中点， , 3 cos 3 DP AE （1）建立适当的空间坐标系，求出E的坐标； （2）在平面PAD内求一点F，使EF 平面PCB 18 （12 分）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且1OA ， 2OBOC，E是OC的中点 （1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2 3的菱形， 60BAD， PD 平面ABCD，2 3PD ，E是棱PD上的一个点， 2 3 3 DE ，F为PC的中点 （1）证明：BF平面ACE； （2）求直线AF与平面ACE所成角的正弦值 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PAAB，PABC，/ /APCQ，22ABBC， 3 3 2 CQAP （1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值； （2）求二面角APQB的余弦值 21 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADBC，90ADC， 且22ADBCCD，PAPBPD （1）求证：平面PAD 平面ABCD； （2）设45PAD，求二面角BPDC的余弦值 22 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 面ABCD，M是棱 PD的中点，且2ABACPA，2 2BC （1）求证：CD 面PAC； （2）求二面角MABC的大小； （3）若N是AB上一点，且直线CN与平面MAB成角的正弦值为 10 5 ，求 AN NB 的值 单元训练金卷高三数学卷答案（A） 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1 【答案】B 【解析】由题意可得： 245 3xy ，解得：6x ， 15 2 y 故选 B 2 【答案】C 【解析】因为3,4,2AB 、5, 7,3AC 、2, 11,1BC ， 所以0AB AC 可知角A为钝角，故ABC的形状是钝角三角形选 C 3 【答案】B 【解析】由题意 11 32 MNMAABBNOAOBOABC 211211 322322 OAOBOCOBOAOBOC ； 又A a， b，C c， 211 322 MN abc故选 B 4 【答案】C 【解析】关于xOy平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点2,2,1A关于xOy平面对称的点的坐标为2,2, 1，选 C 5 【答案】D 【解析】121A ，2 0 3B ， 222 1220133AB ， 设正方体的棱长为a，由题意可得33a ，解得3a ， 正方体的体积为 3 33 3，故选 D 6 【答案】D 【解析】 如图建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则0 02A，2 0 0B，02 0C，2 0 0D ， 故2 02AD ， 22 0BC ， 则2AD BC ，2AD ，2BC ， 所以 1 cos 2 AD BC ，故选 D 7 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为a 则0 0 0D， 1 0 0 2Da， 1 2 2 2Ba a a，0M aa，0 0N a， 故 1 0 2NDaa ， 1 2B Maaa ， 所以 1 5NDa ， 1 6B Ma ， 2 11 3NDB Ma ， 则 2 11 330 cos 1056 a ND B M aa ，应选答案 A 8 【答案】D 【解析】因为 3 122110 a n，所以an，即la或la故选 D 9 【答案】C 【解析】分别以DA，DC， 1 DD为x，y， z 轴建立如图所示空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1，可得0,0,0D，1,1,0B， 1 0,1,1C， 1 1,0,1A， 1 1,0,1BC ， 1 1,0, 1A D ，1, 1,0BD ， 设, ,x y zn是平面 1 A BD的一个法向量 1 0 0 A D BD n n ，即 0 0 xz xy 取1x ，得1yz ，平面 1 A BD的一个法向量为1, 1, 1 n， 设直线 1 BC与平面 1 A BD所成角为， 1 1 1 26 sincos, 323 BC BC BC n n n ， 2 3 cos1sin 3 ，即直线 1 BC与平面 1 A BD所成角的余弦值是 3 3 故选 C 10 【答案】D 【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz 设ODSOOAOBOCa， 则0 0A a（，），00Ba（，），0 0Ca（，），0 2 2 a a P ，2 ,0,0CAa ，, 2 2 a a PAa ， 设平面 PAC 的法向量为, ,x y zn，则 20 0 22 ax aa axyz 可求得0,1,1n， 则 1 cos , 2 BC n， ,60BC n， 直线BC与平面PAC所成的角为906030 故选 D 11 【答案】B 【解析】 以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系，则0,0,0B，0,3,0A，0,0,3P，3,3,0D，0,2,1E， 0,2,1BE ，3,3,0BD ， 设平面BED的一个法向量为, ,x y zn， 则 20 330 BEyz BDxy n n ，取1z ，得 11 ,1 22 n， 平面ABE的法向量为1,0,0m， 1 6 2 , 66 1 2 cos n m 平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为 6 6 故选 B 12 【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系考虑点 与点 A 重合时的情况 设正方体的棱长为 1，则 1 10 3 P ， 1 Q0 0 2 ，R 010，O 0 01， 设平面的一个法向量为 1 xyz，n， 由 1 1 1 010 22 11 00 2323 x OQxyzz xy PQxyz ， ， n n ，得 3 2 2 x y x z ，令2x ，得 1 2, 3,1n 同理可得平面OPR和平面OQR的法向量分别为 