通用版2020高考数学一轮复习2.7幂函数讲义文.doc

第七节幂函数一、基础知识批注理解深一点1幂函数的概念一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数；(2)x的系数为1；(3)只有一项2五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)二、常用结论汇总规律多一点对于形如f(x)x(其中mN*，nZ，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)三、基础小题强化功底牢一点(1)函数y2x是幂函数()(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)幂函数的图象不经过第四象限()答案：(1)(2)(3)(二)选一选1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A.B1C. D2解析：选C因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.2已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A.B4C. D.解析：选C设f(x)x，图象过点，f(4)4，解得，f(2)2.3函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：选B函数yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由函数yx的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将函数yx1的图象关于x轴对称后即为选项B.(三)填一填4若yax是幂函数，则该函数的值域是_解析：由已知yax是幂函数，得a1，所以yx，所以y0，故该函数的值域是0，)答案：0，)5函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值为_解析：f(x)(m2m1)xm是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在(0，)上为增函数，m2.答案：2 典例(1)(2019赣州阶段测试)幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数(2)已知幂函数f(x)(n22n2)x(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或2解析(1)设f(x)x，将点(3，)代入f(x)x，解得，所以f(x)x，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，)上是增函数，故选C.(2)幂函数f(x)(n22n2)x在(0，)上是减函数，n1，又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.答案(1)C(2)B解题技法幂函数yx的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)(2)当0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)内单调递增；当0时，根据题意知p1，所以0p1；当p0时，函数为y1(x0)，符合题意；当p0时，函数yxp的图象过点(1,1)，在(0，)上为减函数，符合题意综上所述，p的取值范围是(，1)答案：(，1) 典例若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbca Dbab，因为yx是减函数，所以ac，所以babc BacbCcab Dbca解析：选B因为yx在第一象限内为增函数，所以ac，因为yx是减函数，所以cb，所以acb.2若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.答案：1若幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则f(8)的值为()A4B.C2 D1解析：选C设f(x)xn，由条件知f(4)2，所以24n，n，所以f(x)x，f(8)82.2若幂函数f(x)xk在(0，)上是减函数，则k可能是()A1 B2C. D1解析：选D由幂函数的性质得k0，故选D.3已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1 B2C1或2 D3解析：选A函数f(x)为幂函数，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件；当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件故选A.4(2018邢台期末)已知幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)f(x)的最小值为()A1 B2C4 D6解析：选A设幂函数f(x)x.f(x)的图象过点，2，解得2.函数f(x)x2，其中x0.函数g(x)f(x)x221，当且仅当x时，g(x)取得最小值1.5(2019安徽名校联考)幂函数yx|m1|与yx(mZ)在(0，)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A0 B1和2C2 D0和3解析：选C由题意可得解得m2.6已知a3，b4，c12，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba Dcabc，故选C.7设x0.20.3，y0.30.2，z0.30.3，则x，y，z的大小关系为()Axzy ByxzCyzx Dzyz.由函数yx0.3在(0，)上单调递增，可得xz.所以xzy.8已知幂函数f(x)(m1)2x在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk，当x1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若ABA，则实数k的取值范围是()A(0,1) B0,1)C(0,1 D0,1解析：选Df(x)是幂函数，(m1)21，解得m2或m0.若m2，则f(x)x2在(0，)上单调递减，不满足条件若m0，则f(x)x2在(0，)上单调递增，满足条件，即f(x)x2.当x1,2)时，f(x)1,4)，即A1,4)；当x1,2)时，g(x)2k,4k)，即B2k,4k)ABA，BA，2k1且4k4，解得0k1.9若f(x)是幂函数，且满足2，则f_.解析：设f(x)x，32，f2.答案：10已知函数f(x)(m2m5)xm是幂函数，且在(0，)上为增函数，则实数m的值是_解析：由f(x)(m2m5)xm是幂函数m2m51m2或m3.又f(x)在(0，)上是增函数，所以m3.答案：311当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_解析：分别作出yf(x)，yg(x)，yh(x)的图象如图所示，可知h(x)g(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)12(2019银川模拟)已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_解析：由题意得，幂函数f(x)x的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上单调递减