2 2 33，n， 3 6 37，n 结合图形可得： 13 5 coscos 747 ，nn， 23 21 coscos 1147 ，nn， 12 1 coscos 711 ，nn，coscoscos， 又0，, ，故选 D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上） 13 【答案】4 【解析】设平面的法向量12 2，m，平面的法向量24，n， 因为，所以mn，所以存在实数k，使得kmn， 所以有 12 2 24 k k k ，解得4 ，故答案为4 14 【答案】0 0 3， 【解析】设0(0)Pz，由PAPB，得 22 141442zz，解得3z ， 故点P的坐标为0 0 3， 15 【答案】 3,1,2 【解析】2sin3 3 x ，2cos1 3 y ，2z ，即顶点 1 B的坐标是 3,1,2 16 【答案】 3 3 【解析】以正方形ABCD的中心O为原点，平行于AB的直线为x轴，平行于AD的直线为y轴， SO为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 设四棱锥SABCD棱长为 2，则1, 1,0A ，1, 1,0B， 0,0, 2S，1,1,0D ， 112 , 222 E ，所以 3 12 , 2 22 AE ， 1,1,2SD ， 31 1 3 22 cos, 3911 1 12 442 AE SD 故异面直线AE，SD所成角的余弦值为 3 3 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 【答案】 （1）111（，）；（2）点F的坐标是10 0（，），即点F是AD的中点 【解析】 （1）分别以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、 z 轴建立空间坐标系，如图，则 2 0 0A （，），2 2 0B （，），0 2 0C （，）， 设2PDm，0 0 2Pm（，），则11Em（，），11AEm （，），0 0 2DPm （，=） 2 2 , 23 cos 3 1 12 m DP AE mm ，解得1m 点E坐标是111（，）； （2）F 平面PAD，可设0F xz（，），111EFxz =（，） ， 又EF 平面PCB，EFCB 110 2 20 xz，-1，解得1x ； 又EFPC 1110 220 x ，z，0z， 点F的坐标是10 0（，），即点F是AD的中点 18 【答案】 （1） 2 5 ；（2） 30 30 【解析】 （1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系 则有0 01A （，）、2 0 0B （，）、0 2 0C （，）、010E （，） 210EB =（，） ，0 21AC =（，） ， 2 cos 55 2 5 EB AC ,， 所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 2 5 （2）设平面 ABC 的法向量为 1 xyz，n， 则 1 AB n知 1 20ABxz n， 1 AC n知 1 20ACyz n取 1 1,1,2n， 则 1 sin 30 30 EB , n ，故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为 30 30 19 【答案】 （1）见解析；（2） 26 26 【解析】 （1）证明：连接BD，设BDACO，取PE的中点G，连接BG，OE，FG， 在BDC中，因为O，E分别为BD，DG的中点，所以OEBG， 又BG 平面AEC，所以BG平面AEC， 同理，在PEC中，FGCE，FG平面AEC， 因为BF 平面AEC，所以BF平面AEC （2）以O为坐标原点，分别以OB，OC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 在等边三角形ABD中，因为2 3AB ，所以3OA ，3OB ， 因此0, 3,0A，0,3,0C， 2 3 3,0, 3 E ， 3,0,2 3P ， 3 3 , 3 22 F ， 且 2 3 3,3, 3 EC ，0,3,0OC ， 3 9 , 3 22 AF ， 设平面ACE的一个法向量为, ,x y zn， 则 2 3 0 330 3 0 30 EC xy OC y n n ，取2x ，得2,0,3n， 直线AF与平面ACE所成的角为，则 33 3 26 sin 26381 493 44 AF AF n n 20 【答案】 （1） 55 11 ；（2） 7 55 55 【解析】PAAB，PABC，PA 底面ABCD，又底面ABCD为矩形， 分别以AB，AD，AP为x轴、y轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0,0,0A，2,0,0B，0,1,0D，0,0,2P，2,1,3Q 0,0,2AP ，2,0,2BP ，2,1,1PQ ，0,1, 2PD （1）设平面BPQ的一个法向量 1111 ,x y zn， 则 111 111 1 0220 20 0 BPxz xyz PQ n n ，令 1 1z ，得 1 1, 3,1n， PD与平面BPQ所成角的正弦值 1 1 555 sin 11511 PD PD n n （2）设平面APQ的一个法向量， 2222 ,nxyz 则 22 222 2 020 20 0 APz xyz PQ n n 令 2 1x ，得 2 1, 2,0n， 12 12 12 77 55 cos, 55115 nn n n n n ，二面角APQB的余弦值为 7 55 55 21 【答案】 （1）见解析；（2） 6 3 【解析】 （1）证明：如图，取AD，AB的中点O，G，连接OB，OP，OG，PG， 则四边形OBCD为正方形， OAOB，OGAB 又PAPB，PGAB， 又OGPGGAB 平面POG， 又PO 平面POG，ABPO PAPD，POAD 又ABADA，PO 平面ABCD 又PO 平面PAD，平面PAD 平面ABCD （2）解：由（1）知OB，OD，OP，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 45PAD，POAD，POOAOBOD 令1OAOBOD，则0,0,1P，1,0,0B，1,1,0C，0,1,0D， 1,0, 1PB ，0,1, 1PD ，1,0,0CD 设平面PBD的一个法向量为 1111 ,x y zn， 